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Jesús Mosterín Los Lógicos ESPASA ESPASA FÒRUM Directora: Pilar Cortés Editora: Olga Adeva Primera edición: febrero, 2000 Segunda edición: abril, 2000 Tercera edición: septiembre, 2000 © Jesús Mosterín Heras, 2000 © Esposa Calpc, S. A., 2000 Diseño de cubierta: Tasm&nias Foto de portada: Chema.M...

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Los-Logicos-Jesus-Mosterin.pdf Julian Fernando Trujillo Amaya

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Filosofía de las Mat emát icas. El cierre cat egorial de la Topología Carlos M. Madrid Casado Represent aciones y exist encia mat emát ica José Ferreirós

Jesús Mosterín

Los L ó g i c o s

ESPA SA

ESPASA FÒRUM

Directora: Pilar Cortés Editora: Olga Adeva

Primera edición: febrero, 2000 Segunda edición: abril, 2000 Tercera edición: septiembre, 2000

© Jesús M osterín Heras, 2000 © Esposa Calpc, S. A., 2000

Diseño de cubierta: Tasm&nias Foto de portada: Chema.Madoz Ilustraciones de interion Jesús M osterín, Miguel de Guzmün y A rchivo Gráfico Esposa Calpe Realización de cubierta: Ángel Sanz Martín

Depósito legal: M. 37.089-2000 ISBN: 84-239-9755-3

Reservados todos las derechos. No se perm ite reproducir, almacenar en sistem as de recuperación de la Información ni transm itir alguna parte d e esta publicación, cualquiera q u e sea el m edio em pleado — electrónico, mecánico, fotocopia, grabación, etc.— . sin el perm iso previo d e los titulares d e los derechas de la propiedad intelectual.

Esposa, en su deseo de mejorar sus publicaciones, agradecerá cualquier sugerencia que los lectores hagan al departamento editorial por correo electrónico: [email protected]

Impreso en España / Printed in Spain Impresión: Huertas, S. A.

Editorial Esposa Colpe, S. A. Carretera de Irún, km 12,200.28049 M adrid

Ín d i c

e

P r ó l o g o .................................................. I n t r o d u c c ió n t e r m in o l ó g ic a : e l l e n g u a j e

1.

c o n j u n t i s t a ........

11 15

R elaciones de eq u ivalen cia......................................................... B iyectabilidad....................... L os núm eros enteros y racionales..............................................

17 18 20

F r e g e (1848-1925)....................................................

25

G O TTLO B

Alem ania en la época de B ism arck............................................. Infancia y juventud de F reg e..................................................... E rnst A b b e ................................................................................... E l sueño de una lengua universal p erfecta .:............................. C reación de la lógica m od ern a.................................................. L os sím bolos lóg ico s d e F reg e.................................................... E l cálculo deductivo de F r eg e................................................... L os núm eros naturales en F r e g e ............................ . D ed ek in d ...................................................................................... l^eano............... ,............................................................................ E lprogram a lo g ic ista .................................................................. L ógica filosófica y filosofía del len gu aje........... .................... 62 H ilbert y Frege sobre el m étodo a x io m á tico ........................... E l m étodo axiom ático........................................... Las geom etrías n o e u d íd e a s...................................................... Frege, analista d el m étodo M b ertia n o ................. Amargura y o ca so ........................................................................ 7

25 27 28 32 37 42 45 46 51 54 57 67 70 72 76 84

LOS LÓGICOS

2.

3.

G e q r g Ca n t o r (1845-1918)..................................................

89

Infancia y ju v e n tu d ................................................................. C artera académ ica................................................................... C antor y D edekind.................................................................. Los núm eros reales y com plejos............................................. Finito e infinito ...................................................................... La supem um erabilidad del conjunto de los núm eros reales.. C uestiones de cardinalidad................ 1884-1897: período de crisis............. ..................................... La polém ica B acon-Shakespeare............................................ F ilosofía.................................................................................. L a Deutsche Mathematiker-Vereinigung................................. N úm eros ordinales.................................................................. Tipos de o rd e n ........................................................................ Las an tinom ias....................................................................... Época de v e je z ........................................................................

89 94 96 98 102 106 108 109 111 114 119 121 123 128 131

Be k ir a n d Ru s s e l l (1872-1970)............................................. 137 Infancia y adolescencia...................................;........ ......... 138 Ju v e n tu d .............. 140 Fundam entos de la g eo m etría..................................... 143 Rebelión contra el idealism o....................... ........................... ,. 145 E l Congreso Internacional de Filosofía de P a r ís ........ ............... 148 Los principios de la m atem ática.............................¿y............ 149 El lo g id sm o ..............................................:............ ¡............... 151 Las p a rad o ja s...................................... 152 La teoría de las descripciones................................................. 153 La teoría de los tip o s............................................................... 155 Principia Matkematica............................................................. 157 Evaluación posterior del logicism o de R ussell....................... 159 E l fenom enism o.................................................. 160 Filósofo p rá c tic o .................................................................... 164 D o ra ........................................................................................ 166 E ducación in fan til............... 171 M atrim onio y m o ra l................................................................ 176 8

ÍN D ICE

H istoria de la filosofía............................................................ L a últim a etap a......................:.............................................. ...

4. J o h n

von

N e u m a n n (1903-1957)..........................................

177 178

181

H u n g ría ....:............................................................................. 181 Infancia y ju v e n tu d ................................................................ 183 L os ordin ales.......... ............................. ;................................. 186 A ritm ética ordinal y recursión tran sfiriita.............................. 188 Axiom atización de la teoría de co n ju n to s.............................. 191 Axiomas de la teoría de co n ju n to s......................................... 192 La noción de conjunto y la jerarquía acum ulativa................. 194 M ecánica cuán tica.................. 198 E l espado de H ilb e rt.............................................................. 202 E n A m érica............................................................................ 205 Personalidad e inteligencia.................................................... 208 Teoría de ju e g o s.............. ........................................ *............ 210. C om putadores............................................................................ 212 Autóm atas au tó rrep ro d u cto res.............................................. 213 Bomba de hidrógeno ................... :....................... ;................ 214 La m uerte de yon N eum ann.................................................. 216

5.

Ku b t G ó DEL (1906-1978)......................................................

219

In fan d a y edad e sc o la r.......................................................... É poca de estu d ian te............................................................... L a com pletud del cálculo lógico de prim er o rd e n ................ P ru eb a del teorem a de com pletud sem ántica........................ Incom pletud de la aritm édca fo rm al................................. G ó d elizad ó n .......................................................................... L a prueba del teorem a de incom pletud de la aritm ética....... A ritm ética clásica e in tu id o n ista ............................................ Tiem pos turbulentos (1934-1939)......................................... Consistencia relativa de AC y G C H ....................................... L a prueba de la consistencia relativa de AC y G C H ............. A d d e y otros tem as de la vida p riv ad a................................... R losofíá'de la m atem ática.....................................................

221 223 225 228 230 236 238 243 246 251 254 258 263

9

LOS LÓGICOS

C osm ología................... .......................... E l m odelo cosmológico de G odel (1949) E n P rin c eto n ........................................... Los últim os a ñ o s........................ i........... 6.

Al a n T u r in g (1 9 1 2 -1 9 5 4 )......................................................... Infancia y ju v e n tu d ................................................................ Como una m áquina................................................................. Funciones recursivas.............................................................. M áquinas de T u rin g............................................................... E n P rin c eto n .......................................................................... D escifrando có d ig o s.............................................................. ¿Puede pensar una m áquina?........................................ Suicidio................ Tablas y diagram as-de m áquinas de T u rin g ........................... Turing-com putabilidad de las funciones recursivas prim itivas..

Le c t u r a s

/{s/

287 289 292 295 298 300 303 306 308 312 321

s u pl e m e n t a r ia s

10

Pr

ól ogo

L a m atem ática es la m ás grande aventura del pensam iento. En otras actividades tam bién pensam os, obviam ente, pero contam os además con la guía y el control de la observación em pírica. En la m atem ática pura navegam os p o r un m ar de ideas abstractas, sin m ás brújula que la lógica. Jacobi pensaba que la finalidad única de la m atem ática consiste en h o n rar al espíritu hum ano. P o r otro lado, la m atem ática y el pensa­ m iento abstracto im pregnan toda la ciencia y la tecnología actuales. D esde la cosmología hasta la economía, nuestro conocim iento de la na­ turaleza y de la sociedad sería inconcebible sin las m atem áticas. A dife­ rencia de la ciencia antigua, que buscaba una'com prensión cualitativa de los fenómenos, la ciencia m oderna se basa en la construcción de m o­ delos teóricos (es decir, m atem áticos) de la realidad. La realidad es ex­ cesivam ente com pleja para pod er ser directam ente com prendida p o r nuestras lim itadas entendederas. Lo único que podem os hacer es bus­ car en el universo m atem ático una. estructura que se parezca en algún aspecto relevante a la porción de la realidad p o r la que nos interesemos, y usar esa estructura como m odelo teórico sim plificado.de la realidad. Una vez que disponem os de un m odelo teórico, podem os traducir al lenguaje de las m atem áticas las preguntas que nos hacem os en la vida real, podem os com putar la respuesta dentro del m odelo y, finalmente, podem os retraducir esa respuesta m atem ática al lenguaje de la vida real. Si querem os calcular trayectorias de aviones o barcos sobre la su­ perficie terrestre, m odelam os la T ierra m ediante una esfera o un elip­ 11

LOS LÓGICOS

soide. E n las teorías científicas avanzadas las estructuras m atem áticas que utilizam os com o'm odelos son más com plicadas. La cosm ología usa la teoría general de la relatividad, que m odela el espacio-tiem po físico como una variedad diferencial provista de una cierta m étrica (un cam­ po tensorial). La m ecánica cuántica m odela los sistem as atóm icos como espacios de H ilb ert (ciertos espacios vectoriales de un núm ero infinito de dimensiones). ¿De dónde sacamos esas esferas y elipsoides, de dónde sacam os los núm eros, los vectores, las probabilidades, las variedades diferenciales, los cam pos tensoriales, los espacios de H ilbert? Los sacam os del u ni­ verso m atem ático. Y ¿de dónde sacamos el universo m atem ático? N os lo sacamos de'la cabeza. Es una creación del espíritu hum ano, pero no es una creación arbitraria, sino constreñida p o r una lógica im placable. El resultado de esa creación, el universo m atem ático, es u n depósito inagotable de todo tipo de estructuras im aginables e inim aginables. Al­ gunas de esas estructuras pueden reducirse a otras en el sentido de ser definibles a p artir de ellas. La ontologjía m atem ática — es decir, la teo­ ría de conjuntos— trata de red u cir la vertiginosa variedad de las es­ tructuras a sus com ponentes básicos, que en últim o térm ino son los conjuntos. A p artir del conjunto vacío e iterando unas pocas operacio­ nes, el m atem ático — como un com positor— construye la gran sinfonía del universo m atem ático, con todos sus núm eros y espacios. En los m odelos calculam os y obtenem os m ediante com putaciones las respuestas que buscam os. Los com putadores son «cerebros electró­ nicos», extensiones de nuestras cabezas, m áquinas que im plem entan program as form ales y nos perm iten resolver nuestro s problem as, al m enos en la m edida en que estos sean com putables. Q ué problem as sean com putables y h asta qué p u n to lo sean es aquí u na cuestió n crucial. Alguien podría pensar que algo tan abstracto copio la lógica solo podría atraer a personalidades frías y exangües. P ero las apariencias engañan. Bajo el hielo de la razón pura arde a veces una llam a abrasa­ dora y u n corazón atorm entado. A los veinte años Jean van H eijenoort se había en treg ad a to talm ente a la causa de la revolución m undial. G im o' secretario particular y guardaespaldas de Trotski, lo acom pañó 12

PRÓLOGO

én su exilio en Turquía, Francia, N oruega y M éxico. A sesinado Trotski, van H eijenoort se puso a estudiar lógica y m atem áticas y se convir­ tió en historiador prom inente de la lógica. Lejos de cualquier frialdad, se pasó la vida en torm entosas pasiones amorosas con sus. diversas es­ posas y amantes. C uando yo lo traté, bajo las cenizas de la edad toda­ vía ard ían brasas incandescentes. Su últim a m ujer, la m exicana Ana M aría, nada más conocerlo, lo describió com o «una llam a de fuego puro». E n ese fuego se quem aron los dos. Ya separados, y dedicado Jean en Stanford a la edición de las obras com pletas de G ódel, Ana M aría lo conm inó a volver a M éxico inm ediatam ente, p o rq u e ella que­ ría suicidarse y m atarlo a eL É l canceló todos sus com prom isos y tom ó el prim er avión a M éxico. Allí, en la cam a, ella le disparó tres tiros en el cráneo y a continuación se disparó a sí m iañ a en la boca, como había anunciado. E n fin, cualquier cosa excepto una vida fría y aburrida. D e todos m odos, su contribución creativa a la lógica, aunque apreciable, fue m odesta. Q u in e, sin em bargo, au n q u e m ucho m ás im portante como filósofo y lógico, y aunque coronado p o r el éxito académ ico, ha tenido la vida previsible y desangelada del típico profesor universita­ rio, com o sü propia autobiografía se encarga de docum entan dicho sea con el respeto y adm iración que cuantos lo conocem os le profesam os. ¿No habrá habido lógicos que hayan com binado el interés hum ano de una vida extrem a con la plenitud del genio creador? Sí, los ha habido, y de algunos de ellos trata este libro. A unque hace m ucho tiem po que los seres hum anos razonan, clasi­ fican y calculan, solo a finales del siglo X IX y principios del X X se ha lo ­ grado una cierta claridad acerca de la lógica, las clases y los algoritmos, tem as todos ellos íntim am ente im bricadps entre sí. Esta clarificación es el fru to de una de las m ayores revoluciones intelectuales de todos los tiem pos, que incluyó la creación de la lógica m oderna, la teoría de con­ juntos y la teoría de la com putación, la aritm etización d el análisis y la transform ación de la filosofía teórica. Esos progresos fueron llevados a cabo p o r varios pensadores geniales, que eran a la vez filósofos y mate-: m áticos, y a los que aquí vamos a llam ar los lógicos. D e entre los lógi­ cos que hicieron la revolución, hem os elegido a seis héroes intelectua­ les, de obra decisiva y vida interesante: Frege, C antor, Russell, von 13

LOS LÓGICOS

N eum ann, G ódel y Turing. P o r su obra, podríam os haber elegido tam ­ bién a otros (como D edekind, H ilbert, Zerm elo o Tarski), pero su vida no fue tan dram ática. Espero que esta com binación de biografía y lógica, de anécdota y concepto, de contexto histórico y desarrollo abstracto, resulte digeri­ ble para el lector y. sea de su agrado. E n el m ejor de los casos, el lector lego en lógica y m atem áticas puede aprender algo de esas disciplinas leyendo este libro, y el lector ducho en esas m aterias puede aprender algo acerca de los hom bres atorm entados que las crearon y de la época en que les tocó vivir Las páginas norm ales de este libro, sin recuadro, contienen textos biográficos (incluyendo la biografía intelectual, cla­ ro). Las páginas recuadradas contienen textos m ás directam ente m ate­ m áticos, aunque a un nivel siem pre bastante elem ental (espero). Así, el lector al que se le indigesten las m atem áticas puede sim plem ente igno­ rar las páginas recuadradas y saltárselas. Tam bién puede saltárselas el docto en el asunto, .que no las necesita. E l lector puede elegir leer unos capítulos con independencia de los otros, seguir el orden* aquí estable­ cido o un orden distinto, lim itarse a las porciones biográficas o leer tam bién las m atem áticas. E n general, puede confeccionar su p ro p io m enú de lectura. Finalm ente, quiero agradecer a Jo an Bagaría y a José Ferreirós sus buenos consejos y su ayuda en la detección de descuidos y errores en la versión inicial de esta obra. Jesús M osterín

14

In t

r o d u c c ió n t e r m in o l ó g ic a

:

EL LENGUAJE CONJUNTISTA

CA siglo XIX registró una extraordinaria eclosión de creatividad matemá­ tica: nuevas ramas del álgebra, de la teoría de núm eros, del análisis, de la geom etría y de otras disciplinas surgían p o r doquier, cada una con su pro­ pia term inología, sus conceptos y m étodos distintos. Sin em bargo, esa proliferación y dispersión se vio com pensada p o r d desarrollo de un len­ guaje universal de la m atem ática, basado en nodones m uy abstractas, que encontraban aplicadón en los más diversos campos: el lenguaje conjuntista. L a prim era n o d ó n conjuntista es la n o d ó n m ism a de conjunto. Pensadores como Riem ann, D edek ind1 y C antor em pezaron a usarla, bajo los nom bres diversos de sistem a (System), variedad (Mannigfaltigkeit), conjunto (Menge), com pendio (Inbegriff) y m ultip lid d ad (Vielbeit). O tros, como Russell, preferirían hablar de dases. A unque d uso demasiado, alegre de la n o d ó n de c...