Mathematik Übungsaufgaben Blatt 9 PDF

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W-Mathematik

Übungsaufgaben Blatt 9

Elastizität

1. Für die folgenden Funktionen soll jeweils die Elastizität berechnet werden. √ 2 a) f1 (x) = x7,5 c) f3 (x) = x5 e) f5 (x) = 2 x b) f2 (x) = x3 − 4x + 1 d) f4 (x) = ln (3x) f) f6 (x) = x2 e−x 2. Bestimmen Sie jeweils, in welchem Bereich die betreffende Funktion elastisch bzw. unelastisch ist. a) f1 (x) = 3 − 0,3 x (0 < x < 10)

b) f2 (x) = e

0,5 x

(0 < x < 3)

c) f3 (x) = 1 + 0,5 x (0 < x < 10) d) f4 (x) = x2 + 10 x + 25 (0 < x < 7)

3. Gegeben ist die Produktionsfunktion x(r) = −0,1r3 + 8r2 + 175r (0 ≤ r ≤ 80), wobei x die produzierte Menge und r die dazu aufgewendete Resourcenmenge ist. Man berechne die Elastizität von x(r). Welchen Wert hat diese für r = 20, für r = 40 und für r = 60? Wie sind diese Werte zu interpretieren? Wo ist die Produktionsfunktion starr? Was bedeutet diese Stelle? 4. Ausgehend von der Preis-Nachfrage-Relation 2,5x + 8000p = 1 000 000 ist die Preiselastizität der Nachfrage x zu ermitteln. Für welche Preisbereiche ist die Nachfrage elastisch bzw. unelastisch? Was bedeutet dies für den Umsatz? Bei welchem Preis wird der Umsatz maximal? Berechnen Sie auch die Preiselastizität εE (p) des Umsatzes E(p). Welchen Wert hat sie für die Preise p1 = 30, p2 = 60 und p3 = 90, und wie sind diese Werte zu interpretieren? 2

5. Preis p und Nachfrage x seien über die Gleichung (p + 3) + 9x = 144 verknüpft. Bestimmen Sie Nachfrage und Grenznachfrage bezüglich des Preises. Ermitteln Sie auch Prohibitivpreis pˆ (Preis, bei dem die Nachfrage auf Null sinkt) und Sättigungsmenge xˆ (Nachfragemenge bei einem Preis von Null) und überzeugen Sie sich, dass die Nachfragefunktion x(p) in ihrem ganzen Definitionsbereich 0 ≤ p ≤ pˆ streng monoton fällt. Finden Sie eine Formel für die Preis-Elastizität der Nachfrage εx (p) (und vereinfachen Sie ggf.). Für welchen Preis ist die Nachfrage gerade 1-elastisch? Finden Sie auch jeweils einen Beispielwert für den Preis, bei dem sich eine elastische bzw. eine unelastische Nachfrage ergibt. Bei welchem Preis ist der Umsatz also maximal? Und: wie hoch ist der Umsatz dann?

6. Bestimmen Sie jeweils, in welchem Bereich die betreffende Funktion elastisch bzw. unelastisch ist. x+1 (0 < x < 8) a) f1 (x) = −0,25 x2 − x + 15 (0 < x < 6) c) f3 (x) = x+2 p b) f2 (x) = 10 · 1,5−x (0 < x < 6) d) f4 (x) = x2 + 1 (0 < x < 3) 7. In einem modellhaften Ein-Güter-Markt wird eine Umsatzsteuer von t · 100% erhoben (t = 1 entspräche also einem Steuersatz von 100%). Der Gesamtumsatz U (in Mrd e) hänge von der Steuerintensität t ab gemäß der Formel 1−t U (t) = 975 · 2 (7 + 6t) Dabei ist 0 ≤ t < 1 (theoretisch) zulässig. [Vergl. Blatt 8 Aufg. 7] a) Berechnen Sie den Grenzumsatz U ′ (t) bzgl. der Steuerintensität t. b) Berechnen Sie die Elastizität εU (t) des Umsatzes U bzgl. der Steuerintensität t. (Vereinfachen!) c) Bitte begründen Sie (inhaltlich oder rechnerisch): εU (t) hat für 0 ≤ t < 1 negative Werte. d) Für welchen Wert t∗ von t (zwei Kommastellen) ist der Umsatz gerade 1-elastisch bzgl. t? e) Geben Sie auch Beispielwerte für t, für die der Umsatz unelastisch bzw. elastisch ist. f) Bei welcher Steuerintensität ergibt sich maximales Steueraufkommen T = t · U ? Grund? Höhe?...