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Lagebeziehung Parameterform einer Geraden: • a1=a2=a3=0 eine Ursprungsgerade • u2=u3=0 eine Parallele zur x1-Achse • u1=0 eine Parallele zur x2x3-Ebene • u1=u2=1, u3=0 eine Parallele zu einer der Winkelhalbierenden zwischen der x1-Achse und der x2• u1=u2=u3=1 eine Gerade, die zu jeder Achse einen Winkel von 45o hat

Parameterform einer Ebene: • p1=p2=p3=0 geht durch den Ursprung • u3=v3=0 ist parallel zur x1x2-Ebene • u1=u2=0 ist parallel zur x3-Achse

1. Lagebeziehung von Gerade-Gerade: Sonderfall: g und h schneiden sich und sind orthogonal. Prüfung auf Orthogonalität: Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist Null.

Beispiel 1: 1. Mit den Richtungsvektoren (Rv) überprüfen, ob sie vielfaches voneinander sind. Rv der Gerade g ist das vielfache von dem Rv von h 1. Da die Werte von r in diesem Fall gleich sind, handelt es sich entweder um identische oder parallele Geraden. 2. Um das zu entscheiden, wird eine Punktprobe verwendet. Wenn t in allen Zeilen gleich ist, dann liegt g auf h. Ansonsten wären sie parallel. Beispiel 2: 1. Prüfen, on Richtungsvektoren vielfaches voneinander sind: Da r nicht gleich ist, scheiden sich die Gerade oder sie sind windschief. 2. Beide Geradengleichungen werden gleichgesetzt. Es liegt ein Schnittpunkt vor. Waren da keine richtigen Werte, dann wären die Geraden windschief. Der Schnittpunkt kann bestimmt werden, indem t=3 in g oder s=1 in h eingesetzt wird: S(3/2/2)

2. Lagebeziehung von Gerade–Ebene Fall 1: g und e können sich schneiden, Fall 2: g und e können echt parallel sein, Fall 3: g liegt in e. Sonderfall: Die Gerade g schneidet die Ebene E orthogonal. Dies ist der Fall, wenn ein Normalenvektor von E ein Vielfaches eines Richtungsvektors von g ist.

Beispiel 1: 1. Parameterform der Gerade umschreiben. 2. x1, x2 und x3 in Koordinatenform der Ebene einsetzen. 3. Nach Parameter der Gerade umstellen. 4. Ergebnis interpretieren. 1. Parameterform von g umschreiben: 2./3. ...und in die Koordiatenform E einsetzen: è Das Ergebnis r = -3 in die Parameterform der Geraden g einsetzen: da das eine eindeutige Lösung ist, weiß man, dass die Gerade die Ebene im Punkt S (2|-5|0) schneidet. Beispiel 2: 1. Parameterform gleichsetzen 2. LGS (lineares Gleichungssystem) aufstellen und lösen 3. Ergebnis interpretieren Wir setzen die Terme von Gerade und Ebene gleich und erhalten folgendes LGS:

r = -3, s = 2, t = -3. Es liegt ein Schnittpunkt vor. Um den zu erhalten, setzt man entweder r in die Geradegleichung oder s und t in die Ebenengleichung ein. Schnittpunkt bei S(-1/0/-7) Wenn man in III 0 = 8 raushätte, dann können e und g NUR parallel zueinander sein, da sie nichts gemeinsam haben. Wenn man in III 0 = 0 raushätte, dann liegt g in e, die sie sämtliche gemeinsame Punkte haben

3. Lagebeziehungen Ebene – Ebene 1. Sie schneiden sich 2. Sie sind echt parallel 3. Sie sind identisch Sonderfall: Die Ebenen sind orthogonal. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren Null ist. • Sind beide Gleichungen in Koordinatenform gegeben, fasst man beide als ein LGS mit 3 Variablen auf • Sind beide Gleichungen in Parameterform gegeben, setzt man die rechten Seiten gleich und erhält ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Variablen. • Ist eine Gleichung in Koordinaten- und eine in Parameterform gegeben, setzt man x1,x2 und x3 aus der Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und erhält eine Gleichung mit den beiden Parametern.

Beispiel 1: E1 in Parameterform E2 in Koordinatenform 1. Parameterform von E1 in Koordinatenform umschreiben und in E2 einsetzen (umgeschrieben) (eingesetzt)

Für r erhält man -2, dies setzt man in E1 ein

Nun erhält man eine Schnittgerade g Zwei weiter Lösungsmöglichkeiten è Beispiel 2: E1 und E2 sind in Parameterform gegeben:

Terme der Ebenengleichung gleichsetzten und daraus ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten LGS:

Lösung: u = -3t è Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden Um die Schnittgerade herauszufinden, setzt man die Lösung in eine der beiden Ebenen ein

Beispiel 3: Beide Ebenen sind in Koordinatenform

x2 fällt weg, wenn die beiden Gleichungen addiert werden Die übrig gebliebenen Koordinaten nach x1 umstellen

Ebenen sind nicht identisch (da es keine wahre Aussage wie z.B. 0 = 0) und auch nicht parallel (da nicht 0 = 8) Die beiden Ebenen schneiden sich und haben eine Schnittgerade x1 = 1-x3 in eine der beiden Gleichungen einsetzten. Dabei wird Ebene II wird verwendet und nach x2 umgestellt. Dadurch haben wir x1 und x2 in Abhängigkeit von x3 ausgedrückt. Es folgt:

Nach umschreiben des Ergebnisses: Struktur einer Geraden

Wir behaupten es sei x3=t (oder r oder s etc.) ein Parameter und erhalten die gesuchte Schnittgerade in Parametergleichung mit

Schnittwinkel Skalarprodukt Durch Länge der Vektoren Vektor – Vektor:

Gerade – Gerade:

Gerade – Ebene:

Ebene – Ebene:

Gerade-Gerade: Hier werden die Richtungsvektoren genommen Gerade-Ebene: Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade Ebene-Ebene: Normalenvektor der Ebenen

Länge eines Vektors berechnen:

Skalarprodukt:

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Das Skalarprodukt ist eine Verknüpfung von zwei Vektoren, die eine Zahl ergibt.

a! ⊥b! ⇔a! ⊙b! =0 Mit dem Skalarprodukt kann überprüft werden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen

Taschenrechner: Berechnen -> Menü -> 7 -> C -> 3 (Skalarprodukt)

Kreuzprodukt Das Vektorprodukt ist die Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

Der dadurch erhaltene Vektor c! steht auf a! und b! senkrecht (c! ⊥a! und c! ⊥b!). Um den Vektor ohne Taschenrechner zu berechnen kann folgendes angewendet werden:

Durch das Kreuzprodukt lässt sich ein Normalenvektor ergeben. (siehe Parameterform in Normalenform) Taschenrechner: Berechnen -> Menü -> 7 -> C -> 2 (Kreuzprodukt)

Normalenform: (die Parameterform ist auf der ersten Seite) Normalenform einer Geraden ist nur in einer x-y Form möglich, weil es in der x-y-z Form keine keinen eindeutigen Normalenvektor gibt.

n: Normalenvektor Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Geraden einen rechten Winkel bildet. a: Aufpunkt (oder Stützvektor) Normalenform einer Ebene

Koordiatenform: Koordinatenform einer Gerade nur in x-y Form möglich

ax1+bx2=c a=0: Gerade verläuft parallel zur x-Achse b=0: Gerade verläuft parallel zur y-Achse c=0: die Gerade geht durch den Ursprung ("Ursprungsgerade") c=1: die Geradengleichung liegt in Achsenabschnittsform vor, d.h. die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen lassen sich ablesen → Schnittpunkt mit der x-Achse bei (1/a | 0) → Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0 | 1/b) Beispiele:

5x−3y=7 2x1+4x2=9 In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen x1 und x2, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen x und y verwendet. Koordinatenform einer Ebene

ax1+bx2+cx3=d a=0: Ebene verläuft parallel zur x-Achse b=0: Ebene verläuft parallel zur y-Achse c=0: Ebene verläuft parallel zur z-Achse d=0: die Ebene geht durch den Ursprung ("Ursprungsebene") d=1: die Ebenengleichung liegt in Achsenabschnittsform vor, d.h. die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen lassen sich ablesen → Schnittpunkt mit der x-Achse bei (1/a | 0 | 0) → Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0 | 1/b | 0) → Schnittpunkt mit der z-Achse bei (0 | 0 | 1/c) Beispiele:

5x−3y+z=2 2x1+4x2−3x3=−5

1. Parameterform è Normalenform Ebene: Normalenvektor aus den beiden Richtungsvektoren berechnen: (Kreuzprodukt verwenden)

Einen Aufpunkt auswählen (Ortvektor nehmen) Normalenvektor und Aufpunkt in die Normalenform einsetzen

2. Normalenform è Koordinatenform Ebene:

4x1+3x2+2x3−(4⋅2)−(3⋅(−1))−(2⋅0) = 0 4x1+3x2+2x3−8+3−0 = 0 4x1+3x2+2x3−5 = 0 Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

4x1+3x2+2x3−5 = 0 oder

4x1+3x2+2x3 = 5

3. Koordinatenform è Parameterform

−2 E: -2x1+3x2-5x3 = 10 mit dem Normalenvektor n = 3 −5 Nun werden zwei Richtungsvektoren gesucht, die senkrecht zu n sind. (-2) * x + 3 * y – 5 * z = 0, für x, y, z müssen Zahlen gefunden werden, sodass der Term 0 ergibt 0 3 a= 2 &b= 5 3 0 Jetzt wird noch ein Punkt benötigt, der auf der Ebene liegt. z.B. (0/0/-2) Daraus kann einen Parameterform aufgestellt werden 0 3 0 E:x = 0 + r * 2 + s * 5 −2 0 3

Aus drei Punkten eine Parameterform erstellen: Gegeben sind die Punkte A = (2/−2/4,5), B = (−2/3/0) und C = (0/3/−1,5)

ç das ist die Koordinatenform der Ebene Um nun weitere Punkte auf der Ebene zu finden, muss man für λ und μ beliebige Zahlen einsetzen. Der daraus entstandene Vektor ist ein weiterer Punkt auf der Ebene. Will man nun noch die Ebene in ein Koordinatensystem einzeichnen, dann benötigt man die Koordinatenform der Ebene. Dann berechnet man die Schnittpunkte mit den Achsen und zeichnet diese wie in Möglichkeit 1 ein: ⇒ Schnittpunkt mit der x-Achse: Setze y und z gleich 0. ⇒ Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze x und z gleich 0. ⇒ Schnittpunkt mit der z-Achse: Setze x und y gleich 0. ⇒ Drei Schnittpunkte einzeichnen X-Achse:

Y-Achse:

Nun trägt man die Punkte ein:

Z-Achse:...