Matemàtiques exercicis equacions exponencials amb resolució PDF

Preview

Summary

Matemàtiques exercicis equacions exponencials amb resolució. Ejercicios de matemáticas de ecuaciones exponenciales para practicar con resolución paso a paso....

Description

EXERCICIS D’EQUACIONS EXPONENCIALS 1.

Resoldre les següents equacions exponencials: 2

2 x −x+4 =4 x+1

i)

3

4

√ a x⋅√ a 2 x⋅√ a3 x= ii)

3 x +31−x =4 4 x−1−2 x+2=128 2 x−1 +2 x−2 + 2 x−3 + 2x −4 =960 3 x−1 +3 x + 3 x +1=117

iii) iv) v) vi)

4 x+1 +2 x +3−320=0 103−x =1

vii) viii)

22 x + 22 x−1 +2

ix)

√

52 x −1 = 25

x)

2

21− x =

xi)

xiii) xv) xvi)

4

2

+22 x−3 +2

1 −4

√ √ a2 x⋅√ a x=a5

2

x 2−

1 4

39 x −10 x +1 =1 2⋅2 x + 2 x+1 + 2x +2= 64 5 x + 5 x+1 + 5x +2 − 31= 0 −x

( )

2 x +3⋅2 x +32−7⋅2 x= xvii) xviii)

x

2 ( x−1 )

1 8

22 x−1 = 4

xii)

xiv)

− x+1

( ) 1 a2

1 2

23 x−1 +26 x−4 −8=0

√a x −1 = √a 4

2

3

x+ 4

3

xix)

a

xxi)

√ a x−1⋅√a 2 x +3⋅3√a x−2 =√6 a8 x+11 4 3 x−2 3 x−6 6 √ a ⋅√ a ⋅√ a2 x−1= √a 3 x−1

xxii)

a x +2⋅a x −1 =ax

xx)

6

+1

√a ⋅√ a ⋅√ a =a x

xxiii)

2

x

x

5 x + 5 x+1 +5x +2 = xxiv)

√ 3

xxv)

32 x −1 = 9

5 x +3 315 − 2 2

1

x2− 4

xxvi)

4 x−1−4 x−2 −4 x−3 −2816 =0

xxvii)

3 x + 3 x +1 + 3 x+2 =9477

√ a ⋅√ a ⋅√ a 3 2x 3 2x 3

xxviii)

2x

=a

26

1

2 ( x−2 )

=1984

xxix) xxx)

22 x −20⋅2 x−384 =0

√ 22 x−3⋅2x+1+8=0 3

xxxi)

5 x−1=2+ 5 x−2 x

xxxii) xxxiii) xxxiv) xxxv) xxxvi)

1

4 −3 = 3 x−1

16 x + 161−x −10= 0 775−5 x −5 x−1=5x +1 7 x +1 +7 x−2 =2751−7 x

32 ( x+1 )−28⋅3 x +3=0

2

RESOLUCIÓ DE L’EXERCICI Apartat i: 2

2

2

x+1

2 ( x+1 ) x −x +4 =22 2 x −x+4 =4 x+1 ⇒ 2x − x+4 = ( 2 ) ⇒ 2 2

2

2

x 2−x+4=2 ( x+1 ) ⇒

⇒ ↑ [ injectivitat ]

⇒ x −x+ 4= 2 x+2 ⇒ x −x − 2 x+ 4 − 2= 0 ⇒ x −3 x+ 2=0 ⇒

−b± √ b2 −4 ac ⇒ x= 2a

− (−3 ) ± √( −3 ) −4⋅1⋅2 3±√ 9−8 3±√ 1 3±1 ⇒ = = = 2 2⋅1 2 2 2

= ↑

[ ( a , b , c ) =( 1 , −3 , 2 ) ]

⇒ 3 +1 4 = =2 2 2 2 3 −1 = x 2= =1 2 2 possibles solucions x 1=

[

¿ ¿{¿ ¿ ¿

⇒

x 1=2 és una solució

⇒ ↑

Dom ( 2 x ) = IR

]

i x 2=1 és l'altra solució

Apartat ii: 3x

− x+1

( )

√ a ⋅√a ⋅√a = 12 a x 3 2x 4

x 2

2x 3

3x 4

−2 −x+1

⇒ a ⋅a ⋅a =( a )

⇒a

x 2x 3x + + 2 3 4

=a−2 ( −x+1 )

⇒ ↑

[ injectivitat ]

6 x +4⋅2 x +3⋅3 x 12⋅( 2 x−2 ) x 2x 3 x x 2x 3 x = ⇒ + + =−2 ( −x+1 )⇒ + + =2 x−2 ⇒ ⇒ ↑ 12 2 3 4 2 3 4 12 [ m.c.m. ]

⇒6 x +4⋅2 x+3⋅3 x=12⋅( 2 x−2 ) ⇒6 x +8 x+9 x=24 x −24 ⇒ 23 x =24 x −24 ⇒ 24 x −23 x=24 ⇒

⇒ x=24 és la possible solució

⇒ ↑

[ Dom ( a x )=IR ]

x=24 és la solució

3

Apartat iii: 3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + i)

3 =4 3x x

Resoldrem aquesta equació aplicant un canvi d’incògnita

t=3 ⇒

2

t +3 4 t 2 3 ⇒t + =4 ⇒ = ⇒ t + 3=4 t ⇒ t 2−4 t + 3=0 ↑ t t t

[ m. c. m.] Resoldrem aquesta equació aplicant el mètode de Ruffini : 1 1 1 3 1

−4 3 1 −3 −3 0 3 0 t 1 =1 t 2 =3 ¿ ¿{¿¿ ¿

}

⇒

Desfem ara el canvi: t 1 =3

x1

⇔ 1=3

x1

0

⇒ 3 =3

x1

x 1 =0 és una possible solució

⇒

↑

[ injectivitat ]

t 2 =3

x2

⇔ 3=3

x2

x 2 =1 és l'altra possible solució

⇒ ↑

[ injectivitat ]

¿} ¿

⇒

¿

x 1=0 és una solució

⇒

¿

↑

[ Dom (

3

x

)= IR

]

i x 2=1 és l'altra solució

Exercici 3:Marta Godoy ( d’una altra manera ) 1

1 3 3 =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 x 3 3 x Apliquem un canvi d’incògnita t=3

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + 2

t+

3 t +3−4 t =0 ⇒ t 2 −4 t +3 =0 ⇒ −4 = 0 ⇒ t t t 1 =1 t 2 =3 ¿ ¿

t = ¿

2 4 ±√4 4 ±2 4 ± √ 16− 12 4 ± √ ( −4 )2 −4⋅1⋅3 −b ± √ b −4⋅a⋅c = = = =¿ = 2 2 2⋅1 2 2a ¿ ¿

Ara desfem el canvi d’incògnita: 4

{

¿¿¿

t=3 x ⇒ x log3 t t 1 =1 + 1 ∈ Dom ( log3 t ) =IR ⇒ ∃ x 1= log 3 1=0 ( Ι )

és solució

t 2=3 + 3 ∈ Dom ( log3 t ) =IR ⇒ ∃ x 2 = log3 3=1 ( ΙΙ )

és solució

⇒

↑ (Ι ,ΙΙ )

x 1 i x 2 són les solucions

5

Apartat iv: 4

2 x +2 −2 =128⇒ ( 2 )

x−1

x−1

2

2⋅ ( x −1 )

−2 x⋅2 =128 ⇒ 2

2 x −2

x

−2 ⋅4−128 =0 ⇒ 2

−4⋅2x −128=0⇒

2

( 2x ) 22 x −4⋅2 x−128 =0 ⇒ 2 −4⋅2x −128=0 ⇒ 4 2 Resolem aquesta equació aplicant el canvi d’incògnita :

x

t=2 ⇒

¿ t 1 =8+ 24 =32 t 2 =8−24=−16

¿ 2 2 t −16 t −512 0 t 2 = ⇒ t −16 t −512=0⇒ ⇒ −4 t-128=0⇒ 4 4 4 −b± √ b 2−4⋅a⋅c ⇒ x= 2⋅a ¿

− (−16)± √ ( -16 ) 2−4⋅1⋅( -512) 16± √ 256 + 2048 = {¿ ¿ ¿ = ↑ 2 2⋅1 [ ( a, b, c ) = (  1,  -16,  -512  ) ] =

16±√ 2304 16 ± 48 =8±24 ⇒ = 2 2

Desfem el canvi d’incògnita: t 2=−16 : Com que t 1 =32 : Com que ⇒

t=2 x ⇒ x=log 2 t

−16∉Dom ( log2 t ) =IR+ ⇒∃ x 2=log2 (−16 ) + 5 32 ∈Dom ( log2 t ) =IR ⇒ ∃x 1 =log 2 32 =log 2 2 =5⋅log 2 2=5⋅1=5 ⇒

x=5 és la solució

6

Exercici 5:Anna Cánovas ( v ) 2 x−1 + 2 x−2 + 2 x−3 + 2x −4 =960 ⇒

x 2x 2 x 2 x 2 x 2 2x 2x 2x + + + =960 + + + =960 ⇒ 2 4 8 16 21 22 23 24

Apliquem el canvi d’incògnita :

t⋅8 t⋅4 t⋅2 t 960⋅16 8t + 4 t +2 t + t 15360 t t t t = + + = + ⇒ ⇒ t =2 x ⇒ + + + =960 ⇒ ↑ 16 16 16 16 16 16 2 4 8 16 [ mcm]16 15 t 15360 15360 =1024 ⇒ = ⇒15 t=15360 ⇒t= 15 16 16 x

Ara desfem el canvi d’incògnita: ⇒t =2 ⇒ x log 2 t t=1024 :

Com que

+ 10 1024∈ Dom ( log2 t ) =ℜ ⇒∃x =log 2 1024 =log 2 2 =10 log2 2=10⋅1=10⇒

⇒

x=10 és la solució

7

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + ii)

31 3x

1

3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 x + 3 x

Exercici 6:Ari Martínez 3 x−1 + 3 x +3 x +1=117 ⇒

3x x x 3x x x +3 +3 ⋅3=117 ⇒ +3 +3 ⋅3−117 =0 ⇒ 3 3

t Apliquem el canvi d'incògnita t=3 x ⇒ +t+t⋅3−117=0 ⇒ 3 t +3 t+9 t−351 ⇒ =0 ⇒t + 3 t+9t−351=0 ⇒13 t−351=0 ⇒ 13 t=351 ⇒ ↑ 3 351 =27 ⇒t=27 ⇒t= 13

[mcm ]

Desfem el canvi d'incògnita t=3x ⇒ x=log 3 t t=27∈ Dom ( log3 t )= IR+ ⇒∃ x=log 3 27 = log 3 33 =3 log3 3 =3⋅1=3⇒ x=3 és la solució. ⇒

8

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + iii)

31 3x

1

3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 x + 3 x

Exercici 7: Laiz 2(

)

4 x+1 + 2x +3 −320=0 ⇒ 2 x +1 +2 x+3 −320=0⇒ 22 x +2 +2 x+3 −320 =0⇒ ⇒22 · 22 x +23 · 2 x−320 =0 ⇒ Realitzem un canvi d’incògnita:

t=2 x

22 t 2 + 23 t−320 =0 Resolem l’equació de 2n grau:

−b± √(b)2 −4 · a · c −23 ± √ (23 )2 −4 · 22 · ( −320) −8±√ 64 + 5120 = t= = = 2 2·4 2·a 2·2 −8+72 64 t1 = = =8 −8± √ 5184 −8±72 8 8 ¿ = = −8 −72 −80 8 8 t2 = = =−10 8 8

{

Desfem el canvi de variable:

2 x=t

t1:

2 x=t ⇒ 2x =8 ⇒ 2 x =23 ⇒ x=3

t2: x

x

2 =t ⇒ 2 =−10 ⇒∃  solució real

Apartat viii: 10 x=24 és la solució

3−x

=1⇒ 10

3− x

=10

0

⇒

↑ [ injectivitat ]

3−x=0 ⇒ x=3 és la possible solució

x=3 és la solució

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + iv)

⇒

↑ [ Dom ( 10 x )=IR ]

1

3 31 =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 x 3 3 9

Apartat ix: 22 x + 22 x −1 + 22( x −1 )+22 x −3 +22( x −2 )=1984 ⇒ 22 x + 22 x −1 +22 x−2 +22 x−3 +22 x −4 =1984⇒ 22 x 22 x 22 x 22 x ⇒2 + + 2 + 3 + 4 =1984 2 2 2 2 2x

Apliquem el canvi d'incògnita t=22 x : 16 t +8t +4 t +2 t +t 24 t+2 3 t+ 22 t +2 t+t t t t t =1984 ⇒ =1984⇒ t+ + 2 + 3 + 4 =1984 ⇒ 4 ↑ 2 2 2 2 16 2 [ m. c .m. ]

⇒

31t 31744 =1984 ⇒ 31 t=1984 · 16 ⇒t= =1024 16 31

Ara desfem el canvi d'incògnita: log t t=22 x ⇒2 x =log 2 t ⇒ x = 2 2 t=1024: log 2 t log 2 t log2 1024 log2 210 10log 2 2 10⋅1 + =5⇒  =IR ⇒ ∃ x= = = = = 1024 ∈Dom  2 2 2 2 2 2

(

⇒

)

x=5  és la solució

Edu: 2x x 22 x 22 x + 22 x −1 + 22( x−1 ) +22 x −3 +22 ( x−2 ) =1984 ⇒ (22 ) + 2 +22 x −2 + 3 +22 x−4 −1984=0 ⇒ 2 2 x

x

x

2 2 4 x 22 x (22 ) 22 x 4x ( 2 ) 4x (2 ) −1984=0 ⇒ ⇒ 4 + + 2 + 3 + 4 −1984=0⇒ 4 x + + + + 2 4 8 16 2 2 2 2 x

xx

x

x

4 4 4x 4 + + −1984 =0 ⇒4 + + 2 4 8 16 x

10

Apliquem el canvi d'incògnita: t = 4 x t 16 t +8 t+4 t+2t−16⋅1984 t+ +t +t + t −1984=0 ⇒ =0 ⇒16 t +8 t +4 t +2 t −16⋅1984=0 ⇒ ↑ 16 2 4 8 16 [ mcm ]

31733 ⇒31 t−31744 =0 ⇒ 31 t=31744 ⇒t= =1024 31 Desfem el canvi d'incògnita: t=4 x ⇔ log 4 t=x ( equivalència lògica ) t=1024 1024∈Dom ( log 4 t )= IR + ⇒∃ x = log 4 1024 = log 4 45 =5⋅log 4 4=5⋅1=5⇒ ⇒

x=5 és la solució

x

3 +3 v)

1−x

1

1 3 3 =4 ⇒ 3 + x =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 3 3 x

11

Exercici 10:Núria Martín (x)

√

52 x−1 = 25

√

52 x −1 = 25 ⇒

1 4

x2−

x 2− 14

√

⇒5 2 x−1 = ( 52 )

2 1 x − 4

(

2

2 x−

⇒ 52 x−1 =52

1 4

)

( ⇒ 2 x−1=

2 x 2− 2

1 4

) ⇒ 2 x−1= x −1 ⇒

2

8 x−4 4 x −1 = ⇒8 x −4=4 x 2 −1 ⇒ 4 x2 −8 x−1+ 4 =0 ⇒4 x2 −8 x +3=0⇒ 4 4

2 −( −8 )± √ ( −8 ) −4⋅4⋅3 −b± √b 2−4 ac ¿ = ⇒ x= 2⋅4 ↑ 2a [( a, b, c )=( 2,−8,3 )] 2+ 1 3 = x 1= 8± √ 64 −48 8±√ 16 8±4 2±1 2 2 = = = ¿ ⇒ possibles solucions ⇒ 8 8 8 2−1 1 2 x 2= = 2 2

{

Justificació:

{

3 2 Com que x1 , x 2 ∈Dom ( 5 x ) =IR ⇒ 1 x 2= 2 x 1=

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + vi)

1

1 3 3 =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 x 3 3

12

2

4

Exercici 11:Éric Pie 2 1 1 ⇒2 13 21− x = ⇒ 2 = 2 2 =2 8 8 x x 2 2 2 Apliquem el canvi de variable t=2 x 3 2 1 2 =2 · 2 =23 · 2=24 ⇒ t=24 = 3 ⇒t= t 2 1 1 23 2 Desfem, ara, el canvi de variable t=2 x 2

4

2

2 =2 ⇒ x =4 ⇒ x=±√ 4=±2⇒ x =±2 possibles solucions x

Com que x=±2∈Dom  ( 2

⇒

1−x

2

)=IR ⇒

x 1 =2 x 2 =−2 són les solucions ¿ {¿ ¿ ¿ ¿

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + vii)

1

1 3 x 3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 + 3x 3x

13

Exercici 12: Raúl Ortiz

√

1 xii )2 2 x −1 = 4

x 2−

1 4

x 2−

⇒ 2 2 x −1 = 4

1 4

2

2 ⇒ 2 2 x − 1 =( 2 )

1 x2 − 4 2

⇒ 2 2 x −1 =2

1 4

x 2−

⇒ 2 x −1= x 2−

2

⇒ ↑

[ m . c. m ]

⇒ x=

1 ⇒ 4

4 x −1 8 x −4 = ⇒ 8 x − 4= 4 x 2− 1 ⇒ 0= 4 x 2−8 x +4 −1 ⇒ 0 =4 x2 −8 x + 3 ⇒ 4 4

−b ±√ b 2 −4⋅a⋅c 2⋅a

−( −8 )±√ ( −8 ) −4⋅4⋅3 8 ± √ 64 −48 8 ±√ 16 = = = 2⋅4 8 8 2

=

↑

[ ( a , b , c ) =( 4,−8,3 ) ]

8 ±4 2 ±1 = ⇒ 8 2 2 +1 3 x1 = = 2 2 2−1 = 1 x2= 2 2 ¿ possibles solucions ¿ =

¿ {¿ ¿ ¿

¿

x 2=

Com que x1 , x 2 ∈Dom ( 2x )=IR ⇒

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + viii)

3 1 x= 2 , 1 2

1 31 x 3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 + 3x 3x

Exercici 13:Alba Crespo xiii)

√ a2 x⋅√ a x=a5

√ a2 x⋅√a x=a5 ⇒ ⇒a

1 2 x⋅ 2

⋅a

11 x⋅ ⋅ 2 2

√

[

1 x 2

1 2

]

1 2

1 2

[

]

1 2

a 2 x⋅(  a  ) =a5 ⇒  a2 x⋅(  a x  )  =a5 ⇒ (  a 2 x  ) ⋅  (  a  )  =a5 ⇒

5

2x 2

x 4

5

x

x 4

5

=a ⇒a ⋅a =a ⇒ a ⋅a =a ⇒ a

x+

x 4

4 x+x x =a5 ⇒ x+ =5 ⇒↑ =5⇒ 4 4 [ m. c .m. ]

⇒ 4 x+ x=5⋅4 ⇒ 4 x+x=20 ⇒ 5 x=20 ⇒ x=

20 =4 ⇒ x=4 possible solució 5

Com que x ∈Dom (  ax  )= IR⇒ ⇒

1 x 2

x=4

14

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x +

ix)

31

3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 x + 3 x 1

Exercici 14:Óscar González 4

2

9 x −10 x +1 =1 1. (xiv) 3

39 x

4−10 x 2+1

=1⇒ 39 x

4

2

−10 x +1

=30 ⇒9 x 4 −10 x 2 + 1= 0

Resolem l’equació biquadrada aplicant el canvi d’incògnita:

t=x 2 ⇒

⇒9 t 2 −10 t+1=0⇒

−b±√ b2 −4⋅a⋅c ⇒t= 2⋅a

= ↑

[ ( a, b, c )= ( 9 , −10 , 1 ) ]

2 −( −10 ) ± √( −10 ) −4⋅9⋅1 = 2⋅9

{

+10±√+100−36 +10±√ 64 +10 ±8 = ⇒ = = 18 18 18

Ara desfem el canvi d’incògnita: t 1 =x 2 ⇒ x1 =± √ t 1=± √ 1=±1 1

2

t=x ⇒ x ±√ t →x 1 =1 1

→x 1 =−1

possibles solucions

2

√

1 √ t 2= x 2 ⇒ x 2=± √t 2 =± 1 =± 1 =± = 2 9 √9 3

1 → x2 = 1 3 1 → x 2 =− 2 3

{

x 11 =1

x 1 2 =−1 Com que x1 , x 1 2 , x 21 , x 2 2 ¿ Dom ( 3 ) =ℜ= x = 1 1 2 1 3 1 x 2 2 =− 3 x

⇒

10 + 8 18 = =1 18 18 10−8 2 1 t 2= = = 18 9 18 t 1=

15

possibles solucions

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + x)

31 3x

1

3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 x + 3 x

Exercici 15: Maria x

x+1

x+2

x

x

x

2

x

x

x

2⋅2 + 2 +2 =64 ⇒ 2 · 2 + 2 · 2 + 2 ·2 ⇒ 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 4−64 =0 x

Apliquem el canvi d’incògnita

t=2 ⇒

⇒ 2 t+2t +4 t−64 =0 ⇒ 8t−64=0 ⇒ 8 t =64 ⇒ t =

64 =8 ⇒ t=8 8

Ara desfem el canvi d’incògnita : t=2 x ⇒ x=log2 t t :8∈ Dom ( log 2 t) =IR+ ⇒ ∃ x=log 2 8=log 2 23 =3 · log 2 2 =3 · 1 =3 ⇒

x=3 és la solució

16

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x +

31 3x

xi)

1

3 =4 ⇒ 3 x + 3 x − 4= 0

Exercici 16: Laura Coma 5 x +5 x+1 +5x+2 −31=0 x x 1 x 2 5 +5 ×5 + 5 ×5 −31 =0 5 x×5 x ×5 + 5 x×25 −31= 0

Ara fem un canvi de incògnita t= 5 x t +5 t +25 t −31=0 ⇒t +5 t + 25t=31 ⇒31 t =31⇒ t =

31 =1 ⇒t=1 31

⇒ Ara desfem el canvi incògnita: 5 x=t ⇔ log5 t=x log5 1=x ⇒ 0=x ⇒ ⇒

x=0

x

3 +3

1−x

xii)

1

1 3 3 =4 ⇒ 3 + x =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 3 3 x

Exercici 17:Marina Ortega

xvii)

−x

( )

2 x +3⋅2 x +32−7⋅2 x=

1 2

1 −x x ⇒2 +3⋅2 x +32 −7⋅2 x=2x ⇒ 2 x ⇒ Canvi d'incògnita 2 =t ⇒ −32 ⇒ ⇒ t + 3⋅t + 32 - 7⋅t = t ⇒− 4 t + 32 =0 ⇒t = −4 ⇒ Desfem el canvi de variable ⇒ ⇒2 x =8⇒

2 x +3⋅2 x +32− 7⋅2 x=

( )

⇒ x=3

17

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + xiii)

1 31 x 3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 + 3x 3x

Exercici 18:Noelia Cabana

2

3 x −1

+2

6 x− 4

x 2±6 x√ 2 −4 ( −128 23 x 2)3 x· 2−2 ±√2 23−2 ⇒ + 4 = −8=0 −8=0 ⇒  = + 4 −8=0 2 2 2 2 2 3

Apliquem el canvi d'incògnita: t=2 2

2

3

3

3· 2

6

−4 ( −128  ) −23 ± √64 +512 −23 ± √576 −23 ±24 = = = = 2 2 2 2 t 1=−4−12=−16 t 2 =−4 +12=8 ¿

3x

¿ ¿−4±12=¿ {¿ ¿ ¿ 2 3 4 3

4

¿ t t t +2 t−2 · 8 + 4 −8=0 ⇒ =0 ⇒t 2 +23 t−24 · 8=0⇒ t +2 t − 2 · 2 = 0⇒ t 2 +23 t−2 4+3 =0 ⇒ ↑ 4 2 2 [ mcm ]2 2 3 7 Ara desfem el canvi de variable ⇒t +2 t−2 =0

t=23 x ⇒3 x=log2 t ⇒ x=

Resoldrem aquesta equació de segon grau 2 −b±√ b −4 ac t= 2a

√

log 2 t 3

−2 ± t1( =−16  2  ) −4 ·1 ·(  −2  ) −2 ±√ 2 −4 ( −128  ) = = = ↑ 2 2 ·1 log t log ( −16  ) 3 7 2 2 + [( a, b, c ) = ( 1,  2 , -2  )] 3

3

2

7

3

3 ·2

( 3  ) =IR ⇒∃ x = 3

-16∉ Dom 

1

t 2=8 log 2 t log2 8 log2 23 3 log2 2 +  =IR ⇒ ∃ x 2 = =log2 2=1⇒ = 8∈Dom  = 3 3 3 3

(

⇒

)

x=1 és la solució

18

1

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x +

3 31 =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 x 3 3

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x +

1 3 3 =4 ⇒ 3 x + x − 4= 0 x 3 3

xiv)

xv)

1

Exercici 20: 6

3

6

√ a x−1⋅√ a12 x +3⋅√ a x−2 = √ a8 x+111 ⇒ ⇒( a ⇒a

⇒a

) ⋅( a

x−1 6

x 1 − 6 6

x+

⋅a

3 2

1 2 x+3 2

⋅a

) ⋅( a

x 2 − 3 3

x 1 3 x 2 − +x+ + − 2 3 3 6 6

=a

8 x 11 + 3 6

=a

4 x 11 + 3 6

) =(a

x −2 3

1 8 x +11 6

) ⇒

⇒

⇒

19

⇒

x

1 3 x 2 4 x 11 ⇒ − +x+2+ − = + 6 x 1 1 3 2 4 x 11 +1+ 3 − + − = + 6 ⇒ 6 6 2 3 3 1 4 x 11 1 3 2 x +1+ − = + − + ⇒ 6 6 6 2 3 6 3 x 1 4 11 1 3 2 +1+ − = + − + ⇒ 6 3 6 6 6 2 3 1+1⋅6+1⋅2−2⋅4 11+1−9+ 4 = ⇒ 6 6

( ⇒x ( ⇒x ( ⇒x ( ⇒x

) )

)

)

⇒ x ( 1+1⋅6+1⋅2−2⋅4 ) =11+1−9+4 ⇒ ⇒ x ( 1+6+2−8 )=16 −9⇒ 7 ⇒ x ( 9−8 ) =7 ⇒1 x =7 ⇒ x = ⇒ x=7 ⇒ 1 6 x−1 2 x +3 3 x−2 6 8 x+11 ⇒ √ a ⋅√a ⋅√ a =√ a ⇒ x=7

3 x +31−x =4 ⇒ 3 x + xvi)

1

1 3 x 3 − 4= 0 =4 ⇒ 3 + 3x 3x

Exercici 21:Ainoha Bernal 4

xxi)

√ a3 x−2⋅√3 a x−6⋅√ a2 x−1=√6 a 3 x−1

4 3 x−2 3

√ a ⋅√ a ⋅√a x−6

2 x−1 6

=√a

3 x−1

3 x−2 4

⇒a

x−6 3

⋅ a

⋅ a

2 x−1 2
...