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Nombre Nombre:: Marco Alejandro Bastidas Nonsoque Códi Código go go: 2271474 Fech Fecha: a: 12/10/2020

Co Cons ns nsulta ulta - Te Teor or orem em ema a ddee ccla la lairau irau irautt 1. Consulte textualmente acerca del Teorema de Clairaut y 2 ejemplos (ver el enlace). Luego escriba el teorema con sus propias palabras. 2. De acuerdo con el teorema consultado resuelva los siguientes ejercicios . Comprueba que la conclusión del Teorema de Clairaut se cumple, es decir, 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛(𝑦)

𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥 + 2𝑦)

1. Teor Teorem em ema a ddee cclai lai lairau rau rautt También conocido como teorema de segundas mixtas o de derivadas cruzadas. Establece que si 𝑓(𝑥, 𝑦)y sus derivadas parciales 𝑓𝑥𝑦 y 𝑓𝑦𝑥 son continuas en un disco abierto ℝ, entonces 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑦𝑥 para todos los pares (𝑥, 𝑦) que pertenecen a ℝ. 𝜕 2𝑓 𝜕2𝑓 = 𝜕𝓍𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝓍 En ecuaciones diferenciales, estas propiedades se ocupan en la demostración de soluciones para ecuaciones establecidas. Para las cuales se debe encontrar derivadas mixtas, para establecer contactos con igualdades matemáticas. 𝜕 𝜕 2𝑓 𝜕 3𝑓 𝑓𝑥,𝑦𝑦 = 𝑓(𝑥,𝑦)𝑦 = ( )= 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝓍 𝜕𝑦 2 𝜕𝓍

En el caso general se aplica de la siguiente forma: 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝓃 → ℝ, 𝐴 un conjunto abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en 𝐴. Entonces para cualquier punto (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∈ 𝐴, se cumple que: 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) = (𝑎 , … , 𝑎𝑛 ) 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 1

En el caso de dos variables se usa: 𝑓: Ω ⊆ ℝ2 → ℝ, uan función de dos variables, definida en un conjunto abierto Ω del plano ℝ2 . Si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en Ω(𝑓 ∈ 𝐶 2 (Ω))estas son iguales, es decir: 𝜕2𝑓 𝜕 2𝑓 = 𝜕𝓍𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝓍

Ejem Ejemplo plo plo:: calcular la derivada parcial con respecto a 𝑥 y luego con respecto a 𝑦 demostrando en teorema 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦

𝑑

𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 𝑒𝑢 = 𝑒 𝑢

𝜕2𝑓

𝑑 𝑢𝑣 𝑑𝑥

𝜕𝓍𝜕𝑦

=𝑢

=

𝑑𝑣 𝑑𝑥

𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝓍 𝑑𝑢

+ 𝑣 𝑑𝑥

1. Derivaremos de manera parcial la función inicial, primero con respecto a 𝑥 y luego con respecto a 𝑦: a.

𝜕𝑓

=

𝜕𝑥

2.

𝜕𝑓

= 𝑒 𝑥𝑦

3.

𝜕𝑓

= 𝑒 𝑥𝑦 𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑥

𝑒 𝑥𝑦

𝑥𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝑦𝑒 𝑥𝑦

4. Ahora derivamos respecto a 𝑦: 𝜕2 𝑓

a.

𝜕𝓍𝜕𝑦

=

𝜕

𝜕𝑦

𝑦𝑒 𝑥𝑦

En este caso se multiplican dos funciones por lo que aplicamos la formula indicada anterior mente 5. 6. 7.

𝜕2 𝑓

𝜕

𝜕𝓍𝜕𝑦

=𝑦

𝜕2 𝑓 𝜕𝓍𝜕𝑦

= 𝑦𝑒 𝑥𝑦

𝜕𝑦

𝜕

𝑒 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦 𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝑦

𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦

𝜕2 𝑓

= 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 (𝑥𝑦 + 1) 𝜕𝓍𝜕𝑦

𝜕2 𝑓

𝜕𝓍𝜕𝑦

= 𝑒 𝑥𝑦 (𝑥𝑦 + 1)

1. Repetimos el mismo procedimiento pero primero con respecto a 𝑦 y luego con respecto a 𝑥 a. 2. 3. 4.

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= 𝑒 𝑥𝑦

𝜕2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥

=

𝜕

𝜕𝑥

=

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑦

𝑒 𝑥𝑦

=𝑥

𝜕2 𝑓

= 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦

𝜕2 𝑓

= 𝑒 𝑥𝑦 (𝑥𝑦 + 1)

5.

𝜕𝑦𝜕𝑥

6.

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝑥𝑒 𝑥𝑦

𝑥𝑒 𝑥𝑦

𝜕2 𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕

𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 𝑥

𝜕

𝜕𝑥

𝑒 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝑥

𝜕2 𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

= 𝑒 𝑥𝑦 (𝑥𝑦 + 1)



Del caso anterior podemos determinar que el teorema de clairaut se cumple en la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 ya que: 𝜕2 𝑓

𝜕𝓍𝜕𝑦

𝜕2 𝑓 = 𝜕𝑦𝜕𝓍

Ejem Ejemplo plo plo:: calcular la derivada parcial con respecto a 𝑥 y luego con respecto a 𝑦 demostrando en teorema 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 2 1. Derivamos la función inicial con respecto a 𝑥:

𝜕2𝑓

= 𝜕𝓍𝜕𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝓍

a. 𝑓𝑥 = 9𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦 3 + 2𝑥

2. Realizamos la segunda derivada con respecto a 𝑦: a. 𝑓𝑥𝑦 = 18𝑥 2 𝑦 − 12𝑥𝑦 2

𝑓𝑥𝑦 = 18𝑥 2 𝑦 − 12𝑥𝑦 2

3. Derivamos la función inicial esta vez con respecto a 𝑦: a. 𝑓𝑦 = 6𝑥 3 𝑦 − 6𝑥 2 𝑦 2

4. Realizamos la segunda derivada con respecto a 𝑥: a. 𝑓𝑦𝑥 = 18𝑥 2 𝑦 − 12𝑥𝑦 2



𝑓𝑦𝑥 = 18𝑥 2 𝑦 − 12𝑥𝑦 2

De esta forma habremos demostrado el teorema de clairaut debido a que 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 .

El teorema de clairaut consiste en la solución de una función con respecto a 𝒙 u 𝒚 para determinar su igualdad 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙. En los ejemplos anteriores se puedo evidenciar dicho teorema ya que primero se derivó con respecto a 𝒙 y en su segunda derivada con respecto a 𝒚, asi mismo se determia con respecto a 𝒚 y luego una segunda derivada con respecto a 𝒙 para ambos términos, llegamos a la conclusión de que el teorema de clairaut establece que la segunda derivada parcial de una función primero derivada con respecto a 𝒙 y luego con respecto a 𝒚 será igual a la segunda derivada parcial de una función primero derivada con respecto a 𝒚 y luego con respecto a 𝒙.. 𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓 = 𝜕𝓍𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝓍

De acuerdo con el teorema consultado resuelva los siguientes ejercicios. Comprueba que la conclusión del Teorema de Clairaut se cumple, es decir, 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥

𝑢 = 𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛 (𝑦)

𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥 + 2𝑦) 

Para el primer ejercicio se hizo primero con respecto a x y en su segunda derivada con respecto a y, así mismo y en sentido contrario se hizo para la otra derivada parcial. 𝑢 = 𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛 (𝑦)

De esta forma se comprueba que: 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥

(𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 )𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑦𝑒 𝑥𝑦 cos(𝑦) = (𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 )𝑠𝑒𝑛 (𝑦) + 𝑦𝑒 𝑥𝑦 cos(𝑦)



En el siguiente caso se aplicó de igual forma el teorema para resolver el ejercicio y demostrar que es correcto. 𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥 + 2𝑦)

De esta forma se comprueba que: 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥

−

2 2 = − (𝑥 + 2𝑦)2 (𝑥 + 2𝑦)2...