MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA) PDF

Preview

Summary

MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA) MAKALAH Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Multivariat yang dibimbing oleh Ibu Trianingsih Eni Lestari oleh Sherly Dwi Kharisma 100312400839 Silvia Indrayani 100312400844 Vivin Octiana 110312406323 UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETA...

Description

MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA)

MAKALAH Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Multivariat yang dibimbing oleh Ibu Trianingsih Eni Lestari

oleh Sherly Dwi Kharisma

100312400839

Silvia Indrayani

100312400844

Vivin Octiana

110312406323

UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Oktober 2013

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Salah satu cabang ilmu statistika adalah Analisis Statistik Multivariat. Ada beberapa metode analisis data statistik yang dapat dipelajari dalam cabang ilmu tersebut, salah satu metode yang cukup banyak diterapkan dalam berbagai bidang adalah MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance. MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan pengembangan dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik untuk menganalisis hubungan antara beberapa variabel bebas dan beberapa variabel terikat. Karakteristik pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu atau satu, namun variabel terikat harus lebih dari satu. Pada Analisis Variansi Multivariat (MANOVA) analisis yang dilakukan harus memenuhi asumsi sebagai berikut: asumsi data berdistribusi normal multivariate, homogenitas matrik varians kovarians, serta adanya korelasi antar variabel yang digunakan.

1.2 Rumusan Masalah 1. Bagaimana hasil uji normal multivariat pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa? 2. Bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarian pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa? 3. Bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?

1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji multivariat normal pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa. 2. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarians pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.

3. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Analisis Multivariat Analisis statistika multivariate adalah analisis statistika yang dikenakan pada data yang terdiri dari banyak variabel dan antar variabel yang saling berkorelasi. Beberapa metode yang termasuk ke dalam golongan analisis ini adalah : Analisis Faktor, Analisis Cluster, Analisis Diskriminan, Analisis Komponen Utama, Korespondensi, dan MANOVA.

2.2 Pengertian MANOVA (Multivariate Analysis of Variance) MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan pengembangan dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik suatu teknik statistik yang digunakan untuk menghitung pengujian signifikansi perbedaan rata-rata secara bersamaan antara kelompok untuk dua atau lebih variable terikat. Karakteristik pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu atau satu, namun variabel terikat harus lebih dari satu. Skala pengukuran variabel bebas berjenis kategorikal artinya data bisa berupa data nominal atau ordinal, sedangkan pada variabel terikat merupakan variabel kontinu artinya data bisa berupa interval atau rasio . Asumsi yang harus di penuhi dalam MANOVA yaitu: 1. Distribusi datanya harus normal multivariat. 2. Matriks varian kovarian antar levelnya harus sama. 3. Setiap pengamatan manova diasumsikan bersifat independen. 4. Manova mengasumsikan bahwa variabel bebas adalah kategorik dan variabel terikat variabel kontinu dan juga bersifat homogenitas.

Pada Analisis Varians Multivariat ada statistik uji yang dapat digunakan yaitu sebagai berikut: 1. Uji hasil bagi kemungkinan, dengan statistik uji (lambda) dari Wilks atau statistik uji U, dimana (JKK) = matriks varians kovarians kekeliruan

dan (JKPr) = matriks varians kovarians perlakuan 2. Uji telusur dari lawley Hotelling dengan statistik LH tr (JKK)-1 (JKPr) , dimana (JKK)-1 adalah invers dari matriks varians kovarians kekeliruan, sedang (JKPr) adalah matrik varians kovarians perlakuan yang bersangkutan. 3. Uji akar maksimum dari Roy, dengan statistik uji R = akar karakteristik maksimum dari (JKK)-1 (JKPr) dimana

4. Uji pillai dengan statistik uji

adalah

akar-akar karakteristik dari (JKK)-1 (JKPr). Dalam hal ini diberikan statistik yang menggunakan statistik U. Ada beberapa sifat pada statistik U yang digunakan untuk menganalisis yaitu, 1. Distribusi U dengan derajat kebebasan (p;m;n) sama dengan distribusi U yang berderajat kebebasan (m;p;n+m-p) 2. Untuk p = 2 nilai Up;m;n dapat ditransformasikan ke nilai F dengan rumus dimana U2;m;n menyatakan nilai variabel acak yang berdistristribusi U dengan derajat kebebasan (2;m;n), sedangkan F2m;2(n-1) menyatakan nilai variabel acak yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan [2m;(2n-2)]. 3. 4. 5.

Kegunaan dan Kelebihan MANOVA MANOVA digunakan untuk mengetahui apakah vektor rata-rata populasi sama, dan jika tidak sama, komponen rata-rata mana yang berbeda secara nyata. Karena kemampuannya untuk menganalisis beberapa pengukuran variabel terikat secara simultan, MANOVA memiliki kelebihan:

•

Menyediakan kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa derajat inter-korelasi diantara variabel terikat.

•

Menyediakan statistik yang lebih kuat dari ANOVA ketika variabel terikatnyaberjumlah 5 atau kurang.

2.3 Distribusi Normal Multivariat

Variabel acak X dikatakan berdistribusi normal dengan rerata  dan

varians 2, dimana  jika fungsi kerapatan probabilitas dari X tertentu dengan rumus :

merupakan kurva atau garis lengkung, atau biasanya

grafik dari

dikatakan bentuk lonceng (irisan bentuk lonceng). Pada situasi multivariat, yang terlibat adalah sekelompok variabel dikatakan berdistribusi normal p-variat dengan vektor rerata

dan matriks varians-kovarians atau matriks dipersi ,

jika fungsi kerapan probabilitas bersama dari p variabel tertentu oleh rumus:

dimana

Jika ( X   )' 

1

X i , X 2 ,..., X

(X   )

berdistribusi normal multivariat maka

p

berditribusi



2 p

. Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan

distribusi multinormal dapat dilakukan dengan cara membuat q-q plot dari nilai d i2



 X

i

 X )' S

1

(X

i



 X , i  1 ,..., n

.

Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson, 1990): 1. Menentukan nilai vektor rata-rata :

X

2. Menentukan nilai matriks varians-kovarians : S

3. Menentukan nilai jarak setiap titik tergeneralisasi pengamatan dengan vektor rata-ratanya



di  X 2

2

4. Mengurutkan nilai

di

5. Menentukan nilai

pi 

i

 X )' S

1

(X



 X , i  1 ,..., n

i

dari kecil ke besar : i 1/ 2 n

d (1 )  d ( 2 )  d ( 3 )  ...  d ( n )

qi

sedemikian hingga 

7. Membuat scatter-plot



2

d (i)

2

2

2

, i  1 ,..., n qi

6. Menentukan nilai

2

dengan

f ( )d 2

2

 pi

qi

8. Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50 % nilai

di   2

2 p , 0 . 50

dimana : -

Xi = objek pengamatan ke i

-

n = banyak pengamatan

-

S-1 = invers matrik varians kovarians yang berukuran p x p

-

p = banyak variabel Selain dengan memeriksa nilai jarak Mahalanobis setiap pengamatan

dengan vektor rata-ratanya. Menurut Mardia (1974) di dalam Rencher (1995) pemeriksaan kemultinormalan data dapat juga dikaji melalui nilai multivariate skewnewss ( b 1 , p ) dan kurtosisnya ( b 2 , p ) b2, p 

1 n

 n

i 1

2

g ii

X i , X 2 ,..., X

-

z1 

-

z2 

p

sedangkan

b1, p 

g ij  ( X i  X )' S

1

1 n

2

(X

 n

n

i 1

j

j 1

3

g ij

dan

 X ) Jika

dikatakan berditribusi normal multivariat maka :

( p  1 )( n  1 )( n  3 )

6 ( n  1 )( p  1 )  6 

b2, p  p ( p  2) 8 p( p  2) / n

b1, p

berditribusi  p2 ( p  1 )( p  2 ) / 6 dan

berdistribusi normal baku.

2.4 Uji Homogenitas Matrik Beberapa analisis statistika multivariate seperti discriminant analysis dan MANOVA membutuhkan syarat matriks varians-kovarians yang homogen.

Untuk menguji syarat ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipoteris dan statistik uji Box-M adalah (Rencher, 1995) : Hipotesis -

Ho :

1  

-

H1 :



2

 

i

Statistik uji :



 ...   j

untuk

 hitung

k

dan S

pool



i 1

viS i

 k

i 1

vi

2

k

i  j

1   2 (1  c 1 )  2

  k 1 c1      i 1 v i  

 k

i 1

v i ln S i 

1 2

 k

ln S

pool

ii  1

 vi  

 2  1 2p  3p 1    vi  ni  1 k   6 ( p  1 )( k  1 )   vi  i 1 

Terima

hipotesis nol yang berarti matriks varians-kovarians bersifat homogen jika  hitung 2

 

2 1 2

( k 1) p ( p 1

Adapun langkah-langkah uji homogenitas varians-kovarians menggunakan program SPSS 16 adalah sebagai berikut: a. Buka aplikasi SPSS . b. Dari worksheet, entry data dilakukan melalui Variable View dan Data View. c. Dari menu utama SPSS dipilih menu Analyze, kemudian submenu General Linear Model dipilih Multivariate. d. Setelah tampak dilayar tampilan window Multivariat, kemudian melakukan entry variabel-variabel yang sesuai pada kotak Dependent Variables dan Fixed Factor(s). e. Selanjutnya Option dipilih Homogenitas test dan Continue, terakhir OK.

2.5 Uji Korelasi Antar Variabel Variabel

dikaatakan bersifat saling bebas (independent)

jika matriks korelasi antar variabel membentuk matriks identitas. Korelasi antar variabel dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett Sphercity pada program SPSS. Hipotesis yang digunakan pada uji tersebut adalah sebagai berikut:

Statistik uji yang digunakan yaitu:

Berikut adalah flowchart dari langkah-langkah pengerjaan analisis data:

Data Uji Variabel Y dengan Variabel X

Uji Independensi ANOVA Pemeriksaan Asumsi

Normal Multivariat

Kesamaan Matriks Varian Kovarian

Tidak Memenuhi Pemeriksaan Asumsi

Memenuhi Pemeriksaan Asumsi

Manova

PEMBAHASAN DAN ANALISA

3.1 Pembahasan Masalah yang akan dibahas yaitu kemampuan siswa dalam menguasai mata pelajaran matematika dilihat dari nilai kognitif, afektif dan tingkat kecerdasan IQ. Data terdiri dari dua variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2 (nilai afektif) dan variabel bebas X (tingkat kecerdasan IQ). Berikut data yang akan digunakan dalam analisis MANOVA yang terdiri dari data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa. Variabel bebas:X= tingkat kecerdasan IQ siswa

 level 1 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ, x ≤ 100

 level 2 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,100 < x ≤ 125

 level 3 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,125 < x ≤ 150  level 4 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ , x >150 Variabel terikat: Y1:Nilai Kognitif siswa Y2: Nilai Afektif siswa

Tabel 1: Data nilai kognitif siswa, nilai afektif siswa, dan tingkat kecerdasan IQ

No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Y1 78 81 79 84 80 78 77 77 80 80 80 76 87 83 84 81

Y2 75 78 76 81 77 75 74 74 77 77 77 73 84 80 81 78

X 1 3 1 2 2 2 1 1 3 4 4 1 4 1 2 2

No 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

Y1 75 87 78 84 87 87 77 83 83 84 78 80 80 80 75 83

Y2 72 84 75 81 84 84 74 80 78 80 78 80 78 79 78 79

X 3 3 4 4 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

80 78 86 79 85 78 62 77 76 76 83 74 75 83

77 75 83 76 82 75 59 74 73 73 80 71 72 80

2 2 3 1 4 4 1 2 1 1 2 2 2 3

47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.

81 84 77 82 79 8 78 83 75 82 85 78 68 80

78 79 80 80 78 79 77 80 72 79 79 76 74 78

2 3 2 4 2 2 2 3 1 2 3 1 1 2

Sebelum melakukan analisis MANOVA, terlebih dahulu ada asumsiasumsi yang harus dipenuhi terlebih dahulu yaitu data berdistribusi normal multivariate normal dan dan varians data adalah homogen. Berikut pemeriksaan asumsi-asumsi MANOVA.

a. Pengujian Distribusi Multivariat Normal Variabel yang diuji hanyalah variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2 (nilai afektif). Berikut pengujian multivariate normal dengan menggunakan macro minitab:

Berikut scatterplot dari q vs dj

Dilihat dari tabel sehingga

diperoleh 77.9305 dan

. Dan karena plot

membentuk garis lurus sehingga

dapat disimpulkan data ini berdistribusi normal multivariat. b. Homogenitas Matrik Varian Covarian Hipotesis: H

0

: Matrik

H1 :

bernilai 0.858

varians covarians adalah homogen

Matrik varians covarians tidak homogen



Hipotesis 

H

0

= Kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif)

mempunyai matrik varian-kovarian yang sama variabel X (tingkat 

kecerdasan IQ). H 1 : Kedua

variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif) mempunyai

matrik varian-kovarian yang berbeda variabel X (tingkat 



kecerdasan IQ). Kriteria Keputusan

 Jika angka sig. > 0,05, maka

 Jika angka sig. < 0,05, maka

H

0

diterima

H

0

ditolak

Output Dari table terlihat nilai Box’M=12,186 dengan nilai signifikasi 0,254. Karena nilai signifikan lebih besar dari 0,05, maka

H

0

diterima.

Artinya matrik varians-kovarians pada variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif) adalah sama untuk X (tingkatan kecerdasan IQ). Dengan demikian keputusan gagal menolak

H

0

dan matrik varians-kovarians

pada data sudah homogen.

c. Uji homogenitas varian

Dengan taraf signifikansi 0,05 dari tabel di atas terlihat angka signifikansi uji Levene diatas menunjukan bahwa untuk kedua variabel Y, yaitu :

 Y1 nilai F=0.722 dengan signifikansi 0,543 > 0,05.

 Y2 nilai F=0.693 dengan signifikansi 0,560 > 0,05.

Maka

H

0

diterima. Hal ini berarti matrik varians-kovarians pada variabel

Y1 dan Y2 secara individu adalah sama untuk setiap variabel X. Sehingga bisa dilanjutkan dengan analisis MANOVA.

d. Tabel Manova Tabel Multivariate Test dibawah ini menjelaskan pengujian perbandingan rata-rata komponen kognitif dan komponen afektif secara bersamaan dengan komponen IQ. Terdapat uji statistic, yaitu Pillai’s Trace, Wilk’s Lamda, Hotelling Trace, dan Roy’s Largers.



Hipotesis  



H

0

= variabel X (tingkat kecerdasan IQ) tidak menunjukkan

perbedaan pada kedua variabel Y (nilai kognitif dan nilai afektif). H1 :

variabel X (tingkat kecerdasan IQ) menunjukkan perbedaan

pada kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif). Kriteria Keputusan

 Jika angka sig. > 0,05, maka

 Jika angka sig. < 0,05, maka

H

0

diterima

H

0

ditolak

Perhatikan pada baris X pada angka signifikansi yang diuji dengan prosedur Pillai, Wilk’s Lambda, Hotelling dan Roy’s. Ketiga procedure yang pertama menunjukan angka signifikansi diatas 0.05 yaitu 0.037,

0.031, 0.026 dan 0,004. Maka bisa dikatakan Ho ditolak. Karena Ho ditolak maka secara bersama-sama nilai kognitif dan afektif menunjukkan perbedaan pada tingkat kecerdasan IQ.

e. Pengujian Model Secara Univariat



Hipotesis Hipotesis untuk variabel Y dan X secara individu  Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif) 



H

0

= Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) tidak menunjukkan

perbedaan pada variabel X (Komponen IQ). H1=

Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) menunjukkan

perbedaan pada variabel X (Komponen IQ).

 Untuk faktor X dan Y2 (nilai afektif)   

H

0

= Rata-rata variabel Y (nilai afektif) tidak menunjukkan

perbedaan pada variabel X (tingkat kecerdasan IQ). H1=

Rata-rata variabel Y (nilai afektif) menunjukkan

perbedaan pada variabel X tingkat kecerdasan IQ). Kriteria Keputusan

 Jika angka sig. > 0,05, maka

 Jika angka sig. < 0,05, maka

H

0

diterima

H

0

ditolak



Output

 Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif) Perhatikan baris faktor X dan sub Y1, dimana angka signifikansi adalah 0,006. Karena lebih besar dari 0,005, maka

H

0

diterima,

atau rata-rata Y2 memang berbeda secara nyata pada X.

 Untuk faktor X dan Y2 (Komponen Afektif)

Perhatikan baris faktor X dan sub Y2, dimana angka signifikansi adalah 0,004. Karena kurang dari 0,005, maka

H

0

ditolak, atau

rata-rata Y1 sama dengan X. Ini terjadi karena kemungkinan ada siswa yang memiliki IQ, memiliki nilai kognitif lebih tinggi, atau ada kemungkinan lain.

BAB IV KESIMPULAN

Hasil pembahasan dan analisa yang dilakukan menunjukan bahwa data yang digunakan dalam pembahasan ini berdistribusi normal multivariate. Pada pengolahan data dengan menggunakan program paket SPSS didapat kesimpulan bahwa varian-covarians masing-masing variabel yang digunakan dalam pembahasan adalah homogen. Pengujian MANOVA dapat dilakukan karena asumsi-asumsi awal dapat dipenuhi oleh data yang digunakan. Pengujian MANOVA memberikan kesimpulan bahwa tingkat kecerdasan IQ menunjukkan perbedaan terhadap nilai kognitif dan afektif siswa....