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Betriebsplanung...

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Übung 5: Optimierung Aufgabe 1: Simplexmethode Ein Marktfruchtbetrieb möchte Weizen und Kartoffeln anbauen und hat dafür 100 ha Fläche und 2 400 Arbeitskraftstunden zur Verfügung. Die Substitutionsraten sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Der Betriebsleiter möchte sein optimales Produktionsprogramm bestimmen, um seinen Deckungsbeitrag zu maximieren. Aktivitäten

Vorhandene Kapazitäten

Weizen

Kartoffeln

Inanspruchnahme der Kapazität‚ „Fläche‘‘ [ha]

1

1

100 ha

Inanspruchnahme der Kapazität ,,Arbeit‘‘[Akh]

10

30

2 400 Akh

Deckungsbeitrag [€/ha]

1 000

2 000

a) Erstellen Sie zunächst das Ausgangstableau ausgehend von der Nulllösung (Tipp: Schlupfvariablen hinzunehmen!). 1 ∗ ฀฀฀฀฀฀ + 1 ∗ ฀฀฀฀฀฀ + 1 ∗ ฀฀฀฀฀฀ = 100 | nach ฀฀฀฀฀฀ auflösen 10 ∗ ฀฀฀฀฀฀ + 30 ∗ ฀฀฀฀฀฀ + 1 ∗ ฀฀฀฀฀฀ = 2400 | nach ฀฀฀฀฀฀ auflösen ฀฀฀฀฀฀ = 1000 ∗ ฀฀฀฀฀฀ + 2000 ∗ ฀฀฀฀฀฀ Alle Funktionen als Funktion negativer Nichtbasisvariablen −฀฀฀฀฀฀ und − ฀฀฀฀฀฀ ausdrücken: ฀฀฀฀฀฀ = 1 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 1 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 100 ฀฀฀฀฀฀ = 10 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 30 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 2400 ฀฀฀฀฀฀ = −1000 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) − 2000 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) = 0

Nichtbasisvariablen

−฀฀฀฀฀฀

−฀฀฀฀฀฀

(Hauptvariable: Anbauumfang Weizen)

(Hauptvariable: Anbauumfang Kartoffel)

฀฀฀฀฀฀(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Fläche)

1

1

100

฀฀฀฀฀฀ (Schlupfvariable: Nichtnutzung von Arbeit)

10

30

2400

GDB (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag)

−1 000

−2 000

0

Basisvariablen

Umfang

b) Bestimmen Sie die Pivotspalte und die Pivotzeile für den zweiten Iterationsschritt. Welche Variablen sind die Basisvariablen und welche Variablen die negativen Nichtbasisvariablen im ersten Iterationsschritt? Wahl der Pivotspalte: Entscheidung für diejenige Spalte, die pro zusätzliche Einheit den höchsten Anstieg des Zielfunktionswertes liefert: GDBWeGDBVar  UWe ist Pivotspalte Wahl der Pivotzeile: Entscheidung für diejenige Zeile, die der knappere Faktor ist  20/(2/3)  30 ha Nichtgenutzte Fläche  Fläche ist knapperer Faktor  vFl wird Nichtbasisvariable (Pivotzeile)  80/(1/3)  240 ha Kartoffeln

Für den zweiten Iterationsschritt gilt:  Basisvariable: UWe und UKA  Nichtbasisvariable: VAr und VFL (wird = 0 gesetzt)  Die Basisvariablen müssen nun durch die negativen Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden.

(Hauptvariable: Anbauumfang Weizen)

−฀฀฀฀฀฀ (Schlupfvariable: Nichtnutzung von Arbeit)

Umfang

฀฀฀฀฀฀(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Fläche)

2/3

−1/30

20

฀฀฀฀฀฀ (Hauptvariable: Anbauumfang Kartoffel)

1/3

1/30

80

−333,33

66,67

160000

Nichtbasisvariablen Basisvariablen

−฀฀฀฀฀฀

GDB (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag)

e) Berechnen Sie die Werte für das Tableau nach der 2. Iteration. Warum ist nach der zweiten Iteration die optimale Lösung erreicht?

Berechnen von UWe, ausgedrückt durch (−฀฀฀฀฀฀) und (−฀฀฀฀฀฀ ): 1

2

฀฀฀฀฀฀ =3 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) − 30 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 20 ฀฀฀฀฀฀ =

3

3 60 ∗ ฀฀฀฀฀฀ − ∗ ฀฀฀฀฀฀ + 2 60 2

฀฀฀฀฀฀ = −

1

3 ∗ (−฀฀฀฀฀฀) + ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 30 20 2

| nach UWe auflösen

Berechnen von UKa, ausgedrückt durch (−฀฀฀฀฀฀ ) und (−฀฀฀฀฀฀ ): ฀฀฀฀฀฀ = ∗ (−฀฀ 1

3

฀฀฀฀

)+

1 30

∗ (−฀฀

฀฀฀฀

| UWe ersetzen

) + 80

1 1 3 1 ฀฀฀฀฀฀ = ∗ [− �− ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 30�] + ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 80 3 20 2 30 1 1 ฀฀฀฀฀฀ = ∗ (−฀฀฀฀฀฀) − ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 70 2 20

Berechnen der Zielfunktion GDB, ausgedrückt durch (−฀฀฀฀฀฀) und (−฀฀฀฀฀฀ ): ฀฀฀฀฀฀ = −333,33 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 66,67 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 160000

| UWe ersetzen

1

3 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 30�] + 66,67 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 160000 20 2

฀฀฀฀฀฀ = −333,33 ∗ [− �−

฀฀฀฀฀฀ = 50 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 500 ∗ (−฀฀฀฀฀฀ ) + 170000

Werte ins Tableau eintragen: Nichtbasisvariablen

−฀฀฀฀฀฀ (Schlupfvariable: Nichtnutzung von Fläche)

−฀฀฀฀฀฀ (Schlupfvariable: Nichtnutzung von Arbeit)

Umfang

฀฀฀฀฀฀ (Hauptvariable: Anbauumfang Weizen)

3/2

−1/20

30

฀฀฀฀฀฀ (Hauptvariable: Anbauumfang Kartoffel)

−1/2

1/20

70

GDB (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag)

500

50

170000

Basisvariablen

 Nun sind die Werte bei der Zielgröße GDB positiv, d.h. der Zielfunktionswert von 170000 würde um 500€ pro ha nichtgenutzter Fläche und um 50€ pro nichtgenutzter Arbeitskraftstunde verringert werden. Daher ist die Optimallösung nach der zweiten Iteration erreicht.

f) Wie sind die Werte im Endtableau zu interpretieren?  Substitutionsraten von Basis- und Nichtbasisvariablen: o Drücken aus, wie sich das Produktionsprogramm ändert, wenn man eine Nichtbasisvariable in die Lösung aufnimmt o Positive Substitutionsrate bedeutet, dass der Umfang der Basisvariablen reduziert wird, wenn eine Einheit der NBV aufgenommen wird o D.h. Wenn entgegen der Optimallösung 1 ha Fläche nicht genutzt werden soll, muss der Anbau von Weizen um 3/2 reduziert werden und der Anbau von Kartoffeln um ½ erhöht werden. o Wenn entgegen der Optimmallösung 1 Akh nicht genutzt werden soll, muss der Anbauumfang von Weizen um 1/20 erhöht und der Anbauumfang von Kartoffel um 1/20 reduziert werden.  Umfänge der Aktivitäten o Hauptvariablen als Basisvariablen: Umfang der Produktionsaktivitäten in der Optimallösung o D.h. in der Optimallösung werden 30 ha Weizen und 70 ha Kartoffeln angebaut.  Betriebswert knapper Kapazitäten o Wenn Nichtbasisvariable = Schlupfvariable o D.h. der Zielfunktionswert von 170000 würde um 500€ pro ha nichtgenutzter Fläche und um 50€ pro nichtgenutzter Arbeitskraftstunde verringert werden.  Optimaler Zielfunktionswert o Der maximal zu erreichende GDB für dieses Optimierungsproblem ist 170000€....