Mathematical Business: Limit and Differential Handout PDF

Preview

Summary

MATEMATIKA BISNIS (1) MATERI: Limit dan Kekontinuan Fungsi, Diferensial Fungsi Univariate, Diferensial Fungsi Multivariate. Ir. GINANJAR SYAMSUAR, ME. SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA PEBRUARI 2017 I. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama d...

Description

MATEMATIKA BISNIS (1) MATERI: Limit dan Kekontinuan Fungsi, Diferensial Fungsi Univariate, Diferensial Fungsi Multivariate.

Ir. GINANJAR SYAMSUAR, ME.

SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA PEBRUARI 2017

I. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas limit fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai limit suatu fungsi. Pada bagian kedua dibahas pengertian kekontinuan fungsi dan sifat-sifatnya.

A. LIMIT Pengertian limit Pengertian limit fungsi dapat disajikan secara aljabar dan secara geometri/grafis. Pengertian Secara Aljabar

x2 1 Misalkan f ( x )  . Dengan mengambil beberapa nilai x untuk x mendekati 1 dari x 1 kanan atau kiri, diperoleh tabel nilai berikut. x

0,9

0,99

0,999

0,9999

f(x)

1,9

1,99

1,999

1,999

1

1,0001

1,001

1,01

1,1

2,0001

2,001

2,01

2,1

Dari tabel di atas terlihat jika x mendekati 1 (ditulis x→1), maka nilai f(x) akan mendekati 2.

Hal ini dapat ditulis

x2 1  2. x 1 x  1 lim

Pengertian Secara Grafis Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik-titik pada sistem koordinat kemudian dihubungkan, akan diperoleh gambar berikut

2

1

Page | 1

1. DEFINISI LIMIT Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka tertentu yang memuat bilangan a kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa

limit f(x) untuk x

mendekati a adalah L , dan ditulis

lim f ( x )  L

xa

jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan yang berpadanan yaitu  > 0 sehingga

f ( x )  L   bilamana 0 < x  a <  .

Contoh : Tunjukkan bahwa lim ( 4 x  5 ) = 7. x 3

Penyelesaian : a. Secara Aljabar 1. Analisis awal masalah (menebak nilai untuk  ). Misalkan  sebuah bilangan positif yang diberikan. Akan dicari sebuah bilangan positif  sehingga

4 x  5  7

< 

bilamana 0 < x  3 <  Perhatikan 4 x  5  7 = 4 x  12 = 4x  3 =4 x  3 . Selanjutnya diinginkan 4 x  3 <

 bilamana 0 < x  3 <  yakni

x 3 <

 bilamana 0 < x  3 <  . 4

Ini menyarankan bahwa seharusnya dipilih  =

 . 4

2. Pembuktian (menunjukkan bahwa  yang dipilih berlaku). Diberikan  >0, pilihlah 

=

 . Jika 0 < x  3 <  , maka 4

4 x  5  7 Jadi

= 4 x  12 = 4 x  3 < 4  = 4(

4 x  5  7

 ) = . 4

<  bilamana 0 < x  3 <  .

Dengan demikian menurut definisi limit, terbukti bahwa

lim ( 4 x  5 ) = 7

x 3

Page | 2

b. Secara grafis contoh di atas diilustrasikan sebagai berikut y y= 4x-5 7+ 7 7-

0

3-

x

3 3+

2. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN Definisi limit kiri Jika nilai x mendekati a dari sebelah kiri menyebabkan f(x) mendekati L, dituliskan

lim f ( x )  L ,

xa 

mempunyai arti jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan yang berpadanan  > 0 sehingga f ( x )  L   bilamana a    x  a Definisi Limit Kanan Jika nilai x mendekati a dari sebelah kanan menyebabkan f(x) mendekati L, dituliskan

lim f ( x )  L ,

xa 

mempunyai arti jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan yang berpadanan  > 0 sehingga f ( x )  L   bilamana a  x  a  

Teorema : Nilai lim f ( x ) ada dan sama dengan L jika dan hanya jika lim f ( x ) dan x  a

xa

lim f ( x ) keduanya ada dan sama dengan L.

xa 

Contoh. 1. Buktikan bahwa lim

x  

x = 0.

Penyelesaian : a. Menebak nilai  . Diketahui a = 0 dan L = 0. Misalkan  sebuah bilangan positif yang diketahui, akan dicari bilangan positif  sehingga

Page | 3

x  0   bilamana 0 < x <  . x   bilamana 0 < x <  .

yakni

Dengan mengkuadratkan kedua sisi ketidaksamaan

x   diperoleh x<  2 .

Hal ini mengisyaratkan untuk memilih  =  . 2

b. Menunjukkan bahwa nilai  ini berlaku. Diberikan  > 0 , misalkan

 =  2 . Jika 0 < x <  , maka

x <

 =

2 =  .

x  0   . Hal ini menunjukkan bahwa

sehingga

lim

x  

x = 0.

2. Misalkan fungsi g didefinisikan oleh

 x , jika x  0

g(x) = 

 2 , jika x  0

a. Gambarkan sketsa grafik fungsi g. b. Hitunglah lim g x  bila ada. x0

Penyelesaian : a. Sketsa grafik fungsi g disajikan di bawah ini.

y

x b. lim g( x ) = lim (  x ) = 0. x0

x0

lim g( x ) = lim  x = 0.

x0

x 0

Karena

lim g( x ) dan lim  g( x ) keduanya ada dan bernilai sama yaitu nol,

x0

x0

maka lim g x  ada dan nilainya sama dengan nol. Nilai g(0) = 2 tidak memberikan x0

pengaruh pada lim g x  , demikian juga grafik fungsi g yang terputus di x = 0. x0

Page | 4

3. Misalkan fungsi h didefinisikan sebagai

 4  x 2 , jika x  1 2  2  x , jika x  1

h(x) = 

a. Gambarkan sketsa grafik h. b. Tentukan lim h( x ) bila ada. x1

Penyelesaian : a. Sketsa grafik h diberikan berikut ini.

y

3

x 1





2 b. lim h( x ) = lim 4  x = 3

x1

x 1





lim  h( x ) = lim  2  x 2 = 3

x1

x 1

Karena lim h( x ) = lim h( x ) = 3, maka lim h( x ) = 3. x1

x1

x1

3. OPERASI LIMIT Operasi limit yang dimaksud di sini adalah operasi aljabar yang meliputi penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan penarikan akar. Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di x = c, maka 1. lim k = k xc

2. lim x = c xc

3. lim k . f ( x ) = k. lim f(x) xc

x c

Page | 5

4. lim [ f(x) + g(x) ] = lim f(x) + lim g(x) x c

x c

x c

5. lim [ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x) x c

x c

x c

6. lim [ f(x)g(x) ] = lim f(x). lim g(x) x c

x c

x c

lim f ( x ) f ( x ) x c 7. lim , asalkan lim g (x)  0  lim g( x ) x c x c g ( x ) x c

8. lim [ f(x) ]n = [ lim f(x)]n x c

x c

9. lim n f ( x )  n lim f ( x ) , asalkan lim f (x) > 0 bilamana n genap. x c

x c

x c

4. MENGHITUNG NILAI LIMIT Contoh : Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai limit berikut



2 1. lim 3x  2 x x 4



x2  9 x x 4

2. lim 3.





lim f 2 ( x ). 3 g( x ) , jika diketahui lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) =8. x3

Penyelesaian :





x3

x 3

2 2 2 1. lim 3x  2 x = lim 3x - lim 2 x = 3 lim x - 2 lim x = 3 42 -2 (4)= 40. x 4

x4

x 4

lim x 2  9 x2  9 = x 4 = 2. lim lim x x x 4 x 4

x 4

x 4



lim x 2  9

x4



4

=

1 lim x 2  lim 9 4 x 4 x 4

2

1  1 2 5  lim   9 = = 4 9 = .  4 4  x  4 4





2

  2 2 3. lim f ( x ). 3 g( x ) = lim f ( x ). lim 3 g( x ) =  lim f ( x ) 3 lim g( x ) x3

x3

x3

 x3



x3

= 3 2 . 3 8 = 18. Page | 6

5. LIMIT HASIL e DAN LIMIT TAK HINGGA () Limit hasil e didasarkan pada rumus berikut ini

lim ( 1 

x 

1 x ) e x

lim ( 1 

x  

1 x ) e x

lim ( 1  x )

1

= e

x

x 0

Contoh. Hitunglah

 4 1. lim 1   x x   2.

lim

x

3 x2  3 x  5

x  2 x 2  x  1

Penyelesaian : 1. Misalkan x = 4y maka

4 1 = . Untuk x   , maka y   sehingga x y

x

 1  4 lim 1   = lim 1   x y x   y  

4y

 1 = lim 1   y y 

3x 2 2

2. lim

3x  3x  5

x  2 x 2  x  1

2

x x  2 x 2

= lim

x2

3  x = lim 1 x  2  x 3

 

3x 2

x x

x2

 

y. 4

4 =e .

5 x2 1 x2

5 x 2 = lim 3  0  0 = 3 . 1 2 x  2  0  0 2 x

Page | 7

B. KONTINUITAS FUNGSI 1. KEKONTINUAN FUNGSI DI SUATU TITIK Dalam pembahasan yang lalu tentang konsep limit, dimana eksistensi (keberadaan) nilai limit fungsi di suatu titik tidak tergantung kepada nilai fungsinya dititik tersebut. lim f ( x)  L , xa

tidak mempersoalkan apakah fungsi f terdefinisi dititik a atau tidak. Sekarang akan ditinjau hubungan limit fungsi dengan nilai fungsinya disuatu titik. Jika limit fungsi f dititik a adalah f(a) sendiri, dikatakan bahwa fungsi f kontinu dititik x = a. Definisi3.5.1.1: (kekontinuan) Suatu fungsi f dikatakan kontinu dititik a jika lim f ( x)  f (a) xa

Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi f dikatakan kontinu dititik a jika memenuhi ketiga syarat berikut: 1. lim f ( x)  L ada  x a

2. f(a) ada ( f terdefinisi dititik a) 3. lim f ( x)  L  f (a) xa

Catatan: Jika salah satu syarat kekontinuan diatas tidak dipenuhi, dikatakan fungsi f “tidak kontinu” (diskontinu) dititik tersebut. Contoh 1:  x4  x3 , x 1   1 x Diberikan fungsi f ( x)   1 , x 1  2 Selidiki apakah fungsi f kontinu di x =1 ?, dan gambarkan grafik f

Penyelesaian: x 3 , x  1  Fungsi f di atas dapat dituliskan sebagai f ( x)   1 , x 1  2 Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan riil x , grafiknya terdiri atas titik terpencil (1,1/2) dan semua titik pada kurva y = x3 kecuali titik (1,1). Lihat gambar.21.a Sekarang kita periksa syarat-syarat kekontinuan fungsi f dititik x = 1  lim f ( x)  lim x 3  1, (syarat (1) dipenuhi ) x1

 

x1

f(1) = ½, (syarat 2 dipenuhi) lim f ( x)  f (1), (syarat (3) tidak dipenuhi ) x1

Kesimpulan: Fungsi f “tidak kontinu” dititik x = 1 Page | 8

y

y

f(x) 1

f(x)=x3 1

0, ½ -1

0

1

x

-1

-1

0

1

x

-1

Gambar 21.a

Gambar 21.b

Catatan: Dari Contoh 1 di atas, bilamana didefinisikan f(1) = 1 maka dikatakan fungsi f “kontinu” dititik x=1 (gambar 21.b) Contoh 2: Diberikan fungsi  x2 1  g ( x)   x  1 , x  1 1 , x 1  a. Gambar grafik fungsi g b. Selidiki kekontinuan fungsi g dititik x = -1 dan x = 1

y 2 f(x ) (1,1)

1 1

0

1

x

Penyelesaian: 1 a. Fungsi g terdefinisi untuk setiap bilangan real, grafiknya terdiri dari titik Gambar terisolir (1,1) dan semua titik pada garis 22 y = x+1 dan garis y = -x-1, kecuali dititik (1,2) dan titik (1,-2).(lihat gambar 22). b. Menurut sifat nilai mutlak, maka 2   x  1  ( x  1)( x  1); x  1  x  1 2 x 1   2   ( x  1)  ( x  1)( x  1);  1  x  1 sehingga fungsi g dapat dituliskan sebagai fungsi dengan 3 aturan :  x  1 ; x  1  x  1 ; x  1  g ( x)   ( x  1) ;  1  x  1 ; x  1 1 ; x 1  Sekarang kita selidiki syarat-syarat kekontinuan fungsi g di x = -1 dan x =1 Dititik x = -1 Grafik g diatur oleh dua persamaan y = x+1 dan y = -x-1  lim g ( x)  lim g ( x)  0,  lim g ( x)  0 (syarat (1) dipenuhi) x1



g(-1) = 0

x1

x1

(syarat (2) dipenuhi) Page | 9



lim g ( x)  g (1)  0, (syarat (3) dipenuhi ) x1

Kesimpulan fungsi g “kontinu” dititik x = -1 Dititik x = 1 Grafik g diatur oleh tiga persamaan y = x+1 , y = 1 dan y = -x-1 lim g ( x)  lim ( x  1)  2 x1 karena lim g ( x)  lim g ( x)  x1 lim g ( x)  lim ( x  1)  2 x1 x1 x1

x1

maka lim g ( x) tidak ada x1

Karena syarat pertama tidak dipenuhi, maka disimpulkan bahwa “diskontinu” dititik x = 1. Jadi fungsi g kontinu disemua bilangan riil x kecuali dititik x =1

fungsi g(x)

2. KONTINU KANAN DAN KONTINU KIRI Definisi 3.5.2.1: 1) Suatu fungsi f dikatakan kontinu kanan dititik x=a jika memenuhi tiga syarat berikut: a. lim f ( x) ada (artinya limit kanan di a ada) xa

b. f(a) ada, (artinya f terdefinisi di a) c. lim f ( x)  f (a) xa

2) Suatu fungsi f dikatakan kontinu kiri dititik x=a jika memenuhi tiga syarat berikut: a. lim f ( x) ada (artinya limit kiri di a ada) xa

b. f(a) ada, (artinya f terdefinisi di a) c. lim f ( x)  f (a) xa

Teorema 3.5.2.1: Fungsi f kontinu dititik x=a  lim f ( x)  lim f ( x)  f (a) xa

xa

Contoh 3: f(x) = x  1 fungsi f terdefinisi pada Df = [ 1,  ) sehingga f kontinu pada selang tersebut, karena f kontinu pada selang terbuka ( 1,  ) dan kontinu kanan di x=1.

y f(x) = 1

0

1

2

x

Gambar 23

Contoh 4: Diberikan fungsi:  ;x  0 x f(x) = [ x] ;0  x  3 2  x (  2 ) 1 ; x 3  fungsi f terdefinisi untuk setiap bilangan riil, grafiknya meloncat dititik x=1 dan = 2 (lihat gambar 24).

x

Page | 10

Menurut definisi bilangan bulat terbesar maka [x] untuk 0  x 0 : (

--

++ - -

);

++ )

d). Titik belok d2y/dx2 = 0 = 6 ax + 2 b  x = - b/(3a)  (- b/(3a) , y) Titik belok: biasanya terletak di antara dua titik puncak, atau merupakan batas antara grafiks cekung dan grafiks cembung.

Contoh Soal: Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = 3x – x3 !

Jawab:

y = 3x – x3

- Titik potong dengan sumbu y  x = 0  y = 0  (0,0) - Titik potong dengan sumbu x  y = 0  3x – x3 = 0  x (3 – x2) = 0  x1=0, x2= -√ , x2= √

jadi tiga titik potong: (0,0), (-√ ,0 ,

√ ,0

- Titik stasioner: dy/dx = 0 = 3 – 3x2  3(1+x)(1-x)=0  x1=-1, x2= 1

x1=-1  y1 = 3.(-1) - (-1)3 = -3 + 1 = -2  (-1,-2) (ttk puncak)

x2= 1  y2 = 3.(1) - (1)3 = 3 - 1 = 2  ( 1, 2 ) (ttk puncak) Page | 18

Karena koef x3 < 0, maka grafik

:(

)

- Titik belok d2y/dx2 = - 6 x = 0  x = 0  y = 3.0 – 03 = 0  (0,0) y

-- ,-√

0 ++

,-1

--

(1,2)

,1

++

.

--

,√

x

--

- -2

.(-1,-2)

Soal: Buktikan gambar grafik y = x3 - 3x seperti di bawah ini ! y

,-√

,-1

0 .

,1

,√

x

Page | 19

SOAL LATIHAN: Tentukan 1. 2.

�

=

+

=

2−

−

=

3.

+

=

4.

=

5.

=

6. 7.

2−

+

+

8. 9. 10.

untuk yang berikut:

�

√

−

+

−9

+

+

+9

+

+9 9

= +

=

−

−

=

=

Page | 20...