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Lab 3 1.

Definir transformación. ¿Cuál es la necesidad de transformar?

Una transformación lineal es una función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contradominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

Definición.

Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que a cada vector le asocia un único vector , y que satisface que

El espacio vectorial V es el dominio de la función T, y el conjunto de vectores es el contradominio. La necesidad de aplicar transformaciones lineales es imprescindible para establecer cálculos más simples cuando no es posible determinar con precision en un campo vectorial ya dado. Por ejemplo para establecer cálculos con ecuaciones que son cuadráticas se suelen utilizar coordenadas polares entre otras. 2.

Diferenciar la transformada de Fourier y la transformada discreta de Fourier. La transformada de Fourier es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia. La Transformación de Fourier en tiempo discreto es para señales que son aperiódicas y discretas en el dominio del tiempo. En matemáticas, la transformada discreta de Fourier o DFT es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de Fourier, obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del tiempo. Pero la DFT requiere que la función de entrada sea una secuencia discreta y de duración finita.

3. Diferenciar DFT y DTFT.

Se logra difereniciar en que la DFT se aplica en un conjunto de valores finitos posiblemente obtenidas de un muestreo de una señal de valores infinitos del cúal su trnasformada nos resulta de manera discreta (en dominio de la frecuencia). Mientras que en la DTFT se aplica en señales de tiempo discreto, pero su transformada de Fourier nos resulta continua (valores infinitos).

4. ¿Cuáles son las ventajas de FFT sobre DFT?

Las ventajas de la FFT sobre la DFT está en que la primera es mucho más rápida. Para un vector de N puntos (N múltiplo de 2), la DFT se basa en calcular correlaciones de la señal con N sinusoides, o sea el número de operaciones es proporcional a N 2

La FFT se basa en reordenar el vector de N puntos y dividirlo en mitades sucesivamente, hasta tener N señales de 1 punto cada una. De ahí se hace la síntesis en sentido inverso, recombinando los segmentos. En resumen el número de operaciones es proporcional a

N⋅log2(N). La comparación de relación se resume en las siguientes tabla de relaciones:



La FFT es más precisa porque hace menos operaciones de punto flotante. Casi todo el trabajo es reordenar números. La DFT exige calcular largas sumas de productos con funciones trigonométricas.

5. Diferenciar los algoritmos DITFFT y DIFFFT.

DIFERENCIA ENTRE DITFFT Y DIFFFT

DIT FFT 1. Los algoritmos DITFFT se basan en la descomposición de la secuencia de entrada en sub secuencias más pequeñas y más pequeñas. 2. En esta secuencia de entrada x(n) se divide en muestras numeradas pares e impares 3. La operación de división se realiza en la secuencia de dominio de tiempo. 4. En DIT FFT la secuencia de entrada está en orden invertido de bits mientras la secuencia de salida está en orden natural.

DIF FFT

1. Los algoritmos DIFFFT se basan en la descomposición de la secuencia de salida en sub secuencias más pequeñas y más pequeñas. 2. En esta secuencia de salida se considera que X(k) se divide en muestras numeradas pares e impares 3. La operación de división se realiza en la secuencia de dominio de frecuencia. 4. En DIFFFT, la secuencia de entrada está en orden natural. Y DFT debe leerse en orden inverso.

6.

¿Cómo es útil FFT para representar una señal? La FFT es útil para operar como DFT a una señal discreta pero con menos pasos posibles, lo cual la aplica de manera más óptima en los cálculos de esta misma.

7. ¿Comparar FFT y DFT con respecto al número de cálculo requerido? Para FFT:



El N0 de multiplicaciones en DFT = N2



El N0 de Adiciones en DFT = N (N-1)

Para DFT:



El N0 de multiplicación = N / 2 log 2N



El N0 de adiciones = N log2 N

8. ¿Cómo se reconstruye la señal original a partir de la FFT de una señal?

Para reconstruir una señal emplearemos la la función Sinc(x), expresado de la siguiente manera.

Y aplicaremos el siguiente programa:

9.

Encuentre la DFT de 8 puntos de secuencia x (n) = [1 2 1 2 3 4 4 3] usando el algoritmo FFT.

Emplearemos el siguiente programa empleando OCTAVE:

clear all; close all; x=input('Entrada de la secuencia: ') N=length(x) xK=fft(x,N) xn=ifft(xK) n=0:N-1; subplot (2,2,1); stem(n,x); xlabel('n---->'); ylabel('amplitud');

title('secuencia de entrada'); subplot (2,2,2); stem(n,abs(xK)); xlabel('n---->'); ylabel('magnitud'); title('respuesta de magnitud'); subplot (2,2,3); stem(n,angle(xK)); xlabel('n---->'); ylabel('fase'); title('respuesta de la fase'); subplot (2,2,4); stem(n,xn); xlabel('n---->'); ylabel('amplitud'); title('IFFT');...