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Maschinenelemente 2 Übungsaufgaben Prof. Dr.-Ing. Martin Sting Dr.-Ing. Harald Weber

Nur für den internen Gebrauch zur Vorlesung

Aufgabe 1: Aufteilung von Übersetzungen Es soll ein dreistufiges Stirnradgetriebe mit einer Gesamtübersetzung von isoll = 50 entwickelt werden. a) Teilen Sie die Gesamtübersetzung in Teilübersetzungen auf und legen Sie geeignete Zähnezahlen für alle Zahnräder fest. b) Vergleichen Sie Ihre erreiche Gesamtübersetzung iist mit der Sollübersetzung isoll (maximal zulässige Abweichung ±4%). TB 21-11 Empfehlungen zur Aufteilung von i für zwei- und dreistufige Stirnradgetriebe:

Aufgabe 2: Übersetzung, Drehmoment, Wirkungsgrad Gegeben ist ein zweistufiges Stirnradgetriebe mit den Übersetzungen i1 = 3,37 und i2 = 2,94. Der Wirkungsgrad der ersten Stufe beträgt 1 = 97 % und der zweiten Stufe 2 = 98%. Die Eingangsdrehzahl beträgt n1 = 1.200 min-1 und das Eingangsdrehmoment M1 = 500 Nm. a) b) c) d)

Wie hoch ist die Gesamtübersetzung. Berechnen Sie das Ausgangsdrehmoment und die Ausgangsdrehzahl. Welches Drehmoment muss über das Gehäuse aufgenommen werden? Berechnen Sie die Verlustleistung des Getriebes.

Aufgabe 3: Bestimmung von Teilkreisradien Wie groß sind die die Teilkreisradien r1 und r2 einer Geradverzahnten Stirnradstufe (ohne Profilverschiebung) bei einem Achsabstand von a = 193 mm und einer Übersetzung von i = 1,382 ?

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Aufgabe 4: Verzahnungsgesetz Gegen ist ein Stirnradpaar mit Evolventenverzahnung und den Durchmessern d1 = 150 mm und d2 = 240 mm. Die Geschwindigkeit des treibenden Rades beträgt n1 = 1.800 min-1. Zeichnen sie folgende Vektoren im Maßstab 1cm = 1 m/s in die Zeichnung ein: a) Gesamtgeschwindigkeiten v1 und v2 der beiden Räder am Berührpunkt der Zahnflanken (Punkt P). b) Die Geschwindigkeitsvektoren vn1 und vn2 am Berührpunkt der Zahnflanken, senkrecht zur gemeinsamen Tangente an den Zahnflanken. c) Die Gleitgeschwindigkeit vg

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Aufgabe 5: Zahnradgeometrie Gegeben ist ein geradverzahntes Stirnradpaar (ohne Profilverschiebung) mit folgenden Daten: m = 2 mm

z1 = 15

z2 = 48

Berechnen Sie: a) b) c) d) e) f)

die Übersetzung i die Teilkreisdurchmesser d für beide Zahnräder den Achsabstand a den Grundkreisdurchmesser db für beide Zahnräder die Zahnkopfhöhe ha und Zahnfußhöhe hf für beide Zahnräder die Kopfkreisdurchmesser da und Fußkreisdurchmesser df für beide Zahnräder

Aufgabe 6: Evolventenverzahnung Gegeben ist ein Stirnradrad mit Geradverzahnung ohne Profilverschiebung: Zahnrad 2 (Großrad): d = 102 mm, z = 68; Übersetzung: i = 3,4 Berechnen Sie a) Modul m b) Teilung p c) Den Achsabstand der Zahnräder d) Grundkreisdurchmesser db beider Zahnräder e) Die Zahnkopfhöhe ha und Zahnfußhöhe hf für beide Zahnräder f) Die Zahndicke und Zahnlücke am Teilkreis für beide Zahnräder g) Die Zahndicke und Zahnlücke am Zahnkopf für beide Zahnräder h) Die Zahndicke und Zahnlücke am Zahnfuß für beide Zahnräder i) Zeichen Sie die Verzahnung maßstabsgetreu (je ein Zahn pro Zahnrad im Eingriff) Zeichen Sie die Zahnflanken, durch Verbinden der berechneten Breiten auf den verschiedenen Durchmessern (Zirkel empfohlen!)

Aufgabe 7: Zahneingriff Gegeben ist ein Stirnradpaar mit Geradverzahnung und Null-Achsabstand ad = 102 mm. Zähnezahl Rad 1: z1 = 20

Zähnezahl Rad 2: z2 = 48

a) Welchen Modul müssen die Zahnräder haben? b) Berechnen Sie die Länge der Eingriffsstrecke der Zahnradpaarung c) Berechnen Sie die Profilüberdeckung

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Aufgabe 8: Schrägverzahnung Es ist ein Stirnradradpaar auszulegen, bei dem eine exakte Einhaltung der Vorgaben durch den Einsatz einer Schrägverzahnung erreicht werden soll:

ad

Rad 1 Vorgaben:

Rad 2

Achsabstand: ad = 100 mm Übersetzung: i = 3,4 Normalmodul: mn = 2 mm

a) Berechnen Sie die theoretisch nötigen (nicht ganzzahligen) Zähnezahlen, die bei einer Gerad-Null-Verzahnung nötig wären, wenn die Übersetzung und der Achsabstand exakt eingehalten werden müssen. b) Welche minimale Übersetzungsabweichung kann hier mit einer Gerad-Null-Verzahnung mit ganzzahligen Zähnezahlen (auf- oder abrunden der Ergebnisse aus a)) erreicht werden? Welcher Achsabstand ergibt sich dann? c) Wählen Sie nun einen Schrägungswinkel , um eine exakte Übersetzung beim vorgegeben Achsabstand zu erreichen. Vorgehen: Wählen Sie ganzzahlige Zähnezahlen z1 und z2 in der Nähe der unter a) errechneten Werte, so dass i = 3,4 exakt eingehalten wird. Damit können Sie im zweien Schritt  bestimmen. d) Berechnen Sie für die ausgewählten Zähnezahlen und Schrägungswinkel für beide Zahnräder 1. den Stirnmodul mt 2. den Stirneingriffswinkel t 3. den Grundkreisdurchmesser db 4. den Grundschrägungswinkel b 5. die Normalteilung pn und die Stirnteilung pt 6. Die Zahnkopfbreite im Stirn- und Normalschnitt.

Aufgabe 9: Überdeckung bei Schrägverzahnung Gegeben ist ein Stirnradpaar mit Schrägverzahnung: Zähnezahl Rad 1: z1 = 20 Zähnezahl Rad 2: z2 = 48 Normal-Modul: mn = 3 mm Breite der Zahnräder: b = 50 mm a) Wählen Sie den Schrägungswinkel  so, dass die Sprungüberdeckung  = 1 wird. b) Berechnen Sie den Null-Achsabstand der Zahnräder. c) Berechnen Sie die Gesamtüberdeckung .

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Aufgabe 10: Profilverschiebung Gegeben sind Eckdaten zur Verzahnung eines geradverzahnten Stirnradpaares.

b

aw

Gegeben:

Rad 1 Zähnezahl von Rad 1 Zähnezahl von Rad 2 Modul Eingriffswinkel Profilverschiebung Rad 1 Profilverschiebung Rad 2 Breite von Rad 1 und 2

Rad 2 z1 = 12 z2 = 68 m = 1,5 mm  = 20° x1 = 0,3 x2 = 0 b = 15 mm

a) Berechnen Sie den Achsabstand aw für spielfreie Verzahnung b) Berechnen Sie jeweils für Rad 1 und Rad 2 die Zahndicken und Zahnlücken am Teilkreis.

Aufgabe 11: Profilverschiebung bei Schrägverzahnung Gegeben sind Eckdaten zur Verzahnung eines schrägverzahnten Stirnradpaares.

b

aw

Rad 1 Rad 2 Zähnezahl von Rad 1 z1 = 12 Zähnezahl von Rad 2 z2 = 68 Breite von Rad 1 und 2 b = 15 mm Schrägungswinkel  = 20° Achsabstand aw = 65 mm a) Berechnen Sie überschlägig einen geeigneten Normalmodul mn zu der Verzahnung und wählen Sie gemäß beiliegender Tabelle aus Reihe 1 oder 2 einen Normwert. b) Berechnen Sie die Profilverschiebungssumme zur exakten Einhaltung des Achsabstandes aw für spielfreie Verzahnung. Gegeben:

Moduln m für Stirn- und Kegelräder in mm Reihe 1

Reihe 2

0,1 0,9 10 0,11 0,95 11

0,12 1 12 0,14 1,125 14

0,16 1,25 16 0,18 1,375 18

0,20 1,5 20 0,22 1,75 22

0,25 2 25 0,28 2,25 28

0,3 2,5 32 0,35 2,75 36

0,4 3 40 0,45 3,5 45

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0,5 4 50 0,55 4,5 55

0,6 5 60 0,65 5,5 70

0,7 6

0,8 8

0,75 7

0,85 9

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Aufgabe 12: Vergleich von Zahnrädern Gegeben ist ein Stirnradpaar mit folgenden Daten: mn = 2 mm

z1 = 15 mm

z2 = 48 mm

Füllen Sie die Tabelle für Verzahnungen mit Gerad- und Schrägverzahnung, ohne und mit Profilverschiebung aus. Beobachten Sie dabei, wie sich die Werte voneinander unterscheiden: d1

d2

ad

da1

db1

av

aw

 0 = x1 = x2 = 0  = 15° x1 = x2 = 0  = 0 x1 = x2 = 0,5  = 15° x1 = x2 = 0,5

Aufgabe 13: Profilverschiebung mit Zahnstange Gegeben ist ein schrägverzahntes Stirnrad-Zahnstangengetriebe mit Evolventenverzahnung. Gegeben: Zähnezahl Rad1 z1 Profilverschiebung Rad 1 x1 Schrägungswinkel  Normalmodul mn

= 12 = 0,3 = 15° = 3 mm

Zahnrad aa

Zahnstange a) Ermitteln Sie jeweils die Ersatzzähnezahl von dem Zahnrad und der Zahnstange. b) Ermitteln Sie aus dem beigefügten Diagramm für Rad 1 die Grenzprofilverschiebung für die Zahnunterschnittgrenze und für die Zahnspitzgrenze. c) Berechnen Sie den Abstand aa der Zahnradachse senkrecht zum Zahnstangenzahnkopf für spielfreie Verzahnung.

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Aufgabe 14: Profilverschiebung bei Schrägverzahnung Gegeben sind Eckdaten zur Verzahnung eines schrägverzahnten Stirnradpaares.

b

ad

Rad 1 Gegeben:

Rad 2

Zähnezahl von Rad 1 Zähnezahl von Rad 2 Breite von Rad 1 und 2 Schrägungswinkel Achsabstand Normalmodul

z1 = 12 z2 = 68 b = 15 mm  = 20° aw = 65 mm mn = 1,5 mm

a) Berechnen Sie die Profilverschiebungssumme zur exakten Einhaltung des Achsabstandes aw für spielfreie Verzahnung. b) Wie groß muss der Profilverschiebungsfaktor x1 von Rad 1 mindestens sein, damit kein Zahnunterschnitt auftritt? c) Teilen Sie die Profilverschiebungssumme auf die Räder 1 und 2 auf. d) Berechnen Sie am Ritzel (Rad1) die Zahndicke (im Stirnschnitt) am Zahnkopf. e) Berechnen Sie die Profilüberdeckung  und die Sprungüberdeckung  Übungsaufgaben Maschinenelemente 2

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Aufgabe 15: Profilverschiebung bei Schrägverzahnung Zu einer Stirnradgetriebestufe mit Evolventenverzahnung sollen Berechnungen zur Verzahnungsgeometrie erfolgen. Gegeben:

Zähnezahl Rad 1 Zähnezahl Rad 2 Verzahnungsbreite Schrägungswinkel Normalmodul Achsabstand

z1 z2 b  mn aw

=8 = 53 = 25 mm = 26° = 3 mm = 104 mm

a) Berechnen Sie die Profilverschiebungssumme, mit der der Achsabstand aw exakt eingehalten wird und die Verzahnung spielfrei ist. b) Berechnen Sie den Grundschrägungswinkel b und die Ersatzzähnezahl zn1 von Rad 1. c) Berechnen Sie die mindest erforderliche Profilverschiebung x1,grenz von Rad 1, bei der Zahnunterschnitt gerade vermieden wird. d) Wie groß darf die Profilverschiebung x1 von Rad 1 maximal sein, damit die Zahndicke am Zahnkopf nicht (0,2 mn) unterschreitet. Nutzen Sie das beigefügte Diagramm. Ist das Rad 1 ausführbar? e) Teilen Sie die Profilverschiebungssumme (x1+x2) sinnvoll in x1 und x2 auf.

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Aufgabe 16: Zahnflankenspiel Gegeben ist ein Stirnradpaar mit folgenden Daten: m = 2 mm

d1 = 30 mm

d2 = 96 mm

ad = 63 mm

Verzahnungsqualität und Toleranzfeld: 8 cd 26 Genauigkeitsklasse für Achsabstand: js8 a) Bestimmen Sie das theoretische Drehflankenspiel jt min und jt max für den Fall, dass es sich um eine Geradverzahnung handelt. b) Bestimmen Sie das theoretische Drehflankenspiel jt min und jt max für den Fall, dass es sich um eine Schrägverzahnung mit  = 15° handelt. c) Geben sie für Ritzel und Rad  die Messzähnezahlen,  das jeweilige Zahnweitennennmaß  das jeweilige untere und obere Prüfmaß an (nur für Geradverzahnung, =0). Hinweis: Zur Erzielung des Flankenspiels wird für die Ermittlung der Prüfmaße W ki und W ke das Nennmaß W k um das untere bzw. obere Zahnweitenabmaß Awi = Asni · cos(n) bzw. Awe = Asne · cos(n) verringert. Nötige Tabellen siehe nächste Seite

Aufgabe 17: Zahndickenmessung Ein Hersteller fertigt folgendes Stirnrad mit Schrägverzahnung: Zähnezahl: z = 36 Normal-Modul: mn = 3 mm Schrägungswinkel:  = 15° Profilverschiebung: x = 0,25 Bei der Qualitätskontrolle wurde eine Zahnweitenmessung über 5 Zähne vorgenommen und ein Maß von W 5 = 42,050 mm gemessen. Welche Kombinationen aus Zahndickenabmaß und Zahndickentoleranz darf der Hersteller angeben? (siehe auch Hinweis zu 1c)

Nötige Tabellen siehe nächste Seite

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Aufgabe 18: Zahnkräfte Für ein einstufiges schrägverzahntes Stirnradgetriebe sind folgende Daten gegeben: Eingangsdrehzahl:

n1 = 1800 min-1

Leistung:

P = 1,2 kW

Achsabstand:

ad = 100 mm

Normalmodul:

mn = 4 mm

Übersetzung:

i = 1,4

(keine Profilverschiebung)

a) Geben Sie eine sinnvolle Kombination von z1, z2 und  an, so dass die Übersetzung und der Achsabstand exakt eingehalten werden. b) Wie groß sind die Teilkreise d1 und d2? c) Bestimmen Sie die Zahnkräfte Ft, Fr und Fa im Wälzpunkt zwischen Rad und Ritzel. d) Bestimmen Sie die resultierende Zahnnormalkraft Fn.

Aufgabe 19: Einflussfaktoren Für die Zahnfußspannung gilt:  F 

2  Mt1  YFa  YSa  Y  Y  K A  K v  K F   K F b  d1  m n

Füllen Sie qualitativ folgende Tabelle aus: Korrekturfaktor

Abhängig von

Wirkung (+ = positive Abhängigkeit, – = negative Abhängigkeit)

YFa YSa Y Y

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Aufgabe 20: Auslegung Stirnradstufe Zu einer Stirnradgetriebestufe mit Evolventenverzahnung soll eine Auslegung der Verzahnung erfolgen. Gegeben:

Zahnrad-Normalmodul Zähnezahl Rad1 Zähnezahl Rad1 Profilverschiebungssumme Schrägungswinkel

Durchmesser-Breitenverhältnis Sicherheit gegen Zahnbruch:

mn z1 z2 x1+x2 

= 2 mm = 12 = 54 = 0,8 = 20°

d SF

= b/d1 = 1,2 = 1,6

Werkstoff Zahnräder: 16MNCr5 einsatzgehärtet: Faktoren für Zahnradberechnung:

KF = 1,7 KA = Kv = KF = 1 Y = Y = 1 YNT = Y relT = YR relT = YX = 1

M t2

b

M t1

FE = 860 N/mm²

Rad 1

Rad 2

a) Wie groß ist die Getriebeübersetzung der Stirnradstufe? b) Teilen Sie die Profilverschiebungssumme auf die Räder 1 und 2 nach der Empfehlung von DIN 3960 auf. Legen Sie für x1 fest, indem Sie den errechneten Wert auf die 2. Stelle hinter dem Komma aufrunden. c) Berechnen Sie den Achsabstand aw für spielfreie Verzahnung. d) Berechnen Sie die Zahnkopfdicke von Rad 1 im Stirnschnitt. e) Berechnen Sie das maximal zulässige Drehmoment Mt1 aus der Zahnfußtragfähigkeit von Rad 1 mit den vorgegebenen Korrekturfaktoren.

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Aufgabe 21: Auslegung Stirnrad-Zahnstangengetriebe Gegeben ist ein schrägverzahntes Stirnrad-Zahnstangengetriebe mit Evolventenverzahnung. Gegeben: Zähnezahl Rad1 Profilverschiebung Rad 1 Schrägungswinkel Antriebsmoment Getriebewirkungsgrad

z1 x1  Mt1 G

= 12 = 0,3 = 15° = 12 Nm = 0,96

Durchmesser-Breitenverhältnis Sicherheit gegen Grübchenbildung: Sicherheit gegen Zahnbruch:

d = b/d1 = 0,8 SH = 1,1 SF = 1,5

Werkstoff Zahnrad und Zahnstange: 42CrMo4 gehärtet: H,lim FE Faktoren für Vorauslegung:

= 600 N/mm² = 570 N/mm²

ZH = 2,2 Z = Z = ZNT = ZL = Zv = ZR = ZW = ZX = 1 KH = 1,8 KF = 1,5 KA = Kv = KH = KF = 1 YFa = 2,7 Y = Y = 1 YNT = Y relT = YR relt = YX = 1

Mt1

Zahnrad

aa

Ft2 Zahnstange

a) Ermitteln Sie jeweils die Ersatzzähnezahl von dem Zahnrad und der Zahnstange. b) Ermitteln Sie aus dem Diagramm (Seite 2) für Rad 1 den Formfaktor YSa. c) Berechnen Sie als Vorauslegung den erforderlichen Normalmodul mn aus der Zahnfußtragfähigkeit von Rad 1 mit den oben vorgegebenen Korrekturfaktoren. d) Berechnen Sie als Vorauslegung den erforderlichen Normalmodul mn aus der Zahnflankentragfähigkeit von Rad 1 mit den oben vorgegebenen Korrekturfaktoren.

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Aufgabe 22: Auslegung Stirnradstufe Zu einer Stirnradgetriebestufe mit Evolventenverzahnung soll eine Auslegung der Verzahnung erfolgen. Gegeben: Zähnezahl von Rad 1: Getriebeübersetzung: Schrägungswinkel: Profilverschiebung: Antriebsdrehmoment: Korrekturfaktoren für Vorauslegung:

z1 = 12 i = 4,5  = 20° x1 = x2 = 0,5 Mt1 = 100 Nm YSa = 1,85 ; Y = Y = 1 KF= 1,6 KA = Kv = KF = 1 Durchmesser-Breitenverhältnis d= b/d1 = 0,9 Sicherheit gegen Zahnbruch: SF =1,5 Werkstoff Zahnräder: 15CrNi6 einsatzgehärtet: FE = 920 N/mm² Weitere Faktoren für Vorauslegung: YNT = YrelT = YR relT = YX = 1

M t2

b

M t1

Rad 2

Rad 1

a) Berechnen Sie die Ersatzzähnezahlen zn1 und zn2 von Rad 1 und 2. b) Entnehmen Sie aus dem beiliegenden Diagramm den Zahnformfaktor YFa1 für Rad 1. c) Berechnen Sie als Vorauslegung den erforderlichen Normalmodul aus der Zahnfußtragfähigkeit von Rad 1 mit den oben vorgegebenen Korrekturfaktoren. d) Legen Sie den Normalmodul mn nach Norm, Reihe 1 fest. e) Berechnen Sie die Grenzprofilverschiebung xgrenz1 für Rad 1. f)

Entnehmen Sie ungefähr die Zahndicke sa1 am Zahnkopf von Rad 1 aus dem Zahnformfaktor-Diagramm.

g) Berechnen Sie den Achsabstand aw für spielfreie Verzahnung. h) Wie groß ist b? Runden Sie b auf die nächst große ganze Zahl. i)

Wie groß ist die Profilüberdeckung  , die Sprungüberdeckung  und die Gesamtüberdeckung .

Moduln m für Stirn- und Kegelräder in mm Reihe 1

Reihe 2

0,1 0,9 10 0,11 0,95 11

0,12 1 12 0,14 1,125 14

0,16 1,25 16 0,18 1,375 18

0,20 1,5 20 0,22 1,75 22

0,25 2 25 0,28 2,25 28

0,3 2,5 32 0,35 2,75 36

0,4 3 40 0,45 3,5 45

Übungsaufgaben Maschinenelemente 2

0,5 4 50 0,55 4,5 55

0,6 5 60 0,65 5,5 70

0,7 6

0,8 8

0,75 7

0,85 9

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Aufgabe 23: Auslegung Stirnradstufe Zu einer Stirnradgetriebestufe mit Evolventenverzahnung sollen Berechnungen zur Verzahnungsgeometrie und -festigkeit erfolgen. Gegeben: Zähnezahl von Rad 1: Zähnezahl von Rad 2: Verzahnungsbreite: Schrägungswinkel: Normalmodul: Achsabstand:

z1 = 8 z2 = 53 b = 25 mm  = 26° mn = 3 mm aw = 104 mm

Sicherheit gegen Zahnflankenermüdung:

SH ≥ 1,1

Werkstoff Zahnräder: 42CrMo4 vergütet:

Hlim = 600 N/mm²

Korrekturfaktoren für Vorauslegung:

KH= 1,6 KA = Kv = KH = 1 Z = 1 ZNT = ZL = Zv = ZR = ZW = ZX = 1

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M t2

b

M t1

Rad 1

Rad 2

a) Berechnen Sie die Profilverschiebungssumme, mit der der Achsabstand aw exakt eingehalten wird und die Verzahnung spielfrei ist. b) Berechnen Sie den Grundschrägungswinkel b und die Ersatzzähnezahl zn1 von Rad 1. c) Berechnen Sie die mindest erforderliche Profilverschiebung x1,grenz von Rad 1, bei der Zahnunterschnitt gerade vermieden wird. d) Wie groß darf die Profilverschiebung x1 von Rad 1 maximal sein, damit die Zahndicke am Zahnkopf nicht (0,2 mn) unterschreitet Nutzen Sie das beigefügte Diagramm. Ist Das Rad 1 ausführbar? e) Teilen Sie die Profilverschiebungssumme (x1+x2) sinnvoll in x1 und x2 auf. f)

Berechnen Sie das maximal zulässige Drehmoment Mt1,max , bei der für Rad 1 die Sicherheit gegen Zahnflankenermüdung (SH = 1,1) gerade erfüllt ist. Nutzen Sie die oben gegebenen Faktoren für Zahnradberechnung. Alle nicht gegebenen Faktoren müssen ermittelt werden.

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Aufgabe 24: Spezifisches Gleiten Gegeben ist folgende Stirnradgetriebestufe mit Evolventenverzahnung. Gegeben:

Zahnrad-Normalmodul Zähnezahl Rad1 Zähnezahl Rad1 Profilverschiebung Antriebsdrehzahl

mn z1 z2 x1 = x2 n1

= 2 mm = 24 = 54 =0 = 1200 U/min

Berechnen die das spezifische Gleiten von Rad 2 a) am Zahnkopf b) am Wälzpunkt c) am Grundkreis

Aufgabe 25: Schmierung Gegeben ist folgende Stirnradgetriebestufe mit Evolven...