Leban-Fd P2019 L10 Criteri-di-resistenza-rev PDF

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Criteri di resistenzaCriteri di resistenzaAbbiamo fin ora analizzato la verifica di resistenza di elementi strutturali sottopostia stati di sollecitazione semplice.Ad esempio, in un caso come quellomostrato a sx la conoscenza dellosforzo di snervamento (o di rottura)ottenuto da una prova di trazione...

Description

Criteridiresistenza:VonMises Il criterio della Massima Energia di Distorsione ha origina da un assunto fondamentale: lo sne snerv rv rvame ame ament nt nto o del mat mate eriale non è influ nfluenza enza enzato to da un regim regime e di pressi pressioni oni di tipo idr drosta osta ostatic tic tico. o. Tale osservazione ha ricevuto infatti un’ampia conferma sperimentale ad opera di Percy Bridgman che, nella seconda metà degli anni ‘50, effettuò una serie di prove di trazione tenendo immerso il provino in una camera iperbarica che consentiva di raggiungere pressioni dell’ordine di 25000 atm (2500 MPa). Da tali prove emerse, infatti, che la press ression ion ione e idr idrost ost ostat at atica ica non solo no non n rid riduce uce ucev va il valor alore e de della lla ten ension sion sione e di sne snerv rv rva ament mento o ma ori rigina gina ginav va un una a mag maggio gio giore re def eforma orma ormab bilità pla plastica stica del pr pro ovino ino, cioè incrementava la duttilità del materiale. Assunta quindi l’l’ininf ininf ininflue lue luenz nz nza a de della lla pr press ess ession ion ione e idr idrosta osta ostati ti tica ca sul ced cedimen imen imento to per sne snerv rv rva amen mento to to, è logico attribuire agli sforzi interni che non variano per effetto della pressione medesima, la causa dello snervamento del materiale

Criteri di resistenza: Von Mises

Statoditensione triassialegenerico

generico      =       

Statoditensioneidrostatico (variazionedivolume)

nonpericoloso  0  = 0  0 0

0 0 

Statoditensionedeviatorico (variazionediforma)

responsabiledello snervamento  −    = 

   −     − 

Criteridiresistenza:VonMises Le relazioni che descrivono questo criterio sono state formulate in modo indipendente da M.T. Hu Hube be berr, R. vo von n Mis Mises es e H. Hencky tra il 1904 e il 1924 anche se di recente si è scoperto che già Maxwell a metà ‘800 aveva postulato i principi che stanno alla base del criterio.

Co Cons ns nsider ider ideraz az azioni ioni di partenz partenza a • Ogni materiale sollecitato elasticamente subisce un (piccolo) cambiamento di forma, di volume o di entrambi • L’energia necessaria a produrre tale cambiamento viene immagazzinata nel corpo sotto forma di energia elastica (Ue = 1/2Eσ2). • Tuttavia, un certo materiale ha una limita limitata ta e de definita finita capa capacità cità di assor assorbir bir bire e ene energia rgia di dist distorsi orsi orsione one one, ossia ener energia gia tend endent ent ente e a cam cambiar biar biare e la form orma a ma non il volume • Ogni tentativo di incrementare l’energia di distorsione ceduta al corpo oltre quel dato limite produce lo snervamento

Criteridiresistenza:VonMises In bre rev ve… Il criterio della Massima Energia di Distorsione assume che lo snervamento avvenga quando l’en energ erg ergia ia di disto istorsio rsio rsione ne per unità di volume raggiunge od oltrepassa l’energia di distorsione per unità di volume necessaria a snervare lo stesso materiale durante la prova di trazione semplice Da cosa nasce…. Materiali duttili soggetti ad uno stato di tensione idrostatico mostrano una resistenza allo snervamento superiore al valore misurabile nella prova di trazione semplice Si ipotizza, quindi, che lo snervamento sia legato in qualche modo all’effetto della distorsione del materiale piut piutto to tosto sto ch che e al alla la trazio azione ne o alla comp omprress essio io ione ne sem sempl pl plice ice ice.

Criteridiresistenza:VonMises L’impiego del criterio MED, meno semplice di quello MTT ma anche più aderente alla realtà sperimentale, si basa sull’introduzione del concetto di tens ensione ione eq equi ui uiv valent alente e, definita come la te tensio nsio nsione ne uni uniass ass assial ial iale e di tr tra azio zione ne ch che e pr produ odu odurr rr rreb eb ebbe be lo st stes es esso so li liv vello di ene energi rgi rgia a di dis disttors orsione ione prodo prodotto tto dall’e dall’efffe fetti tti ttiv vo stato di tensi tension on one e in esame. In termini di tensioni principali, l’equazione della tensione equivalente è la seguente

 =

1 2

1 − 2 2 + 2 − 3 2 + 1 − 3

chesitrasforma,perunostatotensionalepiano,nell’equazionedi un’ellisse

 = 12 − 12 + 22 Diseguitovediamodadovehannooriginele espressioni…

2

Criteridiresistenza:VonMises Si consideri il generico elementino soggetto ad uno stato di sforzo generico, e valutiamo il lavoro compiuto su di esso dagli sforzi agenti. In figura sono evidenziate, per semplicità, le forze e gli spostamenti in direzione x. Ovviamente le stesse condiderazioni valgono anche per le altre direzioni.

Ingenerale,il lavoro compiuto dalla forza Fperlospostamento adessa parallelo δ èespressocome: 1

=

 =

2



1  2  

 =

y

1  2  

y  =   =   =  x

z  = 

z

x

Criteridiresistenza:VonMises  = 

1  =    2

 

 =  x  = 

  =

1    2  

1  2   1 =     2

  =

y

z

 = 

1  =  2 1  =  2

1  =  2

1  =  2

Criteridiresistenza:VonMises  =

1  2  

 =   = 

y  =   = 

z

x

  =

1    2  

1  =  2

  =

1      2 

  =

1    2  

1  =  2

1  =  2

Criteri di resistenza: Von Mises L’energia elastica accumulata per unità di volume sarà pari al lavoro complessivamente compiuto sull’elemento di volume, diviso per il volume stesso.

=

∑ 

=

1 1 1 1 1 1 1  +  +  +  +  +  2 2 2 2  2 2

=

1   +  +  +  +  +  2  

Ricordando che

 =

1  −   +      = 

 =

1  −   +      = 

 =

1  −   +      = 

Criteridiresistenza:VonMises E sostituendo nell’espressione di U, si trova

1 1 1 1  = (  −   +  +   −   +  +   −   +     2    +  +  )     =

1 1 1 ( 2 −   +  + 2 −   +   2  2 2 2 + + …+ )   

1 1  2 + 2 + 2 −  2 + 2 + 2 = 2    =

1 2 + 2 + 2 − 2  +  +  2

+

+

+⋯

1 2  −   +  +  

2 2 2 + + +    1 2 2 2 + +  2  

Criteridiresistenza:VonMises Nel sistema di riferimento principale gli sforzi tangenziali sono nulli, l’espressione dell’energia elastica immagazzinata diventa:

 =

1  2 + 22 + 32 − 2 12 + 23 + 31 2 1

Siricorda che il tensore degli sforzi può essere scomposto nella somma didue componenti,una componente idrostatica ed una componente deviatorica,come segue:   =   

  

   = 0  0

0  0

 −    0   −   0 +    −  

doveσm èlamediadellesollecitazioniprincipali  = 

1 + 2 + 3 3

Sidimostra che lacomponente idrostatica èresponsabile della variazione divolume dell’elementino,mentrelacomponentedeviatorica èresponsabiledelladistorsione (variazionediformasenzavariazionedivolume)

Criteridiresistenza:VonMises Analogamente, è possibile immaginare di scomporre l’energia elastica accumulata nelle due componenti, Uv (relativa alla variazione di volume, di cui è responsabile la componente idrostatica) ed Ud (energia elastica di distorsione, di cui è responsabile la component deviatorica)

 =  +  Poichè il criterio prende in esame l’energia di distorsione, esplicitiamo Ud:

 =  −  Per ottenere l’espressione di Ud cerchiamo prima le espressioni di U ed Uv e andremo a sostituire.

Criteridiresistenza:VonMises

 = 

1 2 + 2 + 2 − 2  +  +  2

 = 

1 3  2 1 − 2 32 − 62 = 2  2

 = 

3 1 + 2 + 3 2 3

 = 

1  + 2 + 3 6 1

 = 

1  2 + 22 + 32 + 212 + 223 + 231 1 − 2 6 1

 = 



1 − 2 

1 − 2

1 − 2 12 + 22 + 32 + 2 12 + 23 + 31 6

Criteridiresistenza:VonMises Riepilogando…   =  −   =

1  2 + 22 + 32 − 2 12 + 23 + 31 2 1

 = 

1 − 2 12 + 22 + 32 + 2 12 + 23 + 31 6

Poniamo:  =

 = 12 + 22 + 32

1  − 2 2

 = 

1 − 2  + 2 6

  =  −   =

1 1 − 2  − 2 −  + 2 2 6

 = 12 + 23 + 31

Criteridiresistenza:VonMises  =

1 1 − 2  + 2  − 2 − 6 2

 =

1  1 − 2 1 − 2 − − −  2  6 3

 = 

1 1 − 2 − 2 6

 = 

3 − 1 − 2 6

 = 

1+ 1+ − 3 3

+ − +

 1 − 2 −  3

−3 − 1 − 2 3

 =

1+ 3

−

 =

1+ 3

12 + 22 + 32 − 12 + 23 + 31

 = 12 + 22 + 32  = 12 + 23 + 31

Criteridiresistenza:VonMises L’energia di distorsione Ud deve essere confrontata con l’energia di distorsione UdS che porta a snervamento il provino nella prova di trazione. Nella prova ditrazione,allo snervamento,si ha: 1 = ; 2 = 0; 3 = 0 Pertanto,lacorrispondente energia dideformazione diventa  =

1+ 2 3

Ponendo l’uguaglianza,si trova lacondizione limite:  =  1+ 1+ 2 = 3 3

12 + 22 + 32 − 12 + 23 + 31

2 = 12 + 22 + 32 − 12 + 23 + 31

Criteridiresistenza:VonMises La precedente relazione permette di definire la tensione equivalente (detta di Von Mises Mises) per lo stato di tensione triassiale da confrontare con quella ammissibile.  =

12 + 22 + 32 − 12 + 23 + 31

Che può essere scritta anche nella forma:

 =

1 2

1 − 2

2

+ 2 − 3

2

+ 1 − 3

2

Perunsistema diriferimento nonprincipale,l’espressione della sigma equivalente diventa:  =

2 + 2 + 2 −  +  +  + 3 2 + 2 + 2

VonMises.Casiparticolari. Nel caso dist st stato ato tensio tensionale nale piano pianocon3=0,lasigmaequivalente diventa:  = 12 − 12 + 22  =

2 + 2 −  + 32

Stato piano,sistema principale Stato piano,sistema nonprincipale

Nelcaso distato stato tension tensionale ale puram puramen en ente te tettange angenzia nzia nziale le le(1 = , 2 = −1):  =

32 = 3 = 

 =

 3

= 0.577

Confrontiamo questo risultato conquello ottenuto conil criterio della massima tensione tangenziale:  massima tensione tangenziale (Tresca) = 0.5  = 2  energia didistorsione (VonMises )  = = 0.577 3 Ilcriterio dell’energia didistorsione indica una resistenza allo snervamento maggiore dei circail 15%

VonMises nellospaziodellesollecitazioniprincipali σB σSN

σSN

-σSN

A -σSN

σA

Analogamente aquanto fatto inprecedenza, consideriamo inizialmente uno stato pi pian an ano o odi =0econsideriamoilpianoσA-σB. sforzo conσ σC=0 Ancheinquestocaso,seAeBsonoordinate conσA>σB sideveconsideraresolamenteil semipianoaldisottodellabisettricedelIeIII quadrante.Lapartesuperiorenonè considerata. NelpianoσA-σB l’equazione

 = 2 −  + 2 Rappresenta un’ellisse congli assi inclinati di 45° epassante peri punti: (σSN,0);(0,σSN);(-σSN,0); (0,-σSN);

Nel caso ditorsione pura,laccond ondizi izi izione one limi imite te sarà datadall’intersizione della linea del taglio (linea inclinata di–45°,bisettrice delIIeIVquadrante)conlacurva limite nel IV quadrante.Incondizioni ditaglio puro,si ha:     =  = 0.577  =  , −  3 3 3

VonMises nellospaziodellesollecitazioniprincipali • In figura è riportato il confronto tra il criterio della Massima Tensione Tangenziale e quello della Massima Energia di Distorsione nel piano delle sollecitazioni principali • L’ellisse passa attraverso i vertici dell’esagono (in questi sei punti i due criteri coincidono) • Per tutti gli altri punti il criterio della Massima Tensione Tangenziale si rivela più conse onserv rv rvati ati ativ vo • Nel caso di sollecitazioni puramente torsionali (σmin = - σmax, punti sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante) lo snervamento avviene per σ1 = - σ2 = ± 0.5 σy per il criterio MTT, mentre σ1 = - σ2 = ± 0.577 σy , quindi il cri rite te terio rio di Von Mise isess acc accre re redit dit dita a al mat aterial erial eriale e una resi esist st stenza enza su supe pe perio rio riorre de dell 15%

VonMises nellospaziodellesollecitazioniprincipali • La scelta tra MED e MTT è lasciata alla sensibilità del progettista • Per le esigenze di progetto, il criterio MT MTT T è pr prat at atico, ico, se sempli mpli mplice ce da uti utilizz lizz lizzar ar are ee conser conserv vat atv vo • Tuttavia il criterio MED fornisce risultati più aderenti alla realtà sperimentale • Come si può osservare anche dalla figura, nel caso di materiali fragili (ghisa, markers triangolari) entr entra ambi i cr crit it iteri eri si dim dimost ost ostrrano no non n att atte endi ndibili, bili, in par partic tic ticolar olar olare e per co com mbina binazio zio zioni ni di so solleci lleci llecitazi tazi tazioni oni loc locali ali alizza zza zzatte ne nell seco econdo ndo quadr quadran an ante te

Criteridiresistenza:Mohr

Criteriodi

Mohr

Criteridiresistenza:Mohr • È stato osservato nella pratica, che non tutti i materiali presentano la stessa resistenza a trazione e a compressione, per es. la tensione di snervamento delle leghe di Mg, in compressione è tipicamente inferiore di circa il 50% rispetto a quella di trazione. • Dunque appare opportuna la scelta fatta da alcuni scienziati del ‘900 di formulare cr crit it iteri eri adatt dattabi abi abili li a mat ater er erial ial ialii car caratt att atte eriz rizzati zati da un diverso co com mporta portamen men mento to a tr tra azion zione ee compr compressi essi ession on one. e. • Tra questi, un ruolo fondamentale riveste il crit riter er erio io di Mo Moh hr , che si basa sull’esecuzione di prove semplici (trazione, compressione, torsione... ecc.) condotte fino alla rottura. • Secondo il criterio di Mohr la rottura si verifica quando, durante l’applicazione del carico, i tre cerchi relativi allo stato di sollecitazione esistente si espandono fino a che uno di essi diventa tan tangen gen gentte all all’ ’in inv vilupp iluppo o di gua guast st sto o (specifico per ciascun materiale utilizzato)

Criteridiresistenza:Mohr • Per tracciare le curve di Mohr è necessario eseguire alme almeno no tr tre e pr pro ove di so solle lle lleci ci citazi tazi tazione one sempli semplice ce ce,, ossia trazione, compressione e torsione pura • Ovviamente tut tutti ti gli stati tens ensiona iona ionali li i cu cuii cer cerch ch chii fo fonda nda ndame me menta nta ntali li sono tan angent gent gentii all alla a cur curva va di Mo Mohr hr sono stat statii lim limit it ite e per il mater materiale iale

Osse Osserv rv rva azio zioni ni taglio mas • Il taglio assim sim simo o so soppor ppor pportab tab tabile ile da dall ma mate te teria ria riale le è maggiore in presenza di uno stato di compressione (sempre nell ’ ipotesi di resistenza a trazione maggiore di quella a compressione) • Gli inv nvilu ilu iluppi ppi so sono no si simm mm mmetr etr etrici ici rispetto all’asse delle  perché il cedimento non dipende dal segno delle  • Dalla parte delle  negative gli inviluppi tendono a divergere (pe pe perr com compr pr pres es essio sio sione ne idr drost ost ostatic atic atica a no non n si ha rottur rottura a)

Criteridiresistenza:Mohr

Prov Prove e edi di ditrazione razionebi biassial assial assiale e

Tension ensione e edi di dirottur rottura a atrazione

L’in invilup vilup viluppo po pon non onè è èn necessaria ecessariament ment mente e erett rett rettilineo ilineo ilineo!!! !!!

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb

Criteriodi

Mohr-Coulomb

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb Una versione semplificata del criterio di Mohr (definita “Criterio di Mohr-Coulomb” o “ teoria degli attriti interni ” ) definisce una curva limite di Mohr costruita prendendo in considerazione i soli ce cerc rc rchi hi relati elativ vi alle pro rov ve di comp comprress ession ion ione e e traz trazion ion ione e e dunque approssimando la curva, vista nel caso precedente, con due rette.

IlcriteriodiMohr-Coulombpuòessereapplicatosiaaiai materialiduttili (chepresentanodifferentivaloridiSy atrazioneecompressione)chea quellifragili(periqualiSut ≠Suc)

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb τ C

B A D

OC

E

OT

O

O*

σ

IlgenericostatodisollecitazioneèrappresentatodalcerchiodiMohr tracciatoinrosso econcentroO. Sesiincrementailcarico,lesollecitazionicresconoproporzionalmente: proporzionalmentecresconolesollecitazioniprincipali,ilcentrosisposta conseguentemente,aumentailraggiodelcerchio.Lacondizionelimitesiavràquandoil cerchiodiventeràtangenteall’inviluppodiguasto.

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb τ

 ,0 2   = − , 0 2  =

C

B A D

E

∗ + ∗  = ,0 2 ∗

OC

OT

O*

σ

  =  

∗

 =  ∗ + ∗   = − 2 2 ∗ + ∗ −   = 2

 =  −  =  −  ∗   ∗ − ∗ ∗  = 2 2  ∗ − ∗  = − 2 2  − ∗ + ∗  = 2  =

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb  = OCO

∗

 =  − 

∗ + ∗   = + 2 2

  = 2

∗ + ∗ +   = 2

 ∗ − ∗  = − 2 2

 =

∗

∗ − ∗ = 2

 − ∗ + ∗  = 2

∗ + ∗ −  ∗ + ∗ +  =  − ∗ + ∗  − ∗ + ∗

  =  

∗ + ∗ −   − ∗ + ∗ = ∗ + ∗ +   − ∗ + ∗  ∗ − ∗ 2 + ∗ ∗ + ∗ − ∗ ∗ + ∗ 2 −  + ∗ −∗ = = ∗ −∗ 2 + ∗...