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Libro Finanza Aziendale...

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OPZIONI Opzione finanziaria  contratto che offre a chi lo possiede il diritto (ma non l’obbligo) di acquistare o vendere un’attività a un prezzo fissato, a una certa data futura. L’opzione ha un prezzo nei mercati finanziari perché crea dei vantaggi al portatore. Opzione Call  opzione finanziaria che offre, a chi la possiede, il diritto di comprare un’attività. Il vantaggio è quella di comprare un’attività ad un prezzo prefissato (strike price). Opzione Put  diritto di vendere una determinata attività Esercizio di un’opzione  quando detentore di opzione fa valere il contratto (compra/vende azione al prezzo prefissato) Strike Price  è un elemento implicito dell’opzione; quando compriamo un’opzione siamo già a conoscenza dei metodi in cui il prezzo verrà prefissato. Il prezzo a cui il detentore acquista o vende l’opzione quando l’opzione è esercitata. Data di scadenza  data finale entro cui il detentore ha il diritto ad utilizzare l’opzione. Opzioni americane  consentono a chi le detiene di esercitare in qualsiasi momento fino alla data finale (inclusa). Opzioni europee  consentono a chi le detiene di esercitarle soltanto alla data di scadenza.  I TERMINI AMERICANI ED EUROPEE NON HANNO NULLA A CHE FARE CON I LUOGHI IN CUI LE OPZIONI SONO SCAMBIATE. A parità di condizione dovrebbe costare di più un’opzione americana perché da più libertà di scelta (può essere esercitata a piacimento). Compratore dell’opzione  detiene il diritto di esercitare l’opzione e ha una posizione lunga nel contratto. Venditore dell’opzione (emittente)  vende/emette l’opzione, ha una posizione corta nel contratto.  Le opzioni su azioni sono scambiate in mercati organizzate e per convenzione scadono il sabato successivo al terzo venerdì del mese.  Posizione aperta (open interest)  il numero totale di contratti che sono stati emessi per una particolare opzione. Per ogni opzione le informazioni più importanti sono: 1. Anno di scadenza con mese (es: Dec), con prezzo  05 Dec 45.00 (ZON LI-E) 2. Bid (prezzo per chi vende) Ask (prezzo per chi compra). 3. Open int.  riporta la posizione aperta (numero totale di contratti emessi per quella determinata opzione). Per le opzioni put, invece, il prezzo d’esercizio è il prezzo a cui posso vendere l’opzione sottostante. Tutti gli elementi elencati sopra restano invariati. Tanto più alto è il prezzo d’esercizio, tanto più vantaggiosa sarà l’opzione per chi la esercita. Se valore azione aumenta, aumenta anche prezzo opzione. Come interpretare le quotazioni delle opzioni: At-the-money  prezzo d’esercizio è uguale al prezzo corrente dell’azione sottostante. Se l’opzione è at the money ma non è ancora scaduta, ha ancora un prezzo perché il prezzo può salire o scendere. In-the-money  payoff derivante dall’esercizio immediate sarebbe positivo. (deep in the money se tanto positivo) Out-of-the-money  descrive un’opzione per cui il risultato derivante dall’esercizio immediato sarebbe negativo. (deep out of the money se tanto negativo) Put: payoff positivo solo se Prezzo d’azione < Prezzo d’esercizio Call: payoff positivo solo se Prezzo d’azione > Prezzo d’esercizio Finalità delle azioni: suddivise in Buone e Negative Hedging  riduzione del rischio detenendo contratti/titoli i cui payoff sono correlati negativamente con una certa esposizione al rischio (rischio di andamento del prezzo di mercato è ridotto). Se acquisto azioni put e successivamente il prezzo scende, ciò che perdo dalla vendita lo compenso col payoff dell’esercizio delle opzioni. Speculare  quando investitori utilizzano contratto/titoli per compiere una sorta di scommessa sull’andamento del mercato. Es: vogliamo scommettere 100euro sull’aumento del prezzo delle azioni, P t=100. Sto scommettendo a rialzo, quindi se a t+1 P= 110, avrò guadagnato 10.

Se io con questi 100euro decido di acquistare opzioni call a prezzo =100 (at the money) con payoff = 33euro, sto scommettendo sull’incremento del prezzo delle opzioni; si verifica incremento di prezzo da 100 a 110; io quanto guadagno in questo caso? Guadagno 10 euro su ogni opzione.

Payoff dell’opzione alla scadenza: Posizione lunga su un’opzione call : valore di un’opzione call alla scadenza è: C = max(S – K, 0) S = prezzo dell’azione K = prezzo d’esercizio C = valore dell’opzione call Posizione lunga su un’opzione Put  P = max(K – S, 0) Guadagno se c’è una riduzione nel prezzo dell’azione. Payoff  posizione lunga Payoff di un’opzione call con prezzo di esercizio di $20 alla scadenza. Verrà esercitata solo se il prezzo dell’azione > $20. Se prezzo < $20 non verrà esercitata e quindi non ha valore. Per un’opzione Put, invece il payoff sarà $20 quando l’azione non ha valore. Il payoff scenderà a zero quando il valore dell’azione > $20. Quindi non verrà esercitata se Prezzo > $20.

Posizione Corta: Posizione corta su un’opzione call  se P(azione) > P(esercizio) la call sarà esercitata quindi chi è in posizione corta su di essa perderà la differenza fra P(azione) e P(esercizio). Se P(azione) < P(esercizio) la call non verrà esercitata. Per un’opzione Put, invece, se P(azione) > P(esercizio) l’opzione non verrà esercitata. Se P(azione) < P(esercizio) la Put verrà esercitata e perderemo la differenza fra P(azione) e P(esercizio).

Profitti derivanti dal detenere un’opzione fino alla scadenza: I pagamenti derivanti da una posizione lunga non sono mai negativi ma il profitto lo può essere poiché il pagamento alla scadenza può essere minore del costo iniziale dell’opzione. Se acquistiamo un’opzione a $4.00 che scade fra 45gg ottenendo un prestito di $4.00 al tasso di interesse del 3%. Avremo guadagnato solo se il Prezzo dell’azione > 80 + 4.00 x 1.0345/365 = $84.01. Se l’opzione è “out of the money”  il costo iniziale sarà inferiore quindi avremo una perdita potenziale minore, la probabilità però di guadagnare è anch’essa minore perché il punto in cui il profitto diventa positivo è elevato. Poiché la posizione corta è l’opposto di una lunga, i profitti di una posizione corta su un’opzione sono quelli della lunga ma con segna negativo. Profitto derivante dal detenere un’opzione call fino a scadenza. Bisogna notare che le opzione con P(esercizio) maggiore (es: Call 09 Ago 85) hanno perdite inferiori ma offrono un payoff positivo ad un P(azione) più elevato.

Combinazioni di Opzioni: Straddle: Combinando un’opzione call (linea Blu) con una put (grigia), riceveremo denaro finchè le azione non scadranno at-themoney. Più sono lontane dal valore d’esercizio, più elevati saranno i profitti (linea continua) Le linee tratteggiate, invece rappresentato uno “Strangle”: i profitti saranno negativi se il P(azione) sarà vicino al P(esercizio); questo dipende dalla combinazione di opzioni Put e Call acquistate.

Assicurazione del portafoglio: Put Protettiva  vogliamo assicurarci contro la possibilità che il prezzo delle azioni acquistate scenda sotto un determinato prezzo. Decidiamo quindi di acquistare una Put Europea con P(esercizio) = $45. Se le azioni restano sopra a $45 le teniamo, se invece P < 45 le possiamo vendere utilizzano l’opzione Put. Lo stesso effetto può essere raggiunto acquistando un’obbligazione ed un’opzione Call. Se detenessimo un’obbligazione senza cedola, priva di rischio con Valore Nominale = $45. Se l’azione X è quotata sopra a $45 potremmo esercitare la call e vendere l’obbligazione per comprare l’azione.

Parità Put-Call  S + P = VA(K) + C Azioni che non pagano dividendi C = P + S – VA(K) Per un’azione che non paga dividendi, la formula della parità put – call si può scrivere: C = S – K + dis(K) + P Dove: S – K = valore intrinseco dis(K) è l’importo dello sconto dal valore nominale dell’obbligazione senza cedola K dis(K) + P = valore temporale • Poiché dis(K) e P devono essere positivi prima della data di scadenza, un’opzione call europea ha sempre un valore temporale positivo.



Poiché un’opzione americana vale almeno quanto un’opzione europea, deve anch’essa avere un valore temporale positivo prima della scadenza. Quindi, il prezzo di ogni opzione call per un’azione che non paga dividendi supera sempre il suo valore intrinseco. • Questo risultato implica che non è mai ottimale esercitare anticipatamente un’opzione call su un’azione che non paga dividendi.  Sarebbe sempre meglio vendere l’opzione.  Dato che non è mai ottimale esercitare in anticipo un’opzione americana su un’azione che non paga dividendi, un’opzione call americana su un’azione che non paga dividendi ha sempre lo stesso prezzo dell’opzione europea equivalente. P = K – S -dis(K) + C Potrebbe essere ottimale esercitare anticipatamente un’opzione Put su un’azione che non paga dividendi. • Quando un’opzione put è sufficientemente deep in-the-money, dis(K) sarà grande in relazione al valore della call e il valore temporale di un’opzione put europea sarà negativo. In questo caso, la put europea sarà venduta a meno del suo valore intrinseco.  Tuttavia, la put equivalente americana non può essere venduta per meno del suo valore intrinseco e ciò implica che un’opzione put americana può avere un valore maggiore di un’opzione europea identica. Esempio: X vuole comprare un’opzione call europea a una anno sulle Azioni HAL con P(esercizio)= $20. Un altro operatore è disposto a emettere un’opzione con P(esercizio) = $20 e vende l’opzione Put a $3.50. Se HAL non paga dividendi ed è scambiata a $18 ad azione e rf = 6%, Qual è il prezzo più basso che possiamo chiedere per un’opzione Call ed ottenere un profitto? C = S+P-VA(K)  C = 18 + 3.50 – 20/1.06 = 2.632

Azioni che pagano dividendi: • La relazione della parità put-call per un’azione che paga dividendi si può scrivere come C = S – K + dis(K) + P – VA(div) S – K = valore attuale  

Se VA(Div) è abbastanza grande, il valore temporale di un’opzione call europea può essere negativo e ciò implica che il suo prezzo può essere più basso del suo valore intrinseco. Quindi, il prezzo di un’opzione americana può essere superiore al prezzo di un’opzione europea.

• Con un’azione che paga dividendi, può essere ottimale esercitare anticipatamente un’opzione call americana.  Quando una società paga dividendi, gli investitori si aspettano che il prezzo delle azioni scenda. A differenza di chi possiede l’azione, il detentore dell’opzione non riceve i dividendi come compenso. • Tuttavia, esercitando anticipatamente l’opzione e detenendo l’azione, chi detiene l’opzione call può ottenere il dividendo.

La relazione della parità put-call per le put si può scrivere come: P = K – S + C – dis(K) + VA(div)  Come si è detto in precedenza, le opzioni europee possono essere scambiate a meno del loro valore intrinseco.

Le determinanti dei prezzi delle ozpioni: Prezzo di esercizio e Prezzo dell’azione: Il valore di un’opzione call è maggiore se il prezzo di esercizio che chi la detiene deve pagare per comprare l’azione è più basso. Opzioni Put con prezzo di esercizio minore valgono meno. Per un dato prezzo di esercizio: il valore di un’opzione call è maggiore se il prezzo corrente dell’azione è più basso. I prezzi delle opzioni Put aumentano al diminuire del prezzi delle azioni sottostanti. Limiti di Arbitraggio: Il payoff di un’opzione non può essere negativo, quindi un’opzione Americana non può valere meno di una corrispondente opzione Europea. Il payoff massimo per un’opzione Put si verifica quando le azioni hanno valore nullo. Quindi il payoff massimo possibile di un’opzione Put non può essere maggiore del suo Prezzo di Esercizio. Se L’opzione Call avesse un prezzo di esercizio pari a 0, chi la detiene eserciterebbe sempre l’opzione e riceverebbe gratuitamente l’azione sottostante  Un’opzione Call non può valere più dell’azione sottostante. Valore Intrinseco  il valore che l’opzione avrebbe se scadesse immediatamente, se è in the money (se out of the money invece = 0) Un’Opzione Americana non può valere meno del suo valore intrinseco. Valore Temporale  Differenza fra il suo valore attuale e il suo valore intrinseco. Un’opzione americana non può avere un valore temporale negativo siccome non può valere meno del suo valore intrinseco. Volatilità: Il valore di un’opzione aumenta con la volatilità dell’azione sottostante. Esempio  Due call Europee con P(esercizio) = $50 su due azoni di imprese diverse. Un’azione stabile (domani avrà valore = $50), una invece volatile con possibili payoff di $60 o $ 40. Entrambe scadono domani, quale vale di più? Hanno entrambe un valore atteso di 50, tuttavia la prima essendo stabile probabilmente domani avrà un valore di $50, quindi il payoff = 0 e l’opzione non varrà nulla. La seconda invece può generare un payoff quindi vale di più.

Esercizio anticipato delle Opzioni: Azioni che non pagano dividendi  C = S – K + dis(K) + P (S – K = valore intrinseco) (dis(K) + P = valore temporale) Finchè i tassi d’interesse restano positivi, il prezzo di ogni opzione call per un’azione che non paga dividendi supera sempre il suo valore intrinseco. Questo implica che non è mai ottimale esercitare anticipatamente un’opzione call su un’azione che non paga dividendi; sarebbe sempre meglio vendere l’opzione). Per questo motivo un’opzione call americana che non paga dividendi ha lo stesso prezzo di un’opzione europea equivalente. Per quanto riguarda un’opzione Put, invece, ha senso esercitarla anticipatamente. P = K-S + C-dis(K)  (K-S = valore intrinseco) (C-dis(k) = valore temporale) Azioni che pagano dividendi: in questo caso, invece, l’esercizio anticipato è conveniente sia per le opzioni put che call.

C = S – K + dis(K) +P – VA(Div) P = K-S – dis(K) +C + VA (div) Quando una società paga dividendi, gli investitori si aspettano che il prezzo delle azioni scenda. Questa diminuzione nei prezzi danneggia chi detiene una Call, tuttavia chi detiene tale opzione può ottenere il dividendo esercitandola anticipatamente. Per chi detiene una Put, invece, è vantaggioso aspettare che il che il prezzo dell’azione scenda subito dopo la distribuzione del dividendo, prima di esercitarla.

Opzioni e finanza d’impresa: Il capitale proprio come opzione call: Un’azione può essere vista come un’opzione call sulle attività dell’impresa, con P(esercizio) = valore del debito emesso. Se il valore dell’impresa non supera il valore del debito in circolazione alla fine del periodo, l’impresa dovrà dichiarare fallimento e gli azionisti non riceveranno nulla. Se il valore, invece, eccede il debito in circolazione gli azionisti riceveranno ciò che resta una volta rimborsato il debito. S(attivo) = [VA(K) – P] (valore del debito) + C (valore del capitale proprio) Il debito come portafoglio di opzioni: Si può pensare ai detentori di debito come se possedessero l’impresa e avessero venduto un’opzione call ai proprietari con P(esercizio) = pagamento richiesto dal debito. Se il valore dell’impresa supera il valore di rimborso del debito, l’opzione call sarà esercitata dai proprietari dell’impresa; i detentori del debito riceveranno quindi il prezzo di esercizio (che rappresenta il rimborso del debito) e lasceranno l’impresa ai proprietari. Se il valore dell’impresa non dovesse superare il pagamento richiesto, l’opzione call avrà valore nullo e quindi non sarà esercitata; l’impresa dichiarerà fallimento e i detentori del debito avranno diritto alle attività dell’impresa. Valore debito rischioso = valore debito privo di rischio – opzione put su attività dell’impresa (put fallimento) Quando le attività di un’impresa valgono meno del pagamento richiesto dal debito, l’opzione put è in the money I crediti Default swap Debito privo di rischio = debito rischioso + opzione put su attività dell’impresa Questa opzione put che può fornire protezione dal rischio di credito di chiama CDS e prevede che l’acquirente paghi al venditore un premio e che in caso di default dell’obbligazione sottostante riceva da questi un pagamento che gli compensa la perdita.

LA VALUTAZIONE DELLE OPZIONI Il modello binomiale del pricing delle opzioni La formula del pricing Binomiale: Supponiamo che S = prezzo corrente delle azioni e che possa aumentare ad Su o diminuire fino a Sd nel prossimo periodo. Determiniamo il prezzo di un’opzione che ha valore Cu se sale e Cu se scende: Dobbiamo determinare il numero di azioni () e la posizione sull’obbligazione (B):  = (Cu – Cd) / (Su – Sd)

B = [Cd – Sd] / (1+rf) Quindi  C = S + B Esempio: Azione viene scambiata ad S = $60 e che tra un periodo aumenterà di 20% o diminuirà di 10%. R f= 3% Calcola il prezzo di una Put Europea che scade fra un periodo e ha un P(esercizio) = 60. 72

 Pu = 0 (perché Put non verrà utilizzata)

60 54  Pd = 60 – 54 = 6

 = (0 – 6) / (72 – 54) = -1/3 B = [6 – 54 x (-1/3)] / 1.03 = 23.30 P = -1/3 x 60 + 23.30 = $3.30

Modello Multiperiodiale Rf = 6%; P (esercizio) = 50  determinare il prezzo della Call.

60

 10

50 40

0

40 40

30

20

0

0

In questo caso bisogna partire dal secondo periodo: 60

 10

50 40

 0

In questo caso:  = 10/20 = ½ ; B= [0 – ½ 40] / 1.06 = -18.87  C = ½ 50 -18.87 = $6.13

L’altra parte del secondo periodo ha Cu = Cd = 0 quindi C=0. Ora possiamo tornare sulla prima parte: 50

Cu = 6.13

30

Cd = 0

40

Quindi:  = 6.13 / 20 = 0.3065; B = [0 – 0.3065 x 30] / 1.06 = -8.67 C = 0.3065 x 40 – 8.67 = $3.59

Il modello di Black-Scholes: S= Prezzo Corrente delle Azioni T= N. di anni che mancano alla scadenza = volatilità annuale (deviazione standard) del rendimento delle azioni Allora  C = S x N(d1) – VA(K) x N(d2) Con

ln[ d1=

S 1 ] 1 VA ( K ) (T 2 ) e d2 = d1 2 + (T ) 1 2 (T 2 )

VA(K) = Valore attuale di un’obbligazione zero coupon priva di rischio che paga K alla data di scadenza dell’opzione. N(d1) = distribuzione normale cumulata (la probabilità che una variabile con distribuzione normale sia minore di d. Opzioni Put Europee  P = C-S+VA(K) Sostituendo a C il valore ottenuto dalla formula Black Scholes: P = VA(K)x [1-N(d2)] – Sx[1-N(d1)] Azioni che pagano dividendi  Un titolo identico all’azione, ma non paga dividendi, avrebbe un prezzo di mercato di: Sx = S- VA(Div) VA(Div) = valore attuale di ogni dividendo pagato prima della scadenza dell’opzione Sx = valore corrente dell’azione esclusi tutti i dividendi prima della scadenza. Un’opzione call europea rappresenta il diritto di comprare l’azione sottostante senza questi dividendi, quindi possiamo valutarla utilizzando la formula Black Scholes con S x al posto di S. Sx =

S 1+ q

con q = tasso di dividendo (composto) dell’azione fino alla data di scadenza

Il portafoglio equivalente: ricorda la formula  C = S + B Confrontando questa formula con quella di Black-Scholes si ottiene: S = S x N(d1) quindi:  = N(d1)  rappresenta il numero delle azioni nel portafoglio. E B = VA(K) x N(d2)  rappresenta l’ammontare da richiedere in prestito.  = la variazione del prezzo dell’opzione dato un cambiamento di $1 del prezzo dell’azione (o < 

S S S+B S +B = C

[ ]

S S S+B

= [S x N(d1) / C] azione

Ricordiamo che per un’opzione call  > 0 e B < 0. Quindi per una call emessa su un’azione con  positivo, il  della call è sempre superiore al  dell’azione. Per un’opzione Put  < 0 e B > 0, quindi il  di un’opzione Put emessa su un’azione con  positivo è sempre negativo....