Listrik Statis PDF

Preview

Summary

LISTRIK STATIS (2) Medan Listrik pada Muatan Kontinu BAB 2 &Penerapan Hukum Gauss Fisika Dasar II 21 1. MEDAN LISTRIK PADA MUATAN KONTINU Dalam bab satu kita telah dapat menghitung medan listrik di sekitar suatu muatan titik menggunakan persamaan yang diperoleh dari hukum Coulomb. Namun bagaiman...

Description

Fisika Dasar II

Dalam bab satu kita telah dapat menghitung medan listrik di sekitar suatu muatan titik menggunakan persamaan yang diperoleh dari hukum Coulomb. Namun bagaimana jika sumber muatan bukan muatan titik ? misalnya muatan berupa bongkahan bermuatan yang memiliki volume tertentu.

)

! !

" #$ #% & '( #% )

%#

Untuk muatan yang memiliki volume, dikenal rapat muatan atau ρ yang didefinisikan sebagai :

ρ=

Q V

ρ=

dQ dV

(1)

atau dalam bentuk diferensial : (2)

atau jika muatan dianggap tidak bervolume dan hanya memiliki panjang, maka muatan persatuan panjang didefinsikan sebagai :

ρ=

dQ dx

(3)

jika diungkapkan dalam pernyataan integral muatan dalam sumber muatan listrik dengan volume V :

Q = ∫ ρ ⋅ dV

(4)

V

sehingga persamaan (3) dalam bab I untuk muatan kontinu menjadi :

= k∫

dQ ˆ r2

(5)

= k∫

ρ dV ˆ r2

(6)

Mari kita hitung beberapa sumber muatan kontinu menggunakan persamaan (5) atau (6)

* %# !

+

"

&&

Kita hitung medan listrik pada titik P sejauh x dari garis bermuatan sepanjang L berikut :

! " #$ # &&

+

"

#% &

%#

Dengan menggunakan persamaan (5) :

= k∫

dQ ˆ r2

kita tempatkan pada ujung garis pada pusat koordinat : ,

,

Sehingga jarak elemen muatan dQ ke titik P adalah (x2b) dan dQ sebagaimana persamaan (3) adalah ρdx :

= k∫

ρdx ˆ (b 2 x) 2

persaaaan ini harus diintegrasi dengan teknik substitusi variabel, ini permasalahan Kalkulus. Variabel (b2x) kita ganti dengan u sehingga :

b − x = u dan dx = −du , maka integrasi menjadi :

= −k ∫

ρdu ˆ u2 L

1 1 1  1 = kρ = kρ = kρ −  u b−x 0 b−L b  ρL   = k   b( b − L )  karena ρL = Q, maka besarnya medan magnet

sejauh b dari garis

sepanjang garis :

 Q   E = k    b( b − L ) 

(6)

Contoh :

-. /% %

Jawab : Dengan mengunakan persamaan (6) di mana : k = 9x109 Nm2/C2 L= 1m b = 1 mr + 50 cm = 1,5 m Q = ρ L = (5x1026 C/m)⋅(1 m) = 5x1026 C

 Q   5x10 2 6   5x10 26  = 9 x10 9   = 9 x10 9  E = k   b( b − L )   (1,5)(1,5 2 1)   (0,75)

  = 6 x10 4 N / C 

!

& ! # # +#

&

Sekarang kita hitung medan listrik di titik p pada jarak b tegak lurus garis. Dengan menempatkan pertengahan garis pada pusat koordinat kartesius :

, ,

0

!

" #$

& ! ## &

Dari persamaan (5) :

= k∫

dQ ˆ r2

jarak dari elemen muatan dQ dengan panjang dx pada titik P adalah :

r = b 2 + x 2 dan dQ = ρdx, sehingga : L /2

= kρ

dx ˆ 2 b x + − L /2

∫

2

sekarang kita perhatikan gambar berikut : θ θ

θ θ

,

Tampak bahwa komponen x dari

( E sinθ) saling menghilangkan satu

sama lain sehingga tidak perlu kita hitung dan kita perhatikan komponen y nya saja : L /2

E 1 = kρ

cos θ dx 2 2 + b x −L / 2

∫

sampai di sini permasalahannya adalah pengetahuan kalkulus : L /2

L /2

cos θ cos θ dx = kρ ∫ 2 dx E 1 = kρ ∫ 2 b (1 + tan 2 θ) x 2 −L / 2 −L / 2 b (1 + 2 ) b karena 1+tan2θ = sec2θ : L /2

E y = kρ

cos θ dx 2 θ b sec −L / 2

∫

2

kita ganti : x = tanθ, jika diturunkan maka dx = sec2θ dθ sehingga :

cos θ sec 2 θdθ 2 b sec θ −

E y = kρ ∫ Ey =

2

kρ cos θdθ b ∫

kρ kρ x = sin θ = b b b2 + x2

L /2

−l / 2

sehingga medan magnet sajauh d tegak lurus garis :

Ey =

kρ  L 2 2  b  b + (L / 2 )

   

(7)

atau :

Ey =

2kρ  L /2 b  b 2 + ( L / 2 )2 

   

(8)

Contoh :

-. /%

%

Jawab : Dengan mengunakan persamaan (8) di mana : k = 9x109 Nm2/C2 L= 1m b = 50 cm = 0,5 m ρ = 5x1026 C/m

 2(9 x10 9 )( 5x10 − 6 )  1 /2 2kρ  L /2  = 2 2 2 2    0 ,5 b  0 ,5 + ( 1 / 2 )  b + (L / 2 )  1,8x10 5 = ≈ 1.27x10 5 N / C 2

Ey =

   

Jika garis sangat panjang sehingga L/2 >> b, maka persamaan (8) dapat diaproksimasi menjadi :

Ey =

2kρ  L / 2 b  (L / 2 ) 2 

   

atau :

Ey =

2kρ b

(9)

2 /

* %#

Kasus kedua misalnya sebuah cincin bemuatan sebagai berikut :

θ

3

! " #$ , #! / / "

#% 4"

%#

Kita akan menghitung medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat cincin menggunakan persamaan (5) :

= k∫

dQ ˆ r2

sama dengan alasan seblumnya bahwa medan lsitrik pada komponen y akan saling menghilangkan satu sama lain, sehingga medan listrik yang kita perhatikan hanya komponen x saja :

Ex = k∫

dQ cosθ r2

Karena jarak elemen muatan dQ pada titik P :

r = b 2 + x 2 , dan cos θ = x/r maka :

E, = k∫ =

x dQ r b2 + x2

kx dQ (b + x 2 ) 3 / 2 ∫ 2

sehingga kuat medan magnet pada titik P sejauh x dari pusat cincin :

kxQ Ex = 2 (b + x 2 ) 3 / 2

(10)

Contoh :

θ

Jawab : Dengan mengunakan persamaan (10) di mana : k = 9x109 Nm2/C2 x = 50 cm = 0,5 m b = 10 cm = 0,1 m Q = 5x1026 C/m

Ex =

9 x10 9 (0 ,5)( 5x10 −6 ) kxQ = ≈ 1,697x10 5 N / C 2 2 3 /2 2 2 3 /2 (b + x ) ( 0 ,1 + 0 , 5 )

0

2 ! % Sekarang kita hitung kasus lain, yaitu medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat benda berbentuk cakram dengan jari2jari b seperti pada gambar : θ

Kasus ini dapat dipandang sebagai penjumlahan

dari

berbentuk cincin

muatan2muatan sebagaimana telah

kita hitng sebelumnya. Cincin2cincin ini jari2jarinya membesar mulai dari r = 0 hingga #% %# / ! %

! "

" #$ , # & 4"

r

=

b

sehingga

akhirnya

membentuk cakram. Untuk itu kita tuliskan persamaan (10) dengan cincin

berjari2jari r bermuatan dQ sebagai berikut :

dE x = kx

dQ (r + x 2 ) 3 / 2 2

dengan dQ = rapat muatan x luas cincin = ρ(2πr⋅dr) Medan akibat cincin ini kita integralkan dari r=0 hingga r=b, sehingga : b

b

ρ2 πrdr rdr = kxρ2 π ∫ 2 2 2 3 /2 (r + x ) (r + x 2 ) 3 / 2 0 0

E x = kx ∫

sekali lagi, ini tinggal persoalan kalkulus. Kita lakukan teknik substitusi variabel, di mana :

u = r 2 + x 2 dan du = 2 rdr b

1 du 1 E = kxρ2 π ∫ 3 / 2 = − 2 kxρπ 20u r2 + x2

b

(11)

0

 1 1 E = −2 kxρπ −  2 2 x  b +x

 x E = 2 kρπ 1 − 2 b + x2 

0

  

(12)

! $ &&

Untuk pelat tak hingga, kita bisa menggunakan persamaan (11) dengan menganggap b = ∞ sehingga persamaan (12) menjadi:

 x E = 2 kρπ 1 − b2 + x2 

  ≈ 2 kρπ(1 − 0 )   E = 2 k ρπ

(13)

5

4

6 #!

!

Teknik lain untuk menghitung medan magnet dari muatan kontinu adalah menggunakan hukum Gauss. Teknik yang digunakan Gauss relatif lebih mudah untuk kasus2kasus benda geometris. Sebelum kita melangkah lebih jauh dengan hukum Gauss, kita definisikan #

sebuah besaran fisis yang akan kita gunakan nanti, yaitu fluks listrik Φ. Fluks listrik didefinisikan sebagai perkalian2titik medan listrik

dan luas yang

dilewatinya A, namun secara fisis fluks menggambarkan banyaknya garis medan magnet yang menembus sebuah permukaan luas. Jika kita ilustrasikan dalam gambar :

$' ! ( ! 0.(

$' ! ( !

$ ' ! ( + %#!

$ ' ! ( + %#!

Φ = E ⋅ A = EA cos 30 o =

Φ = E ⋅ A = EA cos 0 o = EA *

7 6 #!

!

% #

# $ #

EA 3 2

%#!

Kita bisa membayangkan fluks magnetik ini dengan sebuah kipas angin yang menerpa selembar kertas, hembusan angin terasa lebih keras ketika kertas tegak lurus pada hembusan angin artinya vektor luas permukaan searah dengan arah hembusan angin, namun ketika kertas sejajar dengan arah hembusan angin, tekanan angin sangat minim.

8 1

& &

(& 9 #! $ + & !+ & % #+ ! :" ! ! & ! ## $ 1 ' !( # & ' !( $ & " " : % ! 9 #! 1 % ! %#%

Gauss menyatakan bahwa : “Jumlah Garis Gaya yang keluar dari suatu permukaan tertutup (atau fluks Φ) sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu” atau “Sumber dari sebuah medan magnet adalah muatan listrik”, jika diungkapkan dalam sebuah persamaan matematis :

Φ=

∫ S

⋅d

=

Q dlm εo

(14)

Qdlm adalah besarnya muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss. Hukum Gauss ini tidak akan dijelaskan terlalu detail karena kesulitan teknis mengingat anda belum mendapatkan dasar kalkulus yang cukup terutama tentang divergensi dan integral permukaan. Akan tetapi, kita akan gunakan hukum Gauss ini untuk menghitung kuat medan listrik dari sebuah benda2 benda geometris sederhana seperti bola, silinder, pelat tipis, sebab pada kenyataannya kita seringkali berhadapan dengan benda2benda geometris seperti ini, dan nantinya kita akan menggunakan hasil perhitungan kuat medan listrik tersebut untuk menghitung medan listrik pada sebuah kapasitor.

Kita akan memulai menghitung medan listrik menggunakan hukum Gauss pada muatan titik sekaligus membuktikan kesesuaian medan listrik yang diperoleh hukum Coulomb pada persamaan (5) dengan hukum Gauss.

## ! #

!

% #! !

#

!

&&#

!

5#!#%

5#!#% 2(# (%

Perhatikan sebuah muatan titik dengan besar muatan Q pada gambar 2.3 Muatan ini kita lingkupi dengan sebuah “permukaan Gauss” yang kta pilih berbentuk bola. Pemilihan bentuk permukaan Gasuss ini sebetulnya sekehendak kita, kita juga boleh saja memilih berbentuk kubus atau apapun, namun dengan mempertimbangkan ;

# ! &!#+ & # $ + %#! # #! ( & #

seluruhnya dan

, muatan harus terlingkupi

, kemudahan dalam perhitungan. Atas kedua dasar ini

kita bentuk bola. Kita gunakan hukum Gauss pada persamaan (14) :

Φ=

∫

⋅d

=

S

Q dlm εo

= E ∫ dA cos θ o =

Q εo

= E ∫ dA cos 0 o =

Q εo

S

S...