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synthèse

ETUDE DES CONSTRUCTIONS Notion(s) abordées(s) en Notion(s) requise(s) en

CI 6 / RDM : moment quadratique et quadratique polaire CI 6 / statique

1) FORMULES GENERALES. r Moment quadratique / axe (G, y ) :

IGy

z 2ds

r Moment quadratique / axe (G, z ) :

IGz

y2 ds

Moment quadratique polaire en G :

I

(y

0

2

Unité : 4 4 unité de longueur ( mm )

z 2 )ds

I Gy

I Gz

2) FORMULAIRE POUR QUELQUES SECTIONS SIMPLES. Figure 1 : sections simple de poutres

1.1) Section circulaire : r Moment quadratique / axe (G, y ) :

I Gy

r Moment quadratique / axe (G, z ) :

I Gz

Moment quadratique polaire en G :

I0

d4 64 d4 64 I Gy

I Gz

Section ciculaire

r y d

r z G

d4 32 Section elliptique

1.2) Section elliptique :

r y b

r Moment quadratique / axe (G, y ) :

ab3 4 ba 3 4

I Gy

r Moment quadratique / axe (G, z ) :

I Gz

Moment quadratique polaire en G :

I0

I Gy

I Gz

r z

a G

ab (a 2 4

b2) Section rectangulaire

1.3) Section rectangulaire : r Moment quadratique / axe (G, y ) :

I Gy

r Moment quadratique / axe (G, z ) :

I Gz

Moment quadratique polaire en G :

I0

hb3 12 bh 3 12 I Gy

r y

r z G

I Gz

bh (b 2 h 2 ) 12

h

b

1.4) Section demi-circulaire : r Moment quadratique / axe (G, y ) :

r

I Gy

Moment quadratique / axe (G, z ) :

I Gz

Moment quadratique polaire en G :

I0

Lycée Catherine et Raymond JANOT / Sens

d4 128 d4 ( 16 8 I Gy

I Gz

Section demi-circulaire

8 ) 9 d4 ( 16 4

r z

8 ) 9

r y d/2 G

2d 3

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synthèse

ETUDE DES CONSTRUCTIONS Notion(s) abordées(s) en Notion(s) requise(s) en

CI 6 / RDM : moment quadratique et quadratique polaire CI 6 / statique

2) DETERMINATION D’UN MOMENT D’INERTIE QUADRATIQUE DANS UNE SECTION COMPLEXE.

Figure 2 : section décalé

r u

2.1) Théorème de Huygens. r On établit le moment d’inertie quadratique par rapport à un axe (O, u ) r à partir du moment d’inertie quadratique par rapport à l’axe (G, u ), de r la surface de la section considérée et de la distance séparant (G, u ) et r (O, u ) : r Moment quadratique / axe (O, u ) :

I Ou

IGu

r u

O

d G

Sd 2

2.2) Méthode pour la détermination d’un moment d’inertie quadratique d’une section complexe. 2.2.1) Décomposer la section complexe en plusieurs sections simples. Deux méthodes peuvent être utilisées.

Figure 3 : section décomposée

S

= S1 +

= 2.2.2) Positionner les centres de gravité de chaque section simple. Exprimer les distances les séparant de l’axe considéré passant par le centre de gravité de la section complexe.

S2 + S3

+

d1

S1

S2 S3

-

-

Méthode 2 : Soustraction

r y

r y

Paramètres associés pour le calcul

=

=

+

Méthode 1 : Addition

2.2.3) Exprimer le moment d’inertie quadratique de chaque section simple par rapport à l’axe considéré passant par le centre de gravité de chacune d’elles.

S

d3 G2

G1

G1 = G

G3 G2 = G

G3

2.2.4) Déterminer par le théorème de Huygens, les moments d’inertie quadratiques de chaque section simple, par rapport à l’axe considéré et passant par le centre de gravité de la section complexe. 2.2.5) Déterminer le moment d’inertie quadratique de la section complexe en effectuant : La somme des moments déterminés au 2.2.4) pour la méthode par addition de surface.

I Gy ( S )

I Gy ( S1 )

Lycée Catherine et Raymond JANOT / Sens

I Gy ( S 2 )

I Gy ( S 3 )

La différence des moments déterminés au 2.2.4) pour la méthode par soustraction de surface.

I Gy ( S )

I Gy ( S1 )

I Gy ( S 2 )

I Gy ( S 3 )

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