Matematica Discreta Y Otras Ciencias PDF

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LA MATEMÁTICA DISCRETA EN SU RELACIÓN CON OTRAS CIENCIAS La matemática discreta es la parte de la ciencia matemática que estudia objetos discretos. Definir el concepto discreto sin entrar en demasiadas formalidades no es sencillo, pero podemos apelar a ciertos ejemplos matemáticos conocidos y contraponerlo al concepto de continuo que es la idea central del mayor desarrollo de la Matemática. Lo discreto es lo finito o lo que, si no es finito, presenta el aspecto de los números naturales, objetos bien separados entre sí; lo continuo es lo no finito, lo infinitesimalmente próximo, como los números reales, y de ahí el concepto de límite y las ideas que de dicho concepto se derivan. La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de la Matemática (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética, grafos,...), como consecuencia de, entre otras cosas, su interés en la informática y las telecomunicaciones: la información se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos), se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (búsquedas en bases de datos), es necesario analizar procesos que incluyan un número finito de pasos (algoritmos)... Para hacernos una idea algo más clara del contenido de esta disciplina veamos algunas preguntas que podemos plantearnos en informática y que se pueden responder con métodos de matemática discreta: ¿Hay alguna conexión entre dos ordenadores de una red? Dada una tecnología de cableado, ¿cuál es el diseño de red más económico para cierta empresa? ¿Cómo puede ordenarse una lista de números enteros (o de tareas de una cadena) en forma creciente? ¿Cuántas palabras clave válidas hay para acceder a un sistema? ¿Cómo se puede codificar de forma adecuada y segura un mensaje? Responderemos alguna de estas preguntas en este curso. La matemática discreta proporciona, por otro lado, algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos, algorítmica, bases de datos, teoría de autómatas, sistemas operativos, investigación operativa,... así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos... La matemática discreta es el estudio de las estructuras matemáticas que son fundamentalmente discreta en lugar de continua. A diferencia de los números reales que tienen la propiedad de variar "sin problemas", los objetos estudiados en matemáticas discretas - como números enteros, gráficos, y las declaraciones de la lógica - no varían sin problemas de esta manera, pero tienen valores distintos, separados. Por lo tanto, las matemáticas discretas excluye temas en "matemáticas continuas" como el cálculo y análisis. Objetos discretos menudo se pueden enumerar por enteros. Más formalmente, la matemática discreta se ha caracterizado por la rama de la ciencia matemática que se ocupan de conjuntos numerables. Sin embargo, no existe una exacta, universalmente aceptada, la definición del término "matemática discreta." De hecho, la matemática

discreta se describe no tanto por lo que se incluye que por lo que se excluye: variación continua cantidades y conceptos relacionados. El conjunto de objetos estudiados en matemática discreta puede ser finito o infinito. El término matemática finita se aplica a veces a las partes del campo de la matemática discreta que se ocupa de conjuntos finitos, en particular las áreas relevantes para las empresas. La investigación en matemática discreta aumentó en la segunda mitad del siglo XX, en parte debido al desarrollo de las computadoras digitales que operan en pasos discretos y almacenar datos en bits discretos. Conceptos y notaciones de la matemática discreta son útiles en el estudio y la descripción de los objetos y los problemas en las ramas de la informática, como algoritmos, lenguajes de programación, criptografía, teoremas automatizado y desarrollo de software. Por el contrario, las implementaciones informáticas son significativos en la aplicación de las ideas de la matemática discreta a problemas del mundo real, como en la investigación de operaciones. Aunque los principales objetos de estudio en matemática discreta son objetos discretos, los métodos analíticos de la matemática continua se emplean a menudo también. Grandes desafíos, pasado y presente La historia de la matemática discreta ha implicado una serie de problemas difíciles que se han centrado la atención en las áreas del campo. En la teoría de grafos, mucha investigación fue motivada por los intentos de demostrar el teorema de cuatro colores, primero establecido en 1852, pero no se demostró hasta 1976. En lógica, el segundo problema en la lista de problemas abiertos presentados en 1900 de David Hilbert era probar que los axiomas de la aritmética son consistentes. Segundo teorema de incompletitud de Gödel, demostró en 1931, demostró que esto no era posible - al menos no dentro de sí misma aritmética. Décimo problema de Hilbert era determinar si un polinomio de la ecuación diofántico dado con coeficientes enteros tiene una solución entera. En 1970, Yuri Matiyasevich demostró que esto no era posible. La necesidad de romper los códigos alemanes durante la Segunda Guerra Mundial llevó a los avances en la criptografía y la informática teórica, con la primera computadora electrónica digital programable está desarrollando en Bletchley Park en Inglaterra. Al mismo tiempo, las necesidades militares motivados avances en la investigación de operaciones. La Guerra Fría significó que la criptografía sigue siendo importante, con los avances fundamentales como la criptografía de clave pública que se desarrollan en las siguientes décadas. La investigación de operaciones siguió siendo importante como herramienta en la gestión empresarial y de proyectos, con el método del camino crítico que se desarrolla en la década de 1950. La industria de las telecomunicaciones también ha motivado a los avances en las matemáticas discretas, sobre todo en la teoría de grafos y teoría de la información. Verificación formal de los estados de la lógica ha sido

necesario para el desarrollo de software de los sistemas críticos de seguridad, y avances en la demostración de teoremas automatizadas han sido impulsados por la necesidad. Geometría computacional ha sido una parte importante de los gráficos por ordenador incorporados en los videojuegos modernos y herramientas de diseño asistido por ordenador. Varios campos de la matemática discreta, la informática en particular teórica, teoría de grafos y combinatoria, son importantes para hacer frente a los difíciles problemas de la bioinformática asociados con la comprensión del árbol de la vida. En la actualidad, uno de los más famosos problemas abiertos en ciencias de la computación teórica es el problema NP = P, lo que implica la relación entre las clases de complejidad P y NP. El Clay Mathematics Institute aún ofrece un premio de USD $ 1 millón para la primera demostración correcta, además de premios para otros problemas matemáticos importantes. Los temas de la matemática discreta -

Ciencias de la computación teórica

Ciencias de la computación teórica incluye áreas de las matemáticas discretas correspondientes a la informática. Se basa en gran medida en la teoría de grafos y la lógica. Incluido dentro de la ciencia informática teórica es el estudio de los algoritmos para el cálculo de los resultados matemáticos. Estudios Computabilidad lo pueden calcularse en principio, y tiene estrechos vínculos con la lógica, mientras que los estudios de complejidad el tiempo empleado por los cálculos. Teoría de autómatas y la teoría del lenguaje formal están estrechamente relacionados con la computabilidad. Redes de Petri y álgebras de procesos se utilizan en los sistemas informáticos de modelo, y los métodos de las matemáticas discretas se utilizan en el análisis de circuitos electrónicos VLSI. Geometría computacional aplica algoritmos para problemas geométricos, mientras que el análisis de imagen de la computadora que se aplica a las representaciones de imágenes. Ciencias de la computación teórica también incluye el estudio de diversos temas computacionales continuas. -

Teoría de la información

Teoría de la información implica la cuantificación de la información. Muy relacionado es teoría de la codificación que se utiliza para diseñar la transmisión de datos eficiente y fiable, y los métodos de almacenamiento. Teoría de la información también incluye temas continuos como: señales analógicas, codificación analógicos, encriptación analógica.

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Lógica

La lógica es el estudio de los principios del razonamiento y la inferencia válida, así como de la consistencia, solidez e integridad. Por ejemplo, en la mayoría de los sistemas de la ley de la lógica de Peirce? P)? P) es un teorema. Para la lógica clásica, que puede ser fácilmente verificada con una tabla de verdad. El estudio de la prueba matemática es particularmente importante en la lógica, y tiene aplicaciones de demostración de teoremas automatizado y verificación formal de software. Fórmulas lógicas son estructuras discretas, como son pruebas, que forman los árboles finitos o, más en general, las estructuras de gráficos acíclicos dirigidos. Los valores de verdad de las fórmulas lógicas generalmente forman un conjunto finito, por lo general limitada a dos valores: verdadero y falso, pero la lógica también puede ser continuavalorados, por ejemplo, la lógica difusa. Conceptos tales como árboles a prueba de infinitas o árboles de derivación infinitas También se han estudiado, por ejemplo, lógica infinita. -

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es la rama de la ciencia matemática que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos, como {azul, blanco, rojo} o el conjunto de todos los números primos. Conjuntos parcialmente ordenados y conjuntos con otras relaciones tienen aplicaciones en diversas áreas. En matemática discreta, conjuntos numerables son el foco principal. El comienzo de la teoría de conjuntos como una rama de las matemáticas suele estar marcada por la obra de Georg Cantor distinguir entre diferentes tipos de conjunto infinito, motivados por el estudio de las series trigonométricas, y un mayor desarrollo de la teoría de conjuntos infinitos se encuentra fuera del ámbito de las matemáticas discretas. En efecto, el trabajo contemporáneo en la teoría de conjuntos descriptiva hace un amplio uso de las matemáticas continuas tradicionales. -

Combinatoria

Combinatoria estudia la forma en que las estructuras discretas se pueden combinar o dispuestos. Combinatoria enumerativa concentrados en contar el número de ciertos objetos combinatorios - por ejemplo, la forma en que doce veces proporciona un marco unificado para contar permutaciones, combinaciones y particiones. Combinatoria analíticas se refiere a la enumeración de las estructuras combinatorias utilizando herramientas de análisis complejo y la teoría de la probabilidad. En contraste con la combinatoria enumerativa que utiliza fórmulas combinatoria explícita y funciones generadoras para describir los resultados, combinatoria de análisis tiene como objetivo la obtención de fórmulas asintótica. La teoría del diseño es un estudio de diseños combinatorias, que son colecciones de subconjuntos con ciertas propiedades de intersección. La teoría de reparto estudia diversos enumeración y problemas relacionados con asintóticas particiones enteras, y está estrechamente relacionado con la serie Q,

funciones especiales y polinomios ortogonales. Originalmente una parte de la teoría y el análisis de números, teoría de partición se considera una parte de la combinatoria o un campo independiente. La teoría de orden es el estudio de los conjuntos parcialmente ordenados, tanto finitos e infinito. -

La teoría de grafos

La teoría de grafos, el estudio de grafos y redes, a menudo se considera parte de la combinatoria, pero ha crecido lo suficiente lo suficientemente grande y distinta, con su propio tipo de problemas, a ser considerado como un tema en sí mismo. Los gráficos son uno de los objetos principales de estudio en matemáticas discretas. Se encuentran entre los modelos más ubicuos de las estructuras naturales y artificiales. Se pueden modelar muchos tipos de relaciones y la dinámica de procesos en sistemas físicos, biológicos y sociales. En informática, se pueden representar las redes de comunicación, organización de datos, dispositivos de cómputo, el flujo de la computación, etc En las matemáticas, que son útiles en geometría y en ciertas partes de la topología, por ejemplo, la teoría de nudos. La teoría de grafos algebraica tiene estrechos vínculos con la teoría de grupos. También hay gráficos continuos, sin embargo, para la mayoría de la investigación en teoría de grafos se inscribe en el ámbito de las matemáticas discretas. -

Probabilidad

La teoría de probabilidad discreta ocupa de los eventos que ocurren en espacios muestrales contables. Por ejemplo, las observaciones de recuento, tales como el número de aves en bandadas comprenden valores sólo naturales número {0, 1, 2, ...}. Por otra parte, las observaciones continuas, tales como los pesos de las aves comprenden valores de números reales y serían típicamente ser modelados por una distribución de probabilidad continua tal como la normal. Distribuciones de probabilidad discretos se pueden utilizar para los continuos aproximados y viceversa. Para situaciones muy limitadas como lanzar los dados o experimentos con barajas de cartas, el cálculo de la probabilidad de eventos es, básicamente, la combinatoria enumerativa. -

Teoría de los números

La teoría de números se refiere a las propiedades de los números en general, en particular los números enteros. Tiene aplicaciones a la criptografía, criptoanálisis, y criptología, particularmente con respecto a la aritmética modular, ecuaciones diofánticas, congruencias lineales y cuadráticos, números primos y pruebas de primalidad. Otros aspectos diferenciados de la teoría de números incluyen geometría de los números. En teoría analítica de números, también se utilizan técnicas de las matemáticas continuas. Los temas que van más allá de objetos discretos incluyen números trascendentes, la aproximación diofántica y campos de función.

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Álgebra

Estructuras algebraicas se producen como ambos ejemplos discretos y ejemplos continuos. Álgebras discretos son: álgebra de Boole se utiliza en puertas de la lógica y la programación; álgebra relacional utilizado en las bases de datos, las versiones discretas y finito de grupos, anillos y campos son importantes en la teoría de la codificación algebraica; semigrupos discretos y monoides aparecen en la teoría de lenguajes formales. -

Cálculo de las diferencias finitas, cálculo o análisis discreta

Una función definida en un intervalo de los números enteros generalmente se llama una secuencia. Una secuencia podría ser una secuencia finita de una fuente de datos o una secuencia infinita de un sistema dinámico discreto. Tal función discreta podría definirse explícitamente por una lista, o por una fórmula para su término general, o se le podría dar implícitamente por una relación de recurrencia o ecuación de diferencia. Ecuaciones en diferencias son similares a las ecuaciones diferenciales, pero sustituyen la diferenciación tomando la diferencia entre los términos adyacentes, ya que pueden ser utilizados para las ecuaciones diferenciales aproximados o estudiaron en su propio derecho. Muchas de las preguntas y los métodos relativos a las ecuaciones diferenciales tienen contrapartes para ecuaciones en diferencias. Por ejemplo, donde hay transformadas integrales en análisis armónico para el estudio de funciones continuas o señales analógicas, hay transformadas discretas para funciones discretas o señales digitales. Así como la métrica discreta hay espacios métricas más generales discretas o finita y espacios topológicos finitos. -

Geometría

Artículo principal: geometría discreta y la geometría computacional Geometría discreta y la geometría combinatoria unas propiedades combinatorias de colecciones discretas de objetos geométricos. Un tema de larga data en la geometría discreta es suelo de baldosas del avión. Geometría computacional aplica algoritmos para problemas geométricos. -

Topología

Aunque la topología es el campo de la matemática que formaliza y generaliza la noción intuitiva de "deformación permanente" de los objetos, que da lugar a muchos temas discretos, lo que puede atribuirse en parte a la concentración en invariantes topológicos, que a su vez suele tomar valores discretos. Ver topología combinatoria, teoría de grafos topológico, combinatoria topológicos, topología computacional, espacio topológico discreto, espacio topológico finito, topología. -

La investigación de operaciones

La investigación de operaciones proporciona técnicas para la solución de problemas prácticos en los negocios y otros campos - problemas tales como la asignación de recursos para maximizar el beneficio, o la programación de las actividades del proyecto para minimizar el riesgo. Técnicas de investigación de operaciones incluyen la programación lineal y otras áreas de optimización, teoría de colas, la teoría de la programación, la teoría de redes. La investigación de operaciones también incluye temas continuos como proceso de Markov de tiempo continuo, martingalas de tiempo continuo, optimización de procesos y la teoría de control continuo e híbridos. -

La teoría de juegos, teoría de la decisión, teoría de la utilidad, la teoría de la elección social

Teoría de la decisión tiene que ver con la identificación de los valores, incertidumbres y otros temas relevantes en una decisión determinada, su racionalidad, y la decisión óptima resultante. Teoría de la utilidad es acerca de las medidas de la satisfacción de la relación económica, o la conveniencia de que, el consumo de diversos bienes y servicios. Teoría de la elección social es acerca de la votación. Un enfoque basado en los más rompecabezas para votar es la teoría de votación. Juego ofertas teoría a situaciones donde el éxito depende de las decisiones de los demás, por lo que elegir el mejor curso de acción más compleja. Hay incluso juegos continuos, ver juego diferencial. Los temas incluyen la teoría de subastas y división justa. -

Discretización

Discretización se refiere al proceso de transferencia de modelos y ecuaciones continuas en contrapartes discretas, a menudo a los efectos de realizar los cálculos más fácilmente mediante el uso de aproximaciones. Análisis numérico es un ejemplo importante. -

Análogos discretos de las matemáticas continuas

Hay muchos conceptos en las matemáticas continuas que tienen versiones discretas, tales como cálculo discreto, distribuciones de probabilidad discretas, transformadas de Fourier discretas, geometría discreta, logaritmos discretos, geometría diferencial discreta, discreta cálculo exterior, la teoría de Morse discreta, ecuaciones en diferencias, los sistemas dinámicos discretos, y medidas vector discretas. En matemáticas aplicadas, el modelado discreto es el análogo discreto de modelado continuo. En el modelado discreto, fórmulas discretas se ajuste a los datos. Un método común en esta forma de modelado es utilizar relación de recurrencia. -

Matemáticas discretas y continuas híbridos

El cálculo escala de tiempo es una unificación de la teoría de ecuaciones en diferencias con la de ecuaciones diferenciales, que tiene aplicaciones en campos que requieren un modelado simultáneo de datos discretos y continuos. REFERENCIAS http://www.escet.urjc.es/~rmunoz/exantiguos.pdf http://www.eserna.com/Discretas/index.html...