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Franz Queck Josefin Sperling Teilaufgabe D: Wahlaufgabe -Bearbeitung mit CAS- Rechner-

Die Stadt plant einen Skaterpark und dafür wird eine neue Quaterpipe konstruiert. Die Bahn der Quaterpipe wird durch eine quadratische Funktion im Intervall von 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 modelliert mit folgenden Punkten: A(0/3), B(2/1,125), C(4/0,5). a) Fertige eine Skizze der Quaterpipe in einem kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 1 Meter) an. Trage die genannten Daten ebenfalls ein. b) Stellen Sie eine Funktionsgleichung f(x) auf. c) Zwei Quaterpipes können zu einer Halfpipe verbunden werden, wenn ein tangentialer Übergang parallel zur Horizontalen verbunden ist. Dafür wird die Funktion 𝑓 𝑥 = 0,15625𝑥 2 − 1,25𝑥 + 3 betrachtet. Überprüfen Sie, ob diese Bedingung bei der beschriebenen Quaterpipe erfüllt ist. d) Eine Halfpipe, bestehtend aus zwei Quaterpipes, wird aus Leichtbeton (Dichte: 𝑔 𝜌 ≈ 1,8 3 ) hergestellt. Für die Halfpipe wird 𝑓(𝑥) aus c) betrachtet. 𝑐𝑚 Die Gesamtbreite beträgt dabei 4 Meter. Ermitteln Sie die Masse einer solchen Halfpipe. Hinweis: Überlegen Sie, welches Intervall betrachtet werden muss. e) Als Belag für die gekrümmte Fahrtfläche der Halfpipe werden Siebdruckplatten verwendet. Ermitteln Sie, welchen Materialpreis der Hersteller für die Halfpipe kalkulieren muss, wenn ein Quadratmeter dieses Materials 9,50€ kostet. Hinweis: Für die Länge s des Graphen der Funktion über dem 𝑏 Intervall 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 gilt: 𝑠 = 𝑎 1 + (𝑓 ′ 𝑥 )2 𝑑𝑥.

Daniela Denk, Sandra Kloß

Aufgabe: Flussbetterweiterung 3

2

Der Graph der Funktion f mit f(x) = (x-2) (x + 0,7x - 1,8x + 1,6) beschreibt das Flussbett eines für den Schiffsverkehr freigegebenen Flusses (siehe Abb.). Eine Einheit auf der x-Achse entspricht 10 Metern in Wirklichkeit und eine Einheit auf der y-Achse entspricht einem Meter in Wirklichkeit. Die Wasseroberfläche wird durch die x-Achse beschrieben. Die Fahrrinne des Flusses soll auf einem geradlinigen 300 m langen Flussabschnitt vertieft werden. Für die Bauarbeiten wird das Wasser am Anfang und Ende des Flussabschnitts gestaut und umgeleitet. y

x

f

g

a) Geben Sie die Breite und maximale Tiefe des Flusses an. Berechnen Sie die Querschnittsfläche des Flusses und bestimmen Sie damit die Wassermenge, die in dem Flussabschnitt abgepumpt werden muss. b) Ein neues Flussbett soll ausgehoben werden. Dieses wird durch den Graphen der 4

3

2

Funktion g mit g(x) = x - 1,7x - 2,4x + 6,8x - 6,4 beschrieben. Berechnen Sie das Erdvolumen des Aushubs und die daraus resultierende prozentuale Zunahme des Wasservolumens. c) Die Vegetationszone wird durch die Punkte A (1,5|0) und B (2|0) an der Wasseroberfläche begrenzt und soll nach dem Aushub des neuen Flussbetts wieder mit Schilf bepflanzt werden. Zur Berechnung der Länge einer Funktion k in einem Intervall a ≤ x ≤ b kann folgende Formel genutzt werden: 𝑏

2

𝐿 = න ට1 + ൫𝑘 ′ ሺ𝑥ሻ൯ 𝑑𝑥 𝑎

Bestimmen Sie die Länge der Querschnittslinie der Vegetationszone sowie die zu bepflanzende Fläche entlang des Flussabschnitts.

Musterlösung a) angeben: 𝑏𝑚𝑎𝑥 = 40 [𝑚] ∧ 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑚𝑖𝑛 = 9,73 [𝑚]

[1 + 2 P]

berechnen: 𝑓ሺ𝑥ሻ = 0 ⇔ 𝑥1 = −2 ∨ 𝑥2 = 2 2

𝐴 = |∫−2 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥| = 17,07 [𝐹𝐸]

[2 P]

für die Umrechnung gilt: 1 FE entspricht 10 m2 [2 P]

𝑉𝑊 = 𝐴 ∙ 𝑙 = 𝐴 ∙ 300𝑚 = 51200 𝑚3

[1 P]

 [𝐹𝐸] = 85, 3 𝑚2 [2 P] b) helle Fläche: 𝐴 = |∫−2 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 − ∫−2 𝑔ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥| = 8,53 2

2

Erdvolumen: 𝑉𝐸 = 𝐴 ∙ 𝑙 = 𝐴 ∙ 300 𝑚 = 25600 𝑚3 prozentuale Zunahme des Wasservolumens:

𝑉𝐸

𝑉𝑊

=

25600 𝑚3

51200 𝑚3

[1 P] = 50%

[1 P]

2

c) anwenden: 𝐿 = ∫ √1 + ሺ𝑓 ′ ሺ𝑥ሻሻ2 𝑑𝑥 ≈ 2,342 [LE] entspricht 23,42 m [2 + 1 P] 1,5 Vegetationsfläche entspricht einem Rechteck entlang des Flussabschnitts 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑙 = 23,42 𝑚 ∙ 300 𝑚 = 7026 𝑚2

[1 P]

Autoren: Marc-Lucas Tempel und Merten Rehm Thema: Extremwertaufgabe und Integration Aufgabe Ein Unternehmen stellt Zylindrische Dosen her. Diese haben Unterschiedliche Fassungen. In die kleinste Dose passen 850ml, in die Mittlere 1000ml und in die Größte 1,5l. Bei der Produktion sind 15 von 1000 Dosen undicht. Jede hergestellte und fehlerfreie 1l Dose wird für 25cent verkauft. Bei Herstellung entstehen Kosten von 7cent pro 1l Dose und Kosten für das Material in Höhe von 4,50€ pro 2 m². Die Maschine zur Produktion hat 4860€ gekostet. a) Berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch für jede Dosenart. b) Leiten Sie eine Beziehung zwischen Radius und Höhe aus a) ab. c) Ab wie viel verkauften 1l Dosen erzielt die Firma Gewinn?

Energieverbrauch einer Großstadt

Der Energieverbrauch einer Großstadt unterliegt Schwankungen. Mit der Funktion E wird der voraussichtliche Energieverbrauch pro Tag für die nächsten 5Jahre modelliert:

t…Zeit in Tagen E(t) … Energieverbrauch zur Zeit t in Megawattstunden pro Tag (MWh/Tag)

Abb. 1: Energieverbrauch zur Zeit t in Megawattstunden pro Tag (MWh/Tag)

Aufgaben 1. Ermitteln Sie den Monat des ersten Jahres mit dem höchsten und dem niedrigsten Energieverbrauch. 2. Berechnen Sie den Bereich in dem die Einwohnerzahl der Stadt liegen könnte. Beachten Sie die nachfolgende Tabelle.

3. Nennen Sie mögliche Gründe für den steigenden Energieverbrauch. Schlagen Sie mögliche Einsparmöglichkeiten vor.

Didaktik der Mathematik B Nikolaschin, Jakob / Heiner, Marcus Wintersemester 2019/2020

Workshop: Computer im Mathematikunterricht

Komplexe Schüleraufgabe zur Analysis in der SII

In einem Vergnügungspark wurde ein künstlicher See angelegt. Im Modell wird er begrenzt durch die Koordinatenachsen und den Graphen der Funktion 𝑓(𝑥) =

1 10

(−𝑥 3 + 9𝑥 2 − 15𝑥 + 65).

Längs der x-Achse verläuft am Ufer die Promenade. Die Längeneinheit ist 100 Meter.

a) An welchen Stellen der Promenade ist die vertikale Entfernung zum gegenüberliegenden Seeufer am größten bzw. am kleinsten? Geben Sie die maximale und minimale Entfernung an. b) Berechnen Sie die Fläche des Sees und der Grünfläche des Vergnügungsparkes. Geben Sie das Verhältnis dieser Flächen an.

c) Ein Weg verläuft längs des Graphen der Funktion 𝑔(𝑥) = −1,5𝑥 + 18. Ein Anlegeplatz für Tretboote soll an der Uferstelle gebaut werden, an der die Entfernung zu diesem Weg am kleinsten ist. Berechnen Sie, an welcher Stelle dieser Anlegeplatz gebaut werden muss.

Didaktik der Mathematik B

Brauer, Jonas Schöttke, Tina

Komplexe Schüleraufgabe zur Analysis in der SII Aus dem Internet wird eine 18 Megabyte (MB) große Datei heruntergeladen. Während des Downloads kann die Übertragungsrate g (im MB/s) in Abhängigkeit von der Zeit x (in s) durch 𝑔(𝑥) = (0,2𝑥 + 0,35) ∙ 𝑒−0,2𝑥 + 0,25 modelliert werden. (K3, K4, K5, K6) a) Skizzieren Sie den Graphen von g für die ersten 40 Sekunden. (A II, K4) Beschreiben Sie, ausgehend von der graphischen Darstellung, den Verlauf der Übertragungsrate. (A II, K1, K4) 4 BE b) Bestimmen Sie (AII) • die maximale Übertragungsrate, • den Zeitpunkt nach Beginn des Downloads, an dem die Übertragungsrate am stärksten abnimmt und • die Zeitspanne, in der die Übertragungsrate größer als 0,5 MB/s ist. 3 BE 𝑡

c) Veranschaulichen Sie die geometrische Bedeutung des Terms ∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 für einen beliebigen Wert von t mit 0 < t < 40. (A II, K4) Erläutern Sie die Bedeutung dieses Terms im Sachzusammenhang. (A III, K4) 2 BE d) Berechnen Sie den prozentualen Anteil, der nach 12 Sekunden heruntergeladen wurde. (A II) 2 BE e) Berechnen Sie für die Datei der Größe 18 Megabyte die gesamte Downloaddauer (A III) und die Übertragungsrate am Ende des Downloads (A II). 2 BE

Didaktik der Mathematik B

Brauer, Jonas Schöttke, Tina

Lösung (eine Möglichkeit) a) Skizziere Graph g(x) im Intervall 𝑥 𝜖 [0,40] und Beschreibung des Graphenverlaufs CAS Graphs-Programm 𝑓1(𝑥) = (0,2𝑥 + 0,35) ∙ 𝑒−0,2𝑥 + 0,25

Bereich anpassen menu, 4,1 Einstellung: X Min -1 X Max 40 X-Skala 4 (alle 10) Y Min -0,1 Y Max 1 Y-Skala 0,1 Erzeugen einer Messwerttabelle menu, 2, A menu, 5, 5 (Tabellenanfang: 0; Schrittweite anpassen, z.B. 4)

Papier

Achseneinteilung wie in den Einstellungen

Eintragen der Messwerte in Diagramm und Verbinden zum Graphen

Bei 𝑡 = 0 𝑦 ≠ 0 (vermutlich g(x=0) = 0,6) Ab t > 0 monoton steigende Übertragungsrate bis Maximum Ab Maximum monoton fallende Übertragungsrate mit Annäherung an y=0,25 (Asymptote)

b) Maximale Übertragungsrate Maximum der Funktion -> erste Ableitung der Funktion bei g(x=0) auswerten Calculator-Programm Ableitung der Funktion menu, 4, 1 𝑑 (𝒇𝟏(𝑥)) 𝑑𝑥 enter (0.13 − 0.04 ∙ 𝑥) ∙ (0.818731)𝑥 Definiere Ableitung 𝑓2(𝑥): = (0.13 − 0.04 ∙ 𝑥) ∙ (0.818731)𝑥 Nullstelle der Ableitung

𝑔′(𝑥) = (0,13 − 0,04 ∙ 𝑥) ∙ (0,818731)𝑥

Didaktik der Mathematik B 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝒇𝟐(𝑥) = 0, 𝑥) enter 𝑥 = 3.25 Bestimme Funktionswert zu x1 𝒇𝟏(3.25) enter 0.772046

Brauer, Jonas Schöttke, Tina

𝑔′(𝑥) = 0 𝑥1 = 3,25

𝑔(3,25) = 0,77 MB/s

Stärkste Änderung (Abnahme) Minimum der abgeleiteten Funktion -> erste Ableitung der abgeleiteten Funktion (zweite Ableitung der Ausgangsfunktion) Ableiten der Funktion menu, 4, 1 𝑑 (𝒇𝟐(𝑥)) 𝑑𝑥 enter (0.008 ∙ 𝑥 − 0.066) ∙ (0,818731)𝑥 Definiere 𝑓2(𝑥): = (0.008 ∙ 𝑥 − 0.066) ∙ (0.818731)𝑥 Nullstelle der zweiten Ableitung menu, 3, 1 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝒇𝟐(𝑥) = 0, 𝑥) enter 𝑥 = 3.25

𝑔′′(𝑥) = (0,008 ∙ 𝑥 − 0,066) ∙ (0,818731)𝑥 𝑔′′(𝑥) = 0 𝑥2 = 3,25

Übertragungsrate größer als 0,5 MB/s x-Wert der Funktion bei 0,5 menu, 3, 1 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝒇𝟏(𝑥) = 0.5, 𝑥) enter 𝑥 = −0.65305 𝑜𝑟 𝑥 = 11.9835

Interpretation: Die Übertragungsrate ist zwischen -0,6 s und 11.98 s über 0,5 MB/s. Da eine negative Zeit mathematisch keinen sinn hat, ist die Übertragungsrate von 0s bis 11,98 s über 0,5 MB/s. Es gibt keine weiteren x - Werte im Realen die die Gleichung erfüllt, deshalb steigt die Übertragungsrate für t > 11,98 s nicht wieder über 0,5 MB/s.

c) Bedeutung des Integrals Geometrische Bedeutung Ist Fläche unter dem Graphen bis zur x-Achse von t=0 bis zum Zeitpunkt t Bedeutung im Sachzusammenhang Das Ergebnis des Integrals gibt die MB (z.B.: Foto, Datei o.ä.), die im Intervall von t = 0 s bis zum Zeitpunkt t insgesamt heruntergeladen wurde

Didaktik der Mathematik B

Brauer, Jonas Schöttke, Tina

d) Prozentualer Anteil MB nach 12 s menu, 4, 3 12

∫ 𝒇𝟏(𝑥)𝑑𝑥

𝑡

12

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

0

0

enter 8.0494 Prozent 𝐴𝑛𝑠 ∗ 100/18 enter 44.7169

0

= 8,04904 MB

𝑊 𝑝 = 100% 𝐺 einsetzen 8,04904 𝑀𝐵 𝑝 = 100% 18 𝑀𝐵 𝑝 ≈ 44,7%

e) Downloaddauer für 18 MB Zeit t nach 18 MB menu, 3, 1 und menu, 4, 3 𝑡

𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(18 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥, 𝑡) 0

enter 𝑡 = −8.98686 𝑜𝑟 𝑡 = 45.0254 Übertragungsrate bei t = 45 s 𝒇𝟏(45.0254) enter 0.251149

𝑡

18 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 0

interpretiere: negative Zeit existiert nicht 𝑡 ≈ 45 𝑠

𝑔(45,0254) = 0,251149 𝑀𝐵/𝑠

Schwerpunkt „Analysis“

a) Rekonstruieren Sie aus den gegebenen Daten eine Funktionsgleichung, die den Verlauf der Hangkurve beschreibt! 5 19 [ 𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 6] 5BE 48

24

b) Als Material für die Aufschüttung des Bahndamms soll Erde verwendet werden. Damit das Material nicht abrutscht, darf die Steigung am Hang nur maximal 65° betragen. Untersuchen Sie, ob dieser Wert eingehalten wird! 3BE

c) Für den Bau des Dammes müssen an beiden Seiten der Aufschüttung kleinere Aushübe gemacht werden. Bestimmen Sie die Tiefe dieser Aushübe! 2BE

d) Ein Teil des für die Aufschüttung benötigten Erdmaterials soll durch die Aushübe kompensiert werden. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser Tatsache die Menge an Erde in m³, die benötigt wird! 5BE

e) Für bessere Stabilität soll ein Drahtkäfig in die seitlichen Aufschüttungen eingelassen werden. Je größer die Querschnittsfläche des Käfigs ist, desto stabiler wirkt die Aufschüttung Naturgewalten entgegen. Es wird angenommen, dass die Querschnittsfläche rechteckig ist. Berechnen Sie die maximale Fläche, die der Querschnitt des Käfigs annehmen kann! 7BE

Komplexe Schüleraufgabe zur Analysis in der SII Autoren:

Sebastian Walther Pascal Petertseim

Thema: Einführungsstunde für die Ableitungsfunktion Allgemeine Hinweise: -

Es wird ein Computer mit dem Programm GeoGebra gebraucht (entweder für jeden Schüler einen einzelnen, oder in Partnerarbeit) Die Lehrkraft muss die GeoGebra Datei vorliegen haben Die Aufgabenstellung ist handlungsorientiert aufgebaut

Ausgangssituation 1 Alle SuS haben von der Lehrkraft die Ausgangsdatei für GeoGebra erhalten und auf ihren PC´s geöffnet. Sie können eine Funktion des 3. Grades sehen, jedoch ohne Angabe der Funktionengleichung. Auf dieser Funktion sehen Sie kleine grüne und kleine rote Kreise paarweise angeordnet. Diese sind als Strecken verbunden und stellen “Geradenstücke“ dar. Die roten Quadrate stellen die Steigung der Geradenstückchen dar. Zu Beginn sind alle Geradenstückchen waagerecht, somit ist die Steigung Null. Aufgabe 1 (ca. 25min) (a) Drehen Sie die Geradenstückchen so, dass sie möglichst gut an den Graphen passen. Welchen Zusammenhang sehen Sie? Notieren Sie ihre Erkenntnisse. (b) Bertrachen Sie nun einige besondere Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte) und ihre Beziehung zu den roten Quadraten. Versuchen Sie Regeln aufzustellen und diese zu begründen.

Ausgangssituation 2 (ca. 15 min) Wenn die kleinen Geradenstücke so ausgerichtet werden, dass sie möglichst gut an den Graphen der Funktion 𝒇 passen, entstehen durch die Auswertung Geradensteigungen die roten Quadrate, die auf einer Linie zu liegen scheinen. Diese Linie kann als Graph der Funktion 𝒇` verstanden werden. Aufgabe 2 -

Erläutern und demonstrieren Sie, wie die neue Funktion 𝒇` anschaulich aus der alten Funktion 𝒇 entsteht. Geben Sie für die Funktionen 𝒇𝟏`, 𝒇𝟐`, 𝒇𝟑` mögliche Terme an, wenn man die Funktionen 𝒇𝟏, 𝒇𝟐, 𝒇𝟑 wie folgt wählt: i. 𝑓1(𝑥) = 𝑥 2

-

ii. 𝑓2(𝑥) = 𝑥 3 iii. 𝑓3(𝑥) = 𝑥 4 Kontrollieren Sie ihre Terme, indem Sie die Funktionen mit Hilfe von GeoGebra zeichnen lassen und mit den roten Quadraten vergleichen. Formuliere mit Hilfe deiner Erkenntnisse eine allgemeine Regel für die Ableitung einer Funktion der Form 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 .

Aufgabe 3 Die Ableitungen lassen sich auch mit Hilfe des CAS bestimmen. Gehe hierzu über Berechnen in das Menü und wähle dort den Reiter Algebra und dann Ableitung aus. Dann erscheint der folgende Bruch

𝑑 𝑑𝑥

(𝑓(𝑥)). 𝑥 ist hier die abzuleitende Variable und

𝑓(𝑥) die Funktion, die abgeleitet werden soll. Berechne die Ableitungen der Funktionen 𝑓(𝑥) = 0,4𝑥 5 , 𝑔(𝑥) = 0,5𝑥 8 , ℎ(𝑥) = 13𝑥 , 𝑖(𝑥) = 2𝑥 10 mit deinem CAS. Was geschieht mit dem Faktor vor 𝑥? Formuliere hieraus ebenso eine allgemeine Regel für die Ableitung einer Funktion der Form 𝑓(𝑥) = 𝑚 ⋅ 𝑥 𝑛 .

Erwartungsbild Ableitungsfunktion Aufgabe 1 Die 𝑦 -Koordinate der Punkte entspricht jeweils der Steigung der Tangente an der jeweiligen Stelle. Hier sind verschiedene Beziehungen zu beschreiben, z. B.: (a) 1- Je steiler die Tangente, desto größer ist der Abstand des Punktes zur 𝑥 –Achse 2- Alle Quadrate scheinen auf einer „geschwungenen Linie“ (Funktion) zu liegen 3- Je größer/kleiner die Steigung der Tangente, desto größer/kleiner ist die 𝑦 Koordinate des entsprechenden roten Quadrates (b) Durch die in Aufgabe 1(a) erlangten Erkenntnisse, sollen die SuS Zusammenhänge mit Hilfe der Tangentensteigung erklären können, z. B.: 

Wenn die Steigung der Tangente gleich Null ist, dann im Graphen von 𝑓 ein Hoch, Tief- oder Sattelpunkt vor. Dabei ist die 𝑦- Koordinate des roten Quadrates ebenfalls Null.

Aufgabe 2 -

-

Die neue Funktion entsteht durch die Tangentensteigungen an den jeweiligen Stellen des Funktionsgraphen. Hypothese: i. 𝑓1`(𝑥) = 2𝑥 1 ii. 𝑓2`(𝑥) = 3𝑥 2 iii. 𝑓3`(𝑥) = 4𝑥 3 Die SuS können durch GeoGebra sich selbst direkt kontrollieren. Sollten die Punkte nicht auf dem Graphen liegen, ist die Hypothese falsch. Die allgemeine Form ist 𝑓(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1

Aufgabe 3 𝑓(𝑥) = 0,4𝑥 5



𝑓`(𝑥) = 2𝑥 4

𝑔(𝑥 ) = 0,5𝑥 8



𝑔`(𝑥 ) = 4𝑥 7

ℎ(𝑥 ) = 13𝑥



ℎ`(𝑥 ) = 13

𝑖(𝑥) = 2𝑥 10



𝑖`(𝑥) = 20𝑥 9

Der Faktor vor dem 𝑥 bleibt erhalten und wird nach dem Ableiten dazu multipliziert. Die allgemeine Regel lautet 𝑓(𝑥) = 𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1 ....