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Cours de physique sur l'oscillateur amorti....

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Oscillateur amorti

Introduction : Les notions d’oscillations interviennent dans de très nombreux domaines de la physique : étude des ondes, électricité, optique, mécanique etc... Les notions d’oscillateur harmonique, de régime périodique et pseudo-périodique sont essentielles à acquérir.

Table des matières 1 Oscillations non amorties : l’oscillateur harmonique 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Caractéristiques du mouvement . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Analogie électromécanique . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 2 3

2 Oscillations libres amorties 4 2.1 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Amortissement élevé : régime apériodique (Q faible) . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Amortissement faible : régime pseudo-périodique (ou oscillateur amorti) (Q élevé) 8 2.2.3 Amortissement critique : régime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Analogie électromécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 1.1

Oscillations non amorties : l’oscillateur harmonique Définition

On appelle oscillateur harmonique (à une dimension) tout système conservatif à un degré de liberté, noté x, dont l’équation du mouvement s’écrit : x ¨ + ω 02 x = 0. L’énergie potentielle du système, dite harmonique, est de forme parabolique : 1 2 Ep = kx + constante. 2 Avec k et ω0 des constantes. L’oscillateur harmonique est un modèle très utile pour décrire les comportements oscillants : • L’oscillateur purement harmonique est l’oscillateur élastique (système masse + ressort non amorti). Que le ressort soit vertical ou non, l’allongement x par rapport à sa position d’équilibre obéit à l’équation du type (k la raideur et m la masse) :

1

k x = 0. m • Le mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable de tout système oscillant est également du type harmonique. x ¨+

Quelle que soit l’origine physique de l’interaction étudiée, les équations rencontrées ont la même forme. De nombreuses branches de la physique et de la physico-chimie sont concernées 1 : pendule simple, vibration des molécules ...

1.2

Caractéristiques du mouvement

Quel que soit le système concerné, l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique est x ¨+ω 20 x = 0 dont la solution générale est : x(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) avec (A ; B) ∈ R2 . Une forme équivalente (avec Xm une amplitude choisie supérieure à 0 et ϕ la phase à l’origine) est la suivante : x(t) = Xm cos(ω0 t + ϕ) avec (Xm ; ϕ) ∈ R2 .

√ A B B A2 + B 2 , cos(ϕ) = , sin(ϕ) = − , ce qui implique tan(ϕ) = − si A 6= 0 (et A Xm Xm cos(ϕ) du signe de A). Les constantes d’intégration se déterminent à l’aide des conditions initiales.

On a Xm =

Le mouvement est purement sinusoïdale de pulsation propre ω0 (de période propre T0 = fréquence propre f0 =

2π , de ω0

1 ). Xm est l’amplitude des oscillations : T0 −Xm ≤ x(t) ≤ Xm .

Exemple : à t = 0, on réalise un lâcher en X0 sans vitesse initiale (v0 = 0), il vient Xm = X0 et ϕ = 0 ✿✿✿✿✿✿✿✿ (si X0 > 0). x(t) = X0 cos(ω0 t). 1.2.1

Aspect énergétique

Le système est conservatif, c’est-à-dire : Em = Ec + Ep = constante. On peut vérifier... 1 Em = m x˙ 2 + |2 {z } Ec

Implique directement :

d dEm = dt dt

1 2 kx |2 {z }

= constante.

Ep harmonique

1 1 m x˙ 2 + kx2 2 2

!

=0⇒x ¨ + ω02x = 0.

1. On montre en effet que le mouvement d’un système complexe à N degrés de libertés est, au voisinage d’une position d’équilibre, combinaison linéaire de celui de N oscillateurs harmonique indépendants (appelés modes normaux de vibration), ayant chacun une fréquence propre de vibration.

2

Le domaine spatial du mouvement de M se déduit de : Em = Ec +Ep ≥ Ep . |{z}

Em

≥0

Ec

Les points d’abscisses Xm et −Xm sont les "points d’arrêt" où la vitesse s’annule en changeant de signe. On peut facilement calculer la valeur de Em en x = Xm (x˙ = 0 : toute l’énergie est sous forme potentielle) :

Ep x - Xm

Xm

1 2 . Em = Em (Xm ) = Ep (Xm ) = kXm 2 Un calcul direct est aussi possible : x(t) = Xm cos(ω0 t + ϕ) : 1 1 1 2 2 2 . Em = Ec + Ep = mω02Xm sin2 (ω0 t + ϕ) + kXm cos2 (ω0 t + ϕ) = kXm 2 2 2 Au cours du mouvement, il y a échange entre les formes d’énergie : cinétique et potentielle élastique. 1 Em 2 . hEc i = hEp i = kXm = 4 2 Il y a équipartition des formes cinétiques et potentielles de l’énergie en moyenne dans le temps. 1.2.2

Analogie électromécanique

Cette partie sera complétée un peu plus loin dans ce cours (en partie 2.3 à la page 12 pour le cas amorti). On compare les oscillations du circuit LC parallèlement un oscillateur élastique non amorti. La forme canonique de l’équation différentielle : x ¨ + ω 02 x˙ = 0. Régit l’évolution de nombreux systèmes oscillants non amortis (absence de phénomènes dissipatifs) et libres (sans excitation). Oscillateur électrique non amorti L

q

Oscillateur mécanique non amorti 0

k

m

C

Système Equation de l’oscillateur Pulsation propre Grandeurs correspondantes

Energie du système Equipartition de l’énergie

x u

circuit LC en régime libre d2 q 1 q=0 + 2 dt LC 1 ω0 = √ LC q i L C 1 2 1 q2 E = Li + (q = Cu) 2 2C E hE C i = hE L i = 2 3

raideur k du ressort, vitesse v d2 x k + x=0 m dt2 s k ω0 = m x v m 1/k 1 1 E = mv 2 + kx2 2 2 Em hEc i = hEp i = 2

2

Oscillations libres amorties

Dans la description réalise d’un oscillateur, il faut prendre en compte les frottements. Pour le modèle d’oscillateur : ~ = −kx~ex (force de rappel linéaire en l’allongeant). • Elastique. F • Amorti. f~ = −α~v linéaire avec ~v la force de frottements visqueux. La force de frottement dissipe de l’énergie : Em diminue au cours du temps : c’est non conservatif.

2.1

Equation du mouvement ey

m

ex Le système est la masse m. Le référentiel est terrestre, supposé Galiléen. Les forces s’appliquant au système sont : le poids, la réaction normale au support, la force ~f, la force de rappel ~F . Pour obtenir l’équation différentielle du mouvement s’obtient par le principe fondamental de la dynamique (PFD) ou par la méthode énergétique (ci-dessous) : dEm ~ = Fn.c · ~v . dt Avec n.c pour non-conservatif. Cette équation suffit pour des mouvements à un degré de liberté. Si dEm dEm ~ n.c · ~v 6= ~0. =F c’est conservatif, alors, Em = constante et donc = 0. Si c’est non-conservatif, dt dt Par la première méthode, le PFD : ~ +R ~ + f~ + F ~. m~a = P On projette. Sur ~ex , on a : m¨ x = −α |{z} v −k (ℓ − ℓ0 ) . | {z } x˙

Ainsi,

x

m~a = −α x˙ − kx ⇐⇒ x ¨+

α k x˙ + x = 0. m m

~ et P~ se compensent. Remarque : sur ~ey , ma = 0 car les deux forces R Par la seconde méthode, énergétique, le système est non-conservatif par la présence de frottements f~ (δW (f~) 6= 0). dEm ~ ~ · ~v . = f · ~v + R dt La seconde partie ~R · ~v est nulle car R~ est perpendiculaire (la force ne "travaille" pas). On a donc, dEm dEm = −αx˙ 2 . = (−α~v )~v ⇐⇒ dt dt À partir de l’expression de Em :

4

Em = Ec + Ep . 1 1 ~ = m~g , on a, On a Ec = mv 2 = m x˙ 2 . Ep correspond aux forces conservatrices. Si on prend P 2 2 Ep = mgy + constante (y ascendant). ~ = −kx~ex , on a, Si on prend F 1 Ep = kx2 + constante′ . 2 Ce qui implique (car on travaille sur x) : 1 1 Em = m x˙ 2 + kx2 + constante′′. 2 2 ′′ Cette constante est inutile à expliciter si on ne la demande pas. En revenant au théorème de l’énergie mécanique, on dérive Em : 1 1 dEm ˙ = −αx˙ 2 = m(2x¨ ˙ x) + k(2xx). 2 dt 2 Ce qui implique, −αx˙ 2 = mx¨ ˙ x + kxx˙ ⇐⇒ m¨ x + αx˙ + kx = 0. Ce qui donne finalement, x ¨+

α k x˙ + x = 0. m m

Remarque : • L’équation différentielle est linéaire (car les forces sont linéaires en x, x, ˙ ...). • L’amortissement correspond au terme d’ordre 1. En effet, ~f = −α~v, si α = 0, il n’y a pas k d’amortissement, on retrouve x ¨ + x = 0, ce qui correspond à l’oscillateur harmonique. m s k Il est pratique de mettre cette équation sous forme canonique en posant ω0 = (ω0 est un terme m α ω0 ˙ Ce qui permet d’obtenir l’équation = , (ω0 /Q est un terme positif devant x). positif devant x). m Q suivante : x ¨+

ω0 + ω02 x = 0. Q

ω0 correspond à la pulsation propre dont l’unité est le rad.s−1 . Q est un facteur de qualité, sans dimension. Q quantifie l’amortissement, plus Q est élevé, plus l’amortissement est faible. Remarque : parfois on utilise λ tel que x ¨ + 2λx˙ + ω 20 x = 0. λ est appelé coefficient d’amortissement.

5

2.2

Résolution

L’équation est une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants et homogènes. On pose l’équation caractéristique : (Ec ) : r 2 +

ω0 r + ω 20 = 0. Q

Le discriminant de cette équation est : ω 20 ∆ = 2 − 4ω02 = ω 20 Q

! 1 −4 . Q2

Selon l’importance de l’amortissement (la valeur de Q jouera donc sur le signe de ∆), 3 types (2 + 1) de mouvements sont possibles. 2.2.1

Amortissement élevé : régime apériodique (Q faible) 1 ∆ = 0 ⇐⇒ Q = . 2

1 et ∆ > 0. (Ec ) admet deux racines réelles : quand on fait le 2 produit, on tombe sur quelque chose de positif, quand on fait la somme, on tombe sur quelque chose de négatif, donc on a deux racines négatives. √ √ − ωQ0 + ∆ − ωQ0 − ∆ . r2 = r1 = 2 2 Donc, v v ! ! u u u 1t 2 1 1u ω0 1 ω0 −4 r2 = − −4 . ω0 + − tω02 r1 = − 2Q 2 2Q 2 Q2 Q2

Donc pour un amortissement élevé, Q <

Et donc,

r1 = −

 p ω0  1 + 1 − 4Q2 2Q

r2 = −

 p ω0  1 − 1 − 4Q2 . 2Q

On peut poser r1 = −λ1 et r2 = −λ2 (λ1 et λ2 tous deux positifs). Les solutions de l’équation sont de la forme : x(t) = Aer1 t + Ber2 t = Ae−λ1 t + Be−λ2 t avec (A ; B) ∈ R2 .

A et B sont déterminées par les conditions initiales. Pour n’importe quelles conditions initiales,

∀(A ; B) ∈ R2 , x(t) −−−−→ 0. t→+∞

La position est asymptotiquement stable mais sans oscillations. On est en régime apériodique. • Cas où x(0) 6= 0 et x(0) ˙ = 0 (lâcher sans vitesse initiale).

6

x(t) (v = 0)

t • Cas où x(0) = 0 et x(0) ˙ 6= 0 (percussion) : x(t)

(v = 0)

t

Si v(0) > 0 • Cas où x(0) 6= 0 et x(0) ˙ 6= 0 : x(t)

x(0)

(v = 0) Si v(0) > 0

Si v(0) < 0 (faible) t Si v(0) < 0 (élevé) La durée du régime libre (retour à l’équation x = 0) est d’autant plus grande que l’amortissement est grand (Q faible). Remarque : quel est le temps caractéristique de retour à l’équilibre ? x(t) = Ae−λ1 t + Be−λ2 t . 1 1 1 et et on prend le plus grand des (le plus petit λ fixe le temps cherché). On a alors λ1 λ2 λ (si c’est λ1 ) : On regarde

7

τ= 2.2.2

2Q 1 1 p = ω0 1 − 1 − 4Q2 λ1

≃

si Q=1/2

2Q 1 2Q 1 1 . ≃ ≃ ω0 1 − (1 − 2Q2 ) ω0 2Q2 Qω0

Amortissement faible : régime pseudo-périodique (ou oscillateur amorti) (Q élevé) ∆ < 0 ⇒ deux racines complexes.

r1;2 =

v ! u u 1 ω0 ± j t 4 − 2 ω 02 −Q Q 2

ω0 ± jω0 =− 2Q |{z} | −λ

Ce qui implique donc,

s

1−

1

4Q2 {z }

.

Ω : pseudo-pulsation

x(t) = e−λt(A cos(Ωt) + B sin(Ωt)). Que l’on peut aussi écrire, x(t) = Ae−λt cos(Ωt + ϕ). Avec (A ; B ; ϕ) ∈ R3 . On a x(t) −−−−→ 0 : le système est asymptotiquement stable mais le retour à l’équilibre se fait avec des t→+∞

oscillations amorties (pseudo-oscillations). Le régime est dit pseudo-périodique ou oscillatoire amorti. 2π On a donc x(t + T ) avec T = (pseudo-période). Ω x(t + T ) = e−λ(t+T ) (A cos(Ω(t + T )) + B sin(Ω(t + T ))). = e−λ(t+T ) (A cos(Ω t) + B sin(Ωt)). = e−λtx(t).

Seule une partie de la solution est périodique. e−λt est non périodique car amortit les oscillations, 2π . tandis que A cos(Ωt) + B sin(Ωt) est une fonction périodique à T = Ω T =

2π 2π 1 q = ω0 1 − Ω

1 4Q2

=q

T0 1−

1 4Q2

.

Et on a T 6= T0 , Ω 6= ω0 . Egalement, T > T0 . T est la pseudo-période, T0 est la période propre (période s’il n’y avait pas d’amortissement). Ce qui est cohérent car les frottements "freinent" les mouvements. Remarque : quand le système est très peu amorti, Q ≫ 1 et T ≃ T0 . On obtient différents tracés : • Lâcher sans v0 : x(0) > 0 et x(0) ˙ = 0.

8

x(t) e−λt

T 0

t

−e−λt

• Percussion : x(0) = 0 et x(0) ˙ >0:

x(t)

0

t

La durée du régime libre est d’autant plus grande que l’amortissement est faible.

Q2 > Q1 T2 < T1 x(t)

0 t

Et le temps caractéristique de retour à l’équilibre est donné par la formule suivante :

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τ=

1 2Q . = λ ω0

Dans le cas des régimes très peu amortis, x(t + QT ) = e−λ(t+QT ) (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) = x(t)e−λQT . | {z } périodiques à T

Avec Q entier.

λ=

ω0 ω0 T T ≃ π. ⇐⇒ λQT = =π T0 Q≫1 2Q 2 T ≃T0

Ce qui implique, x(t + QT ) = x(t)e−π . Pour un régime très peu amorti, le nombre de pseudo-périodes visibles donne approximativement la valeur de Q. Interprétation énergétique. Em diminue dans le temps, mais de combien ? On a : ∆Em = Em (t) − Em (t + T ) > 0. Or, 1 1 Em = Ec + Ep = mx˙ 2 + kx2 . 2 2 Plaçons-nous aux points d’arrêts, là où v = 0 ⇒ Ec = 0 ⇒ Em a toute sa forme potentielle. 1 2 (t). Em (t) = kXm 2 Et, x(t) = Xm (t) cos(Ωt + ϕ). | {z } Ae−λt

On a,

1 Em (t + T ) = kA2 e−2λ(t+T ) . 2 1 = e−2λt kA2 e−2λt. 2 −2λt =e Em (t). Ce qui implique donc (en faisant la différence pour ∆Em ) : 1 ∆Em = kA2 e−2λt |2 {z } Em (t)

Donc,

(1 − e−2λT ) | {z }

≃ (1−(1−2λT )) Q≫1 ⇒ λ≪ 1

∆Em = Em (t) ·

10

2λT |{z}

ω0 T Q

≃ Q≫1 T ≃T0

. 2π Q

.

Ce qui implique, ∆Em 2π ≃ . Em Q C’est la diminution d’énergie mécanique sur une période. 2.2.3

Amortissement critique : régime critique

Q= On a une racine double.

1 ⇒ ∆ = 0. 2

r1 = r2 = −

ω0 = −ω0 . 2Q

Ainsi, x(t) = e−ω0 t (A + Bt ). Le retour à l’équilibre s’effectue au bout du temps caractéristique τ dont l’expression est τ =

x(t)

t En bilan, apériodique Si Q augmente, τ diminue

pseudo-périodique 1 ω0 1/2

τ=

Q Si Q augmente, τ augmente

τ

1/2 11

Q

1 . ω0

C’est dans le cas du régime critique que le retour vers l’équilibre s’effectue le plus rapidement. 1 Remarque : il est impossible de réaliser exactement Q = , mais la conclusion précédente reste valable 2 pour les Q voisins, à quelques unités. Les applications sont nombreuses (amortisseurs, appareil de mesure à aiguille ...). En toute rigueur, le retour à l’équilibre met un temps infini, mais, en réalité, ce temps reste fini à cause des frottements solides.

2.3

Analogie électromécanique

La forme canonique de l’équation différentielle : x ¨+

ω0 x˙ + ω 20 x = 0. Q

Régit l’évolution de nombreux systèmes oscillants amortis et libres (sans excitation). Oscillateur électrique amorti i

q

k

C u

circuit RLC en régime libre

Pulsation propre Facteur de qualité Energie du système Bilan d’énergie instantanée

m

R x

Système

Equation de l’oscillateur

Oscillateur mécanique amorti 0

L

d2 q

R 1 q=0 q˙ + L LC 1 ω0 = √ LC Lω0 Q= R 1 2 1q 2 E = Li + (q = Cu) 2 2C 2 dE = −Ri dt dt2

+

12

raideur k du ressort, vitesse v α = coefficient frottements fluides k d2 x α + x˙ + x = 0 2 dt m sm k ω0 = m mω0 Q= α 1 2 1 2 E = mv + kx 2 2 dE = −αv 2 dt...