Nivelación Trigonométrica PDF

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Summary

Nivelación trigonométrica y barométrica.
Nivelación Eclimétrica.
Nivelación Taquimétrica.
Tolerancia.
Nivelación Trigonométrica para distancias largas.
Corrección por curvatura.
Refracción terrestre.
Corrección por refracción.
Nivelación barométrica.

Description

ALTIMETRIA TEMA 7: Nivelación trigonométrica y barométrica. En el Tema 6 estudiamos una clasificación de los métodos altimétricos de nivelación en función de su importancia o precisión y en ella señalábamos la nivelación trigonométrica. En la Nivelación trigonométrica o por pendientes, se determinan los desniveles por procedimientos trigonométricos en función de la medición de ángulos verticales mediante el teodolito (distancias cenitales, ángulos de altura o depresión, etc.) La nivelación trigonométrica la podemos tratar aplicado a: I .- Distancias cortas, sin tener en cuenta la influencia de la curvatura y refracción terrestre, por ejemplo, la nivelación eclimétrica y la taquimétrica. II.- Distancias largas, considerando la influencia de la curvatura y refracción terrestre, por ejemplo, el método llamado nivelación trigonométrica para distancias largas. 7.1) Nivelación Eclimétrica Es una nivelación trigonométrica entre puntos que se encuentran a distancias menores de 300 o 400 metros. Por lo tanto se supone la Tierra plana ( verticales del lugar paralelas ) y la refracción terrestre nula. Este tipo de nivelación se efectúa utilizando un eclímetro y una mira o señal. Se llama eclímetro a cualquier instrumento que esté provisto de un círculo o un sector de círculo vertical sobre el cual pueda leerse la distancia cenital de una visual ( o el ángulo de altura de la misma ). En particular, el teodolito es un eclímetro. También necesitamos conocer la distancia reducida al horizonte entre los puntos. La diferencia de nivel entre dos puntos puede efectuarse colocando el teodolito en un extremo o desde el medio. Desde un extremo: Sean A y B dos puntos del terreno que se encuentran a una distancia d. Hacemos estación en uno de ellos, por ejemplo en A, determinamos el error de índice y medimos la altura i del instrumento respecto al punto A. Luego colimamos sobre la señal a una altura cualquiera s, a la cual le corresponderá una distancia cenital Z o un ángulo de altura h.

Figura 1 Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 1 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

De la figura extraemos la siguiente igualdad: i + d tg h = s + HAB HAB = d tg h + i - s Por supuesto, si i es igual a s la fórmula (1) se facilita

(1)

Si en vez de tener el ángulo de altura h, obtenemos la distancia cenital Z, la fórmula a utilizar será: (2) HAB = d cotg Z + i - s

En este tipo de nivelación, generalmente no se conoce la distancia reducida d, y se recurre para obtenerla a una medición indirecta de distancia con visual inclinada, observando ángulos verticales, que estudiamos en el Tema 5, punto 5.5). Para ello, sin haber movido el aparato ni la señal, colimamos otro punto s’ y leemos su correspondiente h’ o Z’. Como el desnivel entre A y B y la altura del instrumento ( i ) no varían, aplicando la fórmula ( 1 ) podemos formar las siguientes ecuaciones : HAB = d tg h + i - s y HAB = d tg h’ + i -s’ igualando ambas expresiones podemos despejar la distancia d, luego: d = (s - s’) / (tg h - tg h’)

(3)

La distancia en función de la distancia cenital Z será: d = (s - s’) / (cotg Z - cotg Z’)

(4)

Desde el medio Otra forma de nivelación eclimétrica, se presenta cuando nos colocamos con el teodolito en un punto intermedio C, ya sea para obtener un mejor rendimiento de trabajo o visualizar con mayor precisión las señales colocadas en A y B. Esta forma de operar se conoce como Método del Punto Intermedio.

Figura 2 De la figura 2 y aplicando la fórmula ( 1 ), tenemos: HCA = dA tg hA + i - SA HCB = dB tg hB + i -SB El desnivel entre A y B será: HAB = HAC + HCB Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 2 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

pero sabemos que si C esta más alto que A entonces el desnivel tendrá signo positivo, o negativo si está más bajo, entonces : HAC = - HCA por ser desniveles recíprocos, luego: HAB = - dA tg hA - i + SA + dB tg hB + i -SB = dB tg hB - dA tg hA - (SB - SA)

(5)

Si en vez de tener el ángulo de altura h, obtenemos la distancia cenital Z, la fórmula a utilizar sería: HAB = dB cotg ZB - dA cotg ZA - (SB - SA) En el caso particular que SB = SA, la fórmula es:

(6)

HAB = dB tg h B - dA tg hA

7.2) Nivelación Taquimétrica Este tipo de nivelación, también se puede definir como una nivelación trigonométrica aplicada a distancias cortas, menores a 300 o 400 metros. Los elementos a utilizar son un teodolito con hilos estadimétricos y una mira vertical. Para deducir las fórmula a utilizar, partimos de las fórmulas de la nivelación eclimétrica ( 1 ) y ( 3 ), y reemplazamos la distancia d por la fórmula dada en el punto 5.4), Tema 5, Medición indirecta de distancia: d = K H Cos 2 h Desde un extremo: En el Método desde un extremo tenemos: H AB = d tg h + i - s = K H Cos² h tg h + i - s = K H Cos h Sen h + i -s por trigonometría, cos h sen h = ½Sen 2h reemplazado en la fórmula nos queda: HAB = K H ½Sen 2h + i –s y en función de Z

HAB = K H ½Cos 2Z + i – s

(7)

Desde el medio: Las fórmulas a utilizar desde un punto intermedio son: HAB = dB tg hB - dA tg hA + sA - s B = K H B ½Sen 2hB - K HA ½Sen 2hA - (sB - sA ) y en función de Z

HAB = K H B ½Sen 2ZB - K H A ½Sen 2ZA - (SB - SA )

(8)

Tolerancia. En la nivelación eclimétrica y taquimétrica, la tolerancia se estudia en función del error angular que se comete en la medida del ángulo vertical de la visual, que será función del error de verticalidad, del error de puntería y del error de lectura. También interviene la inclinación de la mira hasta 2° y la medida de la altura del instrumento hasta un error de un centímetro. Los errores medios están dentro de la centena de centímetros. 7.3) Nivelación Trigonométrica para distancias largas. Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 3 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

Se

emplea

este

método

en

las

triangulaciones geodésicas y topográficas. En los trabajos topográficos los puntos se encuentran entre 1 a 5 kilómetros de distancias. En este método de nivelación es indispensable, para calcular el desnivel, tener en cuenta la esfericidad de la Tierra y la refracción atmosférica. Veamos a continuación el efecto que ellos producen. Corrección por curvatura. Considerando esférica la forma de la Tierra ( de centro C ), las superficies de referencia que se adoptan son esféricas y concéntricas, en consecuencia, la diferencia de nivel entre dos puntos será la distancia vertical orientada entre las superficies de nivel que pasan por esos puntos.

Figura 3 Supongamos dos puntos A y B ( figura 3 ) cuyo desnivel HAB queremos conocer. Si por A hacemos pasar la superficie de nivel paralela a la N de comparación, el desnivel buscado será la magnitud B, segmento de vertical ( dirección de la plomada ) comprendido entre las superficies de nivel que pasan por ambos puntos. Estacionado en A un instrumento, donde O es el centro del anteojo y cuya altura sea i, y colocando una mira o señal en B , quedaría obtenido el desnivel si pudiéramos dirigir una visual curvilínea ( O ), paralela a la superficie de referencia N, que interceptaría a la mira en un punto , entonces conociendo la altura de mira B ; el desnivel verdadero en este caso sería:

HAB

=i-B

Pero la visual, no sigue la dirección del arco O , sino la dirección rectilínea OS , que suponemos horizontal, por lo que en el cálculo del desnivel se comete un error ( SS´ ) llamado error de esfericidad o corrección de curvatura.( Cc ). Para calcular el error Cc , aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo COS : (R + i ) + Cc ² = ( R + i ) ² + d ² ; desarrollando y simplificando, obtenemos : 2 R Cc = d 2 – 2 i Cc – Cc 2 ; tal que Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 4 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

2

2 2 donde los términos 2

² 2

2

2 2

2

pueden despreciarse por pequeños, luego:

Cc

d2 2R

(9)

La cantidad Cc expresa el error que se cometería, a causa de la curvatura de la Tierra, por referir la altura del punto B a la horizontal aparente de A , en vez de hacerlo respecto de su horizontal verdadera.

Refracción terrestre La masa atmosférica no tiene densidad constante en las diversas alturas. La densidad del aire disminuye notoriamente a medida que nos elevamos, y puede considerarse constante a lo largo de una misma superficie de nivel. Imaginemos que la masa de aire que envuelve a la Tierra se encuentra subdividida en estratos (capas), para los cuales se considera la densidad atmosférica constante, e igual a la densidad media de cada estratos. Un rayo luminoso proveniente de un punto L externo a la masa de aire ( desde un astro ), encuentra oblicuamente la primer superficie de nivelS 1. Por pasar del vacío a un medio con cierta densidad, el rayo, por refracción, sufrirá una cierta desviación , acercándose a la normal CP1 ( C = centro de la Tierra, supuesta esférica ). Al pasar al estrato siguiente, que tiene mayor densidad, el rayo luminoso volverá a refractarse, acercándose a la normal CP2. Así sucesivamente hasta llegar al topocentro P. Luego, la trayectoria luminosa desde P 1 a P sería una línea curva que se encuentra en el plano verticalC P L, y que tiene su concavidad hacia abajo , (en países cálidos donde el aire se recalienta en contacto con el suelo, como en las arenas del desierto, disminuye su densidad y la curva se encorva para arriba dando lugar a los espejismos, caso excepcional que no consideraremos ). Un observador en P no ve el punto L en su verdadera dirección, sino que lo ve ubicado ( levantado ) en , según la tangente geométrica en P a la trayectoria luminosa curva.

Figura 4

Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 5 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

La verdadera dirección del rayo L forma con la vertical en P un ángulo Zv = distancia cenital verdadera de L respecto de P. La dirección P según la cual se ve el punto L, forma con la vertical en P un ángulo Zap = distancia cenital aparente de L respecto de P. La diferencia Zv – Zap es siempre positiva ( por ser Zv Zap ), y recibe el nombre de refracción astronómica si L es un astro. Y si L es un punto que pertenece a la superficie física terrestre se llama refracción geodésica o terrestre.

Corrección por refracción A la consecuencia que produce la esfericidad de la Tierra ( error de curvatura ) hay que agregarle el efecto que origina el fenómeno de la refracción atmosférica. Es decir, el efecto ( error ) que origina el fenómeno de la refracción atmosférica es disminuir el error de curvatura. Generalmente, la refracción atmosférica hace que la visual rectilínea sufra una desviación describiendo una curva plana con su concavidad dirigida hacia en el centro de la Tierra ( ver figura 4 ) Esto quiere decir que la lectura que observamos en la mira no es sino , figura 5. La magnitud S es la corrección por refracción ( Cr ). O sea que la refracción terrestre disminuye al error de curvatura terrestre en una cantidad Cr = S

Figura 5 Se ha comprobado que la curva O es plana, circular y con su centro ( ) constante cualquiera sea la distancia AB, siempre que no cambien las condiciones atmosféricas. El ángulo que forma OS con la cuerda O es el ángulo de refracción ( r ). Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 6 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

El cociente entre los radios terrestre y de refracción, recibe el nombre de coeficiente de refracción ( K ):

K varía fuertemente en el día, de 0,08 a últimas horas de la tarde a 0,20 en las primeras horas de la mañana. Para nuestro país, el valor del coeficiente K adoptado es de 0,13, coeficiente determinado por Gauss y obtenido como promedio de numerosas determinaciones, lo que nos indica que es aproximadamente siete u ocho veces el radio ( R ) de la Tierra. Del triángulo OS puede demostrarse que : 2 Cr K d ( 10 ) 2R Corrección total. La corrección total que debemos aplicar al desnivel aparente para obtener el desnivel verdadero es la diferencia entre las correcciones de curvatura y refracción, fórmulas ( 9 ) y ( 10 ).

Corrección Total = C T = Cc – Cr =

d2 2R

K d2 ( 1 K ) d 2 = 2R 2R

d2 ( 1 K ) CT = 2R

( 11 )

Valores de correcciones totales para las siguientes distancias horizontales: d = 100m

CT = 0,0007m

d = 500m

CT = 0,0170m

d = 1000m

C T = 0,0680m

d = 2000m

C T = 0,2720m

Como en la deducción de las fórmulas (1), (2), (3), (4) y (5) de la nivelación eclimétrica no hemos tenido en cuenta la curvatura de la Tierra ni la refracción terrestre debemos corregirlas, por ejemplo, tomando la fórmula ( 2 ) en función de Z: HAB = d cotg Z + Cc – Cr + i - s ;

reemplazando por la fórmula ( 11 ), obtenemos:

d2 + i - s HAB = d cotg Z + ( 1 K ) 2R

( 12 )

que es una de las fórmula de la nivelación trigonométrica. Observaciones: Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 7 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

Analizaremos ¿ cuándo es despreciable la corrección total ( CT ) para poder realizar una nivelación eclimétrica Supongamos que queremos que la corrección total C T sea igual a 1 centímetro, para ello, apliquemos la fórmula ( 11 ): d2 2R CT = ( 1 K ) = 1 centímetro ⇒ d . 1 cm 1 K 2R Si R = 6.371 Km y K = 0, 13

⇒ d = 382,70 metros

Esto nos señala que si el teodolito se encuentra a menos de 400 metros de la mira o señal, el error máximo que cometeremos al despreciar la curvatura y la refracción terrestre será de 1 centímetro. La influencia de la curvatura y refracción terrestre pueden evitarse estacionando el aparato en un punto equidistante de A y de B cuyo desnivel interesa conocer. .

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Ejemplo práctico de nivelación eclimétrica: Calcular el desnivel entre los puntos A y B. Estacionamos el instrumento en el punto medio de la distancia AB, y en primer lugar determinamos la corrección de cenit. 1º ) Corrección de cenit ( ): L1 = 59° 30´20´´ y 2 = 360 – (L1 + L2) = - 04´

L 2 = 300°33´40´´

= - 02´

L1 + L2 = 360°04´00´´

Z = L1 + = 360º - ( L2 +

)

2º ) Planilla de observación y cálculo de distancias Est. Pto. Altura señal Lectura vertical Vdo S (m) (L) . M A SA = 2,70 LA = 89° 51´24´´

M

Angulo cenital Z=L+

s cotz

Cotang Z d

s cotz

ZA = 89° 49´24” +0,003083

d.cot z

+0,46

Cot ZA - Cot Z´ A = +0.016203 dA = 148,12 m SA - S´A = 2,40 A S´A = 0,30 L´A = 90° 47´ 06´´ Z´A = 90° 45´ 06” -0,013120

-1.94

L B = 88° 27´ 57´´ Z B = 88° 25´ 47´´ +0,027365

+1,73

B

SB = 2,80

Cot ZB - Cot Z´B = +0,039496 S B - S´B = 2,50 B S´B = 0,30 L´ B = 90° 43´ 42´´ Z´B = 90° 41´ 42´´ -0,012131

d B = 63,30 m -0,76

3º ) Cálculo de los desniveles: HAB = d B . cotg ZB – dA . cotg Z A + SA – SB = + 1,73 – (+0,46) + (-0,10) = + 1,17 m HAB = d B . cotg ZB – dA . cotg Z´ A + S´A – SB = + 1,73 – (-1,94) + (-2,50) = + 1,17 m HAB = d B . cotg Z´B – dA . cotg Z A + S A – S´B = - 0,76 – (+0,45) + (+2,40) = +1,19 m HAB = d B . cotg Z´B – dA. cotg Z´ A + S´A – S´B = - 0,76 – (-1,94) + 0 = +1,18 m El promedio de los cuatro desniveles es el resultado final: HAB = 1,18 m Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería en Agrimensura 9 Documentos de cátedras preparados por el Ing. Agrim. Guillermo Bustos.

7.4) Nivelación barométrica La nivelación barométrica se basa en la determinación de la presión atmosférica en distintas capas de la atmósfera. La presión atmosférica varía en forma inversa a la altura sobre el nivel del mar, debido a que al elevarnos deja de ejercer presión la capa de aire que queda por debajo, por ello, si se conoce la diferencia de presión atmosférica entre dos puntos, se puede determinar la diferencia de nivel entre ellos. En este principio se funda la nivelación barométrica, llamada así por ser el barómetro el instrumento utilizado para medir presión atmosférica. Antes de explicar la teoría del cálculo de altitudes por observaciones barométricas, indicaremos los fundamentos de esta teoría para dar una idea general que sirva de base e introducción a la misma. Comencemos por las leyes de los gases de Mariotte y de Gay–Lussac. Ley de Mariotte: “El volumen de un gas a temperatura constante varía en razón inversa de la presión, y la densidad del gas varía en razón directa de la presión”, es decir: Presión po p

Estado inicial del gas Estado final del gas Aplicando la Ley de Mariotte:

p po

Volumen vo v =

vo v

Densidad o

=

o Las presiones p o y p se refieren a cualquier unidad de superficie. Ley de Gay-Lussac: “Al calentar un gas a presión constante, experimenta una variación en su volumen proporcional a la variación de temperatura”:

Estado inicial del gas Estado final del gas

Volumen vo v

Aplicando la ley de Gay-Lussat: v = vo ( 1 +

Temperatura

0º 0º + t t)

El coeficiente de dilatación del aire ( ) que figura en esta ecuación tiene el siguiente valor: 1 272, 851 Si aproximamos el denominador al número entero 273, la ley de Gay-Lussat se escribe más frecuentemente de este otro modo: v 273º t vo 273º = 0,003665 =

La expresión 273º + t se llama temperatura absoluta ( - 273º es el cero absoluto ), por lo cual puede expresarse la ley de Gay-Lussat diciendo que los volúmenes de una cantidad de gas, a presión constante, son entre si como sus temperaturas absolutas.

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De la reunión de ambas leyes, Mariotte y de Gay–Lussac, resulta esta otra: “si un gas tiene el volumen vo bajo la presión po y a la temperatura de 0º, y la presión toma el valor p y la temperatura t, su volumen será : v v o po ( 1 t) p Si o es la densidad del gas en su estado inicial, y en el estado final, se tiene : v o po ( 1 t) vo p o también: o

p 1 po 1 t

(1)

Con la expresión de estas leyes, podemos empezar el tema de la nivelación barométrica.

Nivelación barométrica. Imaginemos un cilindro vertical lleno de aire de sección transversal arbitraria ( S ), por ejemplo, S = 1 ( igual a la unidad ).

Figura 6

Consideremos un punto cualquiera de altura H sobre la superficie del mar BAB, sea p la presión atmosférica que actúa sobre la sección S del cilindro. A la altura H + dH sea la presión igual a p – dp, el signo negativo indica que la presión disminuye conforme aumenta la altura. Se puede saber el valor dp, es decir, la pérdida de presión correspondiente al aumento de altura dH, conociendo la densidad del aire en el punto e...