Lista de Exercícios 1 - ... PDF

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1ª. Lista de Exercícios 1. Localize os zeros das seguintes funções nos intervalos indicados em cada caso: (obs.: quando necessário, redefina o intervalo de pesquisa) a) f(x) = x3 - 3x2 - 4x + 10 [-3 ; 4] , d = 0,5 x b) f(x) = 2 cos x – e / 2; [0 ; 1,2] , d = 0,2 c) f(x) = x ln x – x senx+cosx ; [0,1 ; 2,9] , d = 0,4 d) f ( x ) =(x+ 1)cos2 x [0 ;3] , d = 0,5 e) f(x) = x/2 - tg x (0 ; 4] , d = 0,4 f) g) f(x) = ex - 2x2

[-3 ; 4] , d = 0,5 [0 ; ∞) , d = a sua escolha

2. Usando o método de Bissecção, obtenha o menor zero positivo de cada uma das seguintes funções, localizados na questão 1, considerando a tolerância absoluta de  0, 01 . x a) f(x) = e - 2x2 b) f(x) = 2 cos x – ex / 2; c) f(x) = x lnx – x senx + cosx; 3. Usando MIL, encontre o menor zero positivo da função f(x) = 2x – sen2x – 1 com =0.01 Faça e comente o teste de convergência para este caso. 4. Obtenha o menor zero positivo de cada uma das funções do exercício 2, considerando a tolerância relativa de  = 0.0001, e um máximo de M = 6iterações, aplicando: a) Método de Newton; b) Método das Cordas. 5. Calcule o valor de , com 9 algarismos corretos, usando o método de Newton a) usando a função f(x) = sen(x) b) usando a função g(x) = 1+cos(x) Qual a melhor fórmula para este caso. Justifique. x

6. Localize todos os zeros positivos da função f(x) = e –ln(x) -10x em intervalos de amplitude 0.5 Calcule o menor zero positivo, com tolerância de  = 0.0001, e um máximo de M=5iterações, usando os seguintes métodos: a) Método de Bissecção b) Método das Corças c) Método de Newton Compare e comente os resultados obtidos 3

7. Suponha que a sua calculadora não tem a tecla . Usando o método de Newton faça 3 10 . um esquema para o cálculo de 8. Usando o método de Newton faça um esquema para o cálculo de arcsenoa, dado a.

1 9. Usando o método de Bissecção faça um esquema para o cálculo de

a ,a  1 .

10. Supondo que a sua máquina calculadora não tem a tecla SHIFT, portanto não calcula a função arctg, nem √ ❑ . Calcule com essa máquina o valor de arctg √ 5 , aplicando o método de Newton, se iniciando com o inteiro mais próximo a este como x 0 . Faça os cálculos com uma tolerância relativa de  = 0.0001, e um máximo de M=5 iterações. 3

11. Considere o polinômio P(x) = x - 3x - 2, o qual possui 3 zeros no intervalo [-2,5 ; 2,5] a) Localize todos os zeros de P em intervalos de amplitude d = 1,0; b) Justifique a sua dificuldade em localizar os zeros desta função; c) Calcule o zero positivo de P, usando o método de Birge-Vieta, com  = 0.001, e M = 5; d) Que dificuldades podem surgir, se calcularmos os zeros negativos de P, usando o método de Newton. 12. Considere a função f(x) = ax2+bx+c, e a formula de iteração do MIL dada por (x) = ax2+(b+1)x+c. b Supondo que x = a é um zero da função, determine os valores de a, b, c para os quais o MIL é convergente 13. Calcule todos os zeros do polinômio P(x) = x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6, sem localização dos mesmos, partindo de x0 = 0. Use o Método Birge-Vieta, com  = 0.001, e M = 5; 14. Dados uma função f, um intervalo [α , β], uma tolerância relativa ε, e um número máximo de iterações M, escreva um algoritmo para calcular o zero de f i. pelo método das Cordas; ii. pelo método de Newton. 15. Pelo critério da convergência do MIL demonstre que a formula de iteração do método de Newton é convergente. 16. Escreva um algoritmo para localizar todos os zeros de uma dada função f(x), existentes no intervalo [a, b], em subintervalos de amplitude dada d. O algoritmo deverá prever o caso em que um zero seja encontrado na extremidade de um subintervalo. , 17. Dados uma função f e um intervalo   contendo um único zero de f, escrever um algoritmo para calcular o zero pelo método das cordas, com uma dada tolerância relativa  e um número máximo de iterações, M.

 ...