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EL presente informe se desarrolla en función al modelo de crecimiento poblacional, que explica el comportamiento de la población durante cierto tiempo y su tendencia al equilibrio....

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA VIDA Y LA AGRICULTURA INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA BIOFÍSICA

Dinámica de Poblaciones NRC: 1669 Ósmar Acurio Josselyn Briceño Dominique Vargas Anahí Velín Natalia Villarroel

Docente: Alexis Debut Ph.D 02 de Enero de 2017 Octubre 2016 – Febrero 2017

1. TEMA Modelos de crecimiento Poblacional

2. RESUMEN El modelo de crecimiento logístico (o de Verhulst) explica que a mayor población, x, menor tasa de crecimiento. Inicialmente, la población crece rápido, por lo que es una fuente de presión constante, y pierde su capacidad de crecer al volverse muy numerosa, debido a interacciones entre los miembros de la población, lo que da como resultado un estado de equilibrio.

3. OBJETIVO GENERAL Analizar numéricamente los modelos matemáticos poblacionales a través de graficas OBJETIVOS ESPECÍFICOS -

Graficar los modelos de Malthus, Verlhust y Depredador-presa, VIH en Matlab Observar el comportamiento de los modelos a diferentes valores numéricos y definir limitaciones numéricas.

4. MARCO TEÓRICO 1. MODELO EXPONENCIAL O DE MALTHUS CONTINUO El modelo Malthusiano, desarrollado por el economista británico Thomas R. Malthus, asume que la tasa de nacimientos de la población y la tasa de muertes de la población, son directamente proporcionales al tamaño de población actual. [ CITATION How05 \l 12298 ]

dN =(b−d)N =rN dt N ( 0 ) → p ( t ) =ct+ p o

Solución del Sistema N ( t ) =N ( 0 ) ert Expresando la solución del sistema en términos de b y d (b −d)t

N ( t ) =N ( 0 ) e

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2 b: Es la tasa de nacimientos de la población d: Es la tasa de muerte de la población r: Es la tasa de crecimiento natural de la población En este modelo, no existe dependencia de la densidad. Estos modelos independientes de la densidad, las tasas de nacimientos y muertes, no se encuentran influenciadas por cualquier aspecto de la población, por ende, las tasas de nacimientos y muertes son lineales. [ CITATION deB16 \l 12298 ] La solución de este sistema, requiere que se especifiquen las condiciones iniciales del sistema, es decir, la (Población No en t=0) [ CITATION deR14 \l 12298 ]. El modelo de crecimiento es válido bajo la premisa de que b>d, es decir, que la natalidad, supera a la mortalidad. CONDICIONES DE CRECIMIENTO b> d

Como consecuencia r >0

Bajo esta circunstancia, y sin ninguna limitación, la población crece de manera exponencial.

Fig #1. Crecimiento exponencial positivo.

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Fig #1. Crecimiento exponencial negativo. (Decrecimiento) LIMITACIONES   

 

Sin estructura espacial, la población está cerrada, no existen interacciones extra temporáneas. b y d constantes. Esto implica recursos ilimitados para el crecimiento poblacional, su potencial para el crecimiento exponencial. Sin estructura genética, no existe variación genética en la población (todos los individuos tienen las mismas tasas de natalidad y mortalidad) o si existe, esta permanece constante en el tiempo (r representa la media de la tasa instantánea de crecimiento para los diferentes genotipos de la población). Sin estructura por edades o tamaños. No existen diferencias en b y d entre individuos debido a su edad o tamaño corporal. Crecimiento continuo sin retrasos temporales. Los individuos nacen y mueren continuamente.

[ CITATION Ste09 \l 12298 ] IMPLEMENTACIÓN

%Modelo de crecimiento infinito clear; x0=zeros(1,1); x0(1)=input ('Ingrese el tamaño de la población inicial: '); %Valor de poblacion inicial t_inicial=0; %Tiempo inicial t_final =input ('Ingrese el tiempo para el cual se quiere hacer la proyección: '); %Tiempo final r=input ('Ingrese la tasa de crecimiento neto: '); %Valor de la velocidad del crecimiento f_crecimiento=@(t,x) [r*x(1)]; % Creacion ecuacion diferencial tspan=[t_inicial t_final]; [t,x]=ode45(f_crecimiento,tspan,x0);

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4 plot(t,x) xlabel('t'); ylabel('x'); title('Crecimiento Exponencial dx/dt=tx')

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

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MODELO DE CRECIMIENTO LIMITADO O CRECIMIENTO LOGÍSTICO DE VERHULST En el modelo de crecimiento logístico (o de Verhulst) explica que a mayor población, x, menor tasa de crecimiento. Inicialmente, la población crece rápido, por lo que es una fuente de presión constante, y pierde su capacidad de crecer al volverse muy numerosa, debido a interacciones entre los miembros de la población, lo que da como resultado un estado de equilibrio. A diferencia del modelo de crecimiento exponencial, donde la población siempre crece, este modelo se apega más a la realidad para calcular la población de cada entidad federativa. Si bien cada año esta aumenta lo hace a partir de tasas decrecientes. Solo en algunos estados la población crece a tasas crecientes [ CITATION Cor161 \l 12298 ]. La ecuación fue propuesta por Verhulst para modelar el crecimiento de cualquier población, ya sea humana o de animales. Es una ecuación paradigmática porque a pesar de su sencillez es una ecuación dinámica no lineal con mucho potencial para modelar y además es muy didáctica para representar un sistema dinámico no lineal que evoluciona en el tiempo [CITATION Art12 \l 12298 ]. Sean: t = Tiempo (variable independiente). x = Población (variable dependiente). r = Coeficiente de la razón de crecimiento de la población (parámetro). K = Capacidad de carga del sistema. Entonces, 2 dx rx =rx− k dt

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( )

x dx =rx 1− dt k

−r x 2 es un término de competición y da cuenta del promedio estadístico del número k de encuentros de los miembros por unidad de tiempo que puede considerarse proporcional a 2 x . Donde

Si

r /k > VerhulstDiscreto ingrese el valor de la razon de crecimiento de la poblacion r 2.1 ingrese la capacidad de carga K 1 ingrese el tmano 9 inicial de la poblacion 0 9

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Figura 1. Ecuación logística discreta

LIMITACIONES El parámetro que varía para que una población sea caótica es el coeficiente de factor de crecimiento r: Si

2...