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Kurvendiskussion Die einzelnen Elemente kurz erklärt Christoph Hocks

1 Die Elemente im Überblick

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Die Elemente im Überblick

Bei einer Kurvendiskussion geht es darum, besondere Stellen und Punkte eines Graphen einer Funktion zu bestimmen und den Graph der Funktion zu charakterisieren. Sie folgt einem festgelegten Schema und einzelne Punkte werden dabei abgearbeitet. Die Reihenfolge, in der diese Punkte letztlich abgearbeitet werden, spielt dabei keine Rolle. Wohl aber erleichtert man sich bei so manch einer Funktion die Arbeit, wenn man einige Punkte grundsätzlich zuerst betrachtet. Ich beziehe mich hierbei lediglich auf die Punkte, die bei ganzrationalen Funktionen, e-Funktionen und Logarithmusfunktionen verlangt werden. Bei gebrochen-rationalen Funktionen gehören zusätzlich andere Untersuchungen dazu. Auch trigonometrische Funktionen lasse ich im Folgenden außen vor. Die von mir hier vorgestellte Reihenfolge ist selbstverständlich nur eine Richtlinie. Wenn Sie anders vorgehen möchten, können Sie dies ohne weiteres tun.

1. Symmetrieverhalten 2. Globalverhalten 3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen a. Nullstellen b. y-Achsen-Abschnitt 4. Extrempunkte 5. Wendepunkte 6. Skizzieren des Graphen

2 Symmetrieverhalten

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Symmetrieverhalten

Folgende Fragen müssen bei der Kurvendiskussion beantwortet werden: -

Ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse?

-

Ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Meiner Meinung nach empfiehlt es sich, zuerst immer das Symmetrieverhalten zu untersuchen, da man sich dann bei der weiteren Untersuchung ggf. jederzeit auf eine vorliegende Symmetrie beziehen kann und sich damit unnötige Rechnerei spart. Es gibt einen Trick, um eine mögliche Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen auf den ersten Blick feststellen zu können. Hierbei gilt: -

Liegen der Funktion, bezogen auf die Funktionsvariable, nur gerade Exponenten zugrunde, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Hierbei darf ein absolutes Glied auftreten, muss aber nicht.

Um die Begrifflichkeiten deutlich zu machen, sollten wir uns Beispiele anschauen. Beispiel 1:

()

Dieses Beispiel ist recht einfach. Wenn wir eine Zeichnung machen würden, hätten wir eine Normalparabel vor uns, die um zwei Einheiten nach oben entlang der y-Achse verschoben ist. Die Funktionsvariable ist nur einmal vorhanden. Der zugehörige Exponent ist , also eine gerade Zahl. Die

bezeichnet man als absolutes Glied. Absolut deshalb,

weil sie nicht abhängig von der Funktionsvariablen ist. Die obige Bedingung ist somit erfüllt. Es sind nur gerade Exponenten und ein absolutes Glied vorhanden, also ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt vorliegt. Auf die Vorteile bei der weiteren Kurvendiskussion im Falle einer vorliegenden Symmetrie werde ich später noch eingehen. Beispiel 2:

()

Wie Sie sehen, lässt sich dieses durchaus einfache Konzept auch auf kompliziertere und höhergradige Funktionen übertragen. Auch hier sind nur gerade Exponenten vorhanden, nämlich

und . Es ist auch ein absolutes Glied vorhanden, nämlich .

2 Symmetrieverhalten

Um Ihnen dies bildlich vor Augen zu führen, sind im Folgenden die Graphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Achten Sie darauf, wie die Graphen an der y-Achse gespiegelt sind. Wie Sie sehen, unterscheiden sich die beiden Graphen durchaus, doch sie haben beide die Symmetrie zur y-Achse gemeinsam. Nachdem wir uns nun mit der Achsensymmetrie zur y-Achse bei ganzrationalen Funktionen beschäftigt haben, ziehen wir einen Umkehrschluss: -

Liegen der Funktion, bezogen auf die Funktionsvariable, nur ungerade Exponenten zugrunde, ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Hierbei darf kein absolutes Glied auftreten.

Beispiel 3:

()

Wie Sie an diesem einfachen Beispiel erkennen können, ist hier das Spiel genau umgekehrt. Die Exponenten sind auch hier entscheidend. Es sind in diesem Fall nur ungerade Exponenten vorhanden, nämlich und . Aber wo kommt denn nun die her, fragen Sie sich? Nun, ist nichts anderes als . Wenn Sie hiermit Probleme haben, sollten Sie sich noch einmal Potenzgesetze anschauen.

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2 Symmetrieverhalten

Beispiel 4:

()

Auch hierauf ist der oben aufgezeigte Umkehrschluss anwendbar. Testen Sie sich selbst, welche Exponenten sind vorhanden, und warum lässt dies auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung schließen? Auch hier noch einmal die graphische Darstellung zur Verdeutlichung des Sachverhaltes. Achten Sie darauf, wie sich die Graphen am Ursprung U( | ) spiegeln.

Wie sie auch hier sehen können, sind unsere vorher getroffenen Annahmen bezüglich der Symmetrie richtig, ohne dass wir uns ausgiebig mit der Funktion befasst hätten. Leider ist dies natürlich nicht immer so einfach. Wie schon gesagt, lässt sich eine solche Betrachtung nur bei ganzrationalen Funktionen durchführen. Deshalb gelten im Grunde genommen natürlich Regeln, die durch Rechnung überprüft werden können. Ich möchte Ihnen die beiden Regeln nun einmal vorstellen und näher mit Ihnen betrachten.

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2 Symmetrieverhalten

-

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Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt: ()

( )

Betrachten wir dies mithilfe des Graphen logisch. bezieht sich hierbei auf die -Werte, die auch in Graphen abgebildet sind. ( ) sind die Werte, die an der y-Achse abgelesen

werden können. In Worten formuliert besagt die Regel also: Wenn man in eine Funktion einen x-Wert einsetzt, bekommt man einen y-Wert. Wenn man nun den entsprechenden negativen Wert einsetzt, und der y-Wert identisch ist, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Betrachten wir zur Veranschaulichung das auf Seite 3 dargestellte Koordinatensystem, damit der Sachverhalt klarer wird. Betrachten wir nur den blauen Graphen. Wenn wir den x-Wert „1“ einsetzen, bekämen wir den y-Wert „3“. Dies können wir am Graphen ablesen,

aber auch durch Rechnung zeigen: ()

()

Der negative Wert zu „1“ ist natürlich „-1“. Wie wir am Graphen sehen, bekommen wir den y-Wert „3“, wenn wir den x-Wert „-1“ einsetzen. Die dazugehörige Rechnung wäre: ( ) ( )

( ) ( )

Haben wir damit gezeigt, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist? Natürlich nicht, denn wir haben hier nur die Stelle

betrachtet. Um die Symmetrie

allgemeingültig zu beweisen, dürfen wir keine konkrete Zahl einsetzen, sondern müssen mit der Funktionsvariablen weiterrechnen. Dies würde wie folgt aussehen:

()

( )

()

( )

( )

Durch das Quadrat (hoch 2) bleiben die negativen Werte nicht erhalten. Da minus mal minus immer plus ergibt, ist nichts anderes als ( ) . Dies können Sie sich anhand eines

konkreten Beispiels wiederum bestätigen lassen. Nehmen wir nur einmal die Zahl „4“.

2 Symmetrieverhalten

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( ) ( ) ( ) Nun wissen Sie auch, warum die erste Regel nachweist, ob eine Achsensymmetrie zur yAchse vorliegt. Egal ob hoch zwei, hoch vier, hoch sechs, hoch acht, …, die negativen Werte werden durch Multiplikation miteinander immer positiv. Betrachten wir nun die andere Regel. Nachdem wir uns mit der Achsensymmetrie zur yAchse beschäftigt haben, kommen wir nun zur Punktsymmetrie zum Ursprung. Eine Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: ()

( )

Stellen wir uns auch dies bildlich vor. Wenn wir also einen x-Wert in die Funktion einsetzen, bekommen wir einen y-Wert. Wenn wir den dazugehörigen negativen x-Wert einsetzen, und wir den negativen y-Wert herausbekommen, ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Auch das hört sich komplizierter an, als es ist. Um dies zu veranschaulichen, lassen Sie uns das Koordinatensystem auf Seite 4 näher betrachten. Betrachten wir dabei nur den blauen Graphen. Wenn wir den x-Wert „0,5“ einsetzen, bekommen wir den y-Wert „-0,375“. Dies können wir selbstverständlich nicht genau am Graphen ablesen, sondern dort nur schätzen. Durch Rechnung zeigt sich aber:

( ) ( )

()

Der negative Wert zu „0,5“ ist „-0,5“. Am Graphen können wir auch hier den dazugehörigen y-Wert nur abschätzen. Durch Rechnung zeigt sich: ( ) ( ) ( ) Die Bedingung ist in diesem Fall also erfüllt, denn als y-Wert kommt der negative y-Wert der vorherigen Rechnung heraus. Auch hier reicht die Rechnung mit konkreten Zahlen natürlich nicht aus, um die Punktsymmetrie zum Ursprung zu beweisen. Wir müssen mit

2 Symmetrieverhalten

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der Funktionsvariablen rechnen. In manchen Fällen ist es einfacher, den Beweis andersherum zu führen, da es leichter fällt:

( )

( )

( ) ( )

()

()

Lassen Sie sich von dem komplizierten Aussehen bitte nicht abschrecken. Im ersten Schritt

habe ich lediglich ein Minus vor die Gleichung geschrieben und alle durch – ersetzt.

Danach habe ich ausgerechnet: eine negative Zahl hoch drei (minus mal minus mal minus) ergibt eine negative Zahl, denn minus mal minus ergibt plus, mal minus ergibt minus. Deshalb schreibe ich nach dem zweiten Gleichheitszeichen in der eckigen Klammer .

( ) ergibt wegen minus mal minus . In einem letzten Schritt habe ich alle Vorzei-

chen in der eckigen Klammer umgekehrt, da ein Minuszeichen vor der kompletten Klammer steht. So kommen wir wieder auf unsere Ausgangsfunktion und haben damit bewiesen, dass sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Um meinen zweiten Schritt zu verdeutlichen, möchte ich auch hier noch einmal konkrete Zahlen verwenden, damit Sie verstehen, was ich getan habe. Nehmen wir im Folgenden wie schon weiter oben die Zahl „4“. ( ) ( ) ( ) ( ) ()

(

)

(

( ) )

In beiden Fällen bekommen wir das identische Ergebnis. Das machen wir uns zunutze, denn wenn wir mit rechnen, können wir die Klammer natürlich nicht „wirklich“ ausmultiplizieren, da wir keine konkrete Zahl haben. Was passiert also? ( ) ( ) ( ) ( ) ()

(

)

Wie Sie sehen, bekommen wir auch hier in beiden Fällen das identische Ergebnis. Deshalb kommt dieser Schritt zustande, den Sie bereits oben beim Beweis der Punktsymmetrie zum Ursprung sehen: ( ) ( )

2 Symmetrieverhalten

Das Minuszeichen vor der Klammer wird lediglich mitgezogen, innerhalb der Klammer ändern sich zwei Dinge: (1) Wie ich am Anfang dieser Seite gezeigt habe, kann ich für ( ) auch

schreiben. (2) Die beiden Minuszeichen von ( ) heben sich durch

Multiplikation auf, sodass stehenbleibt. Mehr habe ich nicht getan.

Nun habe ich auf den vorangegangenen Seiten nur mit Beispielen ganzrationaler Funktionen gearbeitet. Grundsätzlich lassen sich die beiden zuletzt erläuterten Regeln aber auf alle Funktionsarten übertragen. Folgen Sie dabei einfach dem oben dargestellten Schema, mit einiger Übung werden Sie den Bogen schnell raus haben. Nachdem wir uns mit den Symmetrieeigenschaften von Graphen von Funktionen auseinandergesetzt haben, wollen wir nun einen Blick in die Unendlichkeit wagen: Das Globalverhalten.

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3 Globalverhalten

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Globalverhalten

Bei der Untersuchung des Globalverhaltens einer Funktion nehmen wir unter die Lupe, wie der Graph der Funktion verläuft, wenn der x-Wert gegen unendlich und gegen minus unendlich läuft. Wie Sie auf Anhieb bemerken, ist dies ein etwas abstraktes Unterfangen, da unendlich und minus unendlich selbstverständlich nicht als Zahlen eingesetzt werden können. Also niemals: () Bitte niemals die Funktionsvariable durch ein Unendlichkeitszeichen ersetzen! Das ist mathematisch nicht korrekt. Wir behelfen uns stattdessen durch eine Grenzwertbetrachtung und lassen die Funktionsvariable gegen unendlich bzw. gegen minus unendlich laufen! Der dazugehörige mathematische Operator ist Limes. Es gilt zu untersuchen: ()

()

Man kann sich auch hier mit einem Trick behelfen, falls man sich dies nicht vorstellen kann. Lassen Sie uns dies anhand eines simplen Beispiels klären. Beispiel 5:

()

Grundsätzlich sollten wir zur Vorstellung einfach eine sehr große Zahl einsetzen. Stellen wir anhand dieser Überlegung fest, wohin der Graph läuft, wenn wir einen unendlich großen x-Wert einsetzen würden: (

)

Wir sehen, dass wir eine sehr große Zahl dabei herausbekommen, wenn wir eine große Zahl einsetzen. Daraus können wir folgern, dass wenn wir eine unendlich große Zahl einsetzen würden, eine noch größere Zahl herauskommen würde. Wir schreiben: (

)

3 Globalverhalten

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Dies können wir damit begründen, dass gegen unendlich läuft, und das absolute Glied lediglich dazu addiert wird. Bei diesem einfachen Beispiel ist der Fall klar. Betrachten also auch noch den anderen Grenzwert: (

)

Nanu, schon wieder als Ergebnis, wie kommt das zustande? Nun, auch wenn wir eine sehr große negative Zahl einsetzen, wird diese quadriert und deshalb positiv. Mit unserem Wissen könnten wir die zweite Grenzwertbetrachtung jedoch ohne weiteres weglassen und Sie müssten mir trotzdem sagen können, dass der Graph der Funktion für gegen minus unendlich gegen unendlich verläuft. Wir können hier nämlich selbstredend auch mit der Symmetrieeigenschaft der Funktion argumentieren. Wenn der Graph der Funktion für gegen unendlich gegen unendlich verläuft, und der Graph an der y-Achse gespiegelt wird, muss er schließlich auch für immer größer werdende negative x-Werte gegen unendlich verlaufen. Aus diesem Grund ziehe ich es vor, immer erst die Symmetrieeigenschaften einer Funktion zu untersuchen. Natürlich habe ich mir ein sehr einfaches Beispiel herausgegriffen. Schwieriger wird es, wenn die Funktionsvariable mehrfach auftaucht. Beispiel 6:

()

Was nun? In einem solchen Fall sollten wir immer alle Summanden einzeln untersuchen. Fangen wir mit

an. Für sehr große x-Werte wird es sehr groß. Auch

werden immer

größer für größer werdende x-Werte und das absolute Glied wird lediglich addiert. Somit lässt sich feststellen: (

)

Bitte beachten Sie, dass Sie dies immer begründen müssen. Sie können dies, wie ich es getan habe, in Textform tun, oder aber Sie markieren mit Pfeilen, dass sowohl , als auch gegen unendlich laufen für immer größer werdende x-Werte. Was passiert, wenn wir immer größer werdende negative x-Werte einsetzen? Der erste Summand würde durch das Quadrieren wie schon in Beispiel 5 positiv werden.

hingegen würde negativ werden,

also gegen minus unendlich laufen. Das absolute Glied wird wie gehabt addiert. Wie rechnen wir denn nun unendlich minus unendlich plus fünf? Um es von vorneherein klarzustel-

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len: Unendlich minus unendlich ist nicht null! Um zu verstehen, was nun passiert, muss man sich einer Regel bewusst werden, die ich nun einführen werde: -

Bei der Grenzwertbetrachtung sind bestimmte Ausdrücke verschieden gewichtet. Potenzen steigen bzw. sinken beispielsweise stets schneller als Logarithmen.

Es bedarf einiger Übung, sich daran zu gewöhnen, jedoch kann der oben erklärte Trick auch hier angewendet werden. Setzen Sie eine sehr große bzw. sehr kleine Zahl ein! Tun Sie es, und es wird Ihnen helfen, logisch nachzuvollziehen, wogegen der Graph denn nun läuft. Im Folgenden zeige ich Ihnen, dass dies tatsächlich funktioniert. (

) (

)

(

)

Sie sehen, dass noch immer eine große Zahl herauskommt und können daraus schließen, dass

hier der entscheidende Summand ist. Wenn Sie unsicher sind, beherzigen Sie bitte

diesen Tipp und rechnen Sie einmal mit konkreten Zahlen. Wir wissen nun: (

)

Dies können Sie natürlich auch am Graphen der Funktion sehen, den ich Ihnen hier noch einmal zur Verfügung stelle:

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Meine Begründung dafür würde lauten: läuft gegen immer größer werdende positive Zahlen, da der negative x-Wert quadriert wird. läuft gegen immer größer werdende negative Zahlen. Da

aber stets stärker ansteigt bzw. abfällt als die Funktionsvariable

mal zwei, läuft die Funktion gegen unendlich. Da bezogen auf die Größenverhältnisse das absolute Glied sehr klein ist, kann es vernachlässigt werden. Die sollten Faktoren oder Summanden zunächst stets einzeln betrachten. Denken Sie daran, durch Rechnung zu überprüfen, um keine voreiligen Schlüsse zu ziehen. Beispiel 7:

()

An diesem Beispiel wird deutlich, dass man vorsichtig sein sollte. Sie sollten sich stets daran erinnern, dass auch

lediglich eine Zahl ist. Wenn Sie große x-Werte einsetzen, wird

zu einer großen Zahl. Dazu wird eine weitere große Zahl addiert. Ohne viel zu

überlegen können wir nun sagen, dass (

)

Wie sieht es mit dem anderen Grenzwert aus? (

)

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Warum ist das so? Nun, dazu müssen wir uns an Potenzgesetze erinnern! Ich möchte Ihnen anhand einiger Rechnungen zeigen, warum der Grenzwert ist.

Probieren Sie nun einmal Folgendes: Nehmen Sie ihren Taschenrechner und schauen Sie, was passiert, wenn Sie immer größere Zahlen für in

einsetzen. Sie werden feststel-

len, dass der Ausdruck nahezu null wird. Das ist so, da der Ausdruck eigentlich nichts anderes ist, als ein Bruch, bei dem die Funktionsvariable unter dem Bruchstrich, also im Nenner, steht. Übertragen wir dieses Wissen nun auf unser Beispiel 7: Wenn wir eine sehr große negative Zahl in

einsetzen, wird dieser Ausdruck wie oben

gezeigt zu einem Bruch. Somit läuft der Ausdruck für immer größer werdende negative xWerte gegen null.

hingegen läuft gegen immer größere negative Werte, also gegen .

Darum läuft die Funktion insgesamt gegen . Die oben aufgezeigten Schemata lassen sich auch auf alle anderen Funktionstypen übertragen. Wichtig ist jedoch, die tatsächlichen Grenzen zu betrachten. Wir haben bei den Beispielen oben Beispiel 8:

und

betrachtet. Das muss aber nicht immer der Fall sein!

()

Was passiert nun bei diesem Beispiel? Wir betrachten, wie der Name schon sagt, Grenzwerte. Diese Werte befinden sich also an den Grenzen der Funktion. Bei allen zuvor genannten Beispielen gab es keine exakten Grenzen, die Funktionen waren für alle definiert. Nicht so die Logarithmusfunktion! Es ist nicht erlaubt, negative x-Werte in die Funktion einzusetzen, da der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Somit ist die linke Grenze nicht , sondern 0:

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Dieser Sachverhalt lässt sich am leichtesten durch eine Überprüfung mit konkreten Zahlen beweisen. Für

ist der Logarithmus von negativ. Je näher sich der x-Wert der 0

annähert, desto negativer wird der y-Wert, somit läuft der Graph gegen minus unendlich. All das lässt sich natürlich an den Graphen der Funktionen erkennen. Sinn einer Kurvendiskussion ist es aber, auch ohne den Graph zu kennen, Aussagen über die Funktion treffen zu können! Wenn ich Ihnen also Graphen zeige, dann nur, damit Sie sich besser vorstellen können, wie wir auf die Ergebnisse kommen und wie das Ganze aussehen würde. Der Vo...