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Roberto Nava Castillo 19IIN053

Algebra Lineal Ingeniería Industrial Tercer semestre Instituto Tecnológico Superior de Ébano

Espaciosy subespaciosvectoriales En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos. En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben

ser

válidos

para

todos

los

vectores u, v y w en V y

todos

los

escalares α y β reales. Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por

un

vector v

1. u+v

∈

V V

∈

2. u+v=v+u 3. (u+v)+w=u+(v+w)( 4.

Existe

5. Para

cada v en V,

6. αv 7. α(u+v)=αu+αv 8. (α+β)v=αv+βv 9. α(βv)=(αβ)v 10. 1v=v

un

vector existe

nulo 0V un

opuesto (–v) ∈

∈ ∈

V

V tal

que v+0V=v

tal

que v+(–v)=0V V

Observación: En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que V es un espacio vectorial real. También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Ejemplo 1 De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R3 es un espacio vectorial. Los espacios Rn , con n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

Ejemplo 2 De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada m y n Rmxn es un espacio vectorial. Tenemos por ejemplo R2×3, espacio vectorial cuyos vectores son las matrices de 2×3.

Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R 2 y en R 3 , a otros espacios vectoriales. Solo se considerarán espacios vectoriales sobre R o sobre C.

Producto Interno: Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real . Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas: Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0 ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u) vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v) Espacios con producto interior: El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación. u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V. Propiedades de los productos interiores: 1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0 2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w› 3. ‹u, cv› = c‹u, v›. Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

Conjuntos ortonormales de vectores Un conjunto de vectores es ortonormal, si es un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta definición solo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno, como sucede en los espacios euclídeos En donde el producto interno puede definirse en términos de distancias y proyecciones perpendiculares de vectores. Se pueden dar varios ejemplos:

•

En el espacio euclídeo tridimensional

el conjunto S = {e1, e2, e3}

formado por los tres vectores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) y e3=(0,0,1) es un conjunto ortonormal. •

En espacios vectoriales más abstractos donde puedan definirse más de un producto interno, un conjunto podría ser ortonormal respecto al primer producto interno, pero no ser ortonormal respecto al segundo producto interno.

•

En mecánica

cuántica un estado

puro de

un

sistema

es

una

combinación lineal de un conjunto no finito de vectores ortonormales.

Dada una base ortogonal de un espacio es trivial hallar una base ortonormal a partir de la primera dividiendo cada vector de la base ortogonal original por el valor de su norma. Más aún dada una base cualquiera, no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial de dimensión finita existe un procedimiento algorítmico sencillo que permite hallar una base ortonormal a partir de una base original, llamado procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt....