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Fundamentos de química inorgánica (2015) PARTICULA EN UNA CAJA UNIDIMENSIONAL Hugo Armando Iral Maldonado, Jonatán Tangarife Sánchez, Luis Eduardo Giraldo, Miguel Esteban Cardona. Departamento de Química, Universidad del Quindío Docente. Alejandro García Ríos. RESUMEN. En este tema consideraremos algunos de los más importantes conceptos y resultados dela mecánica cuántica; todos ellos dentro del campo de lo que podríamos considerar aspectos matemáticos relativamente sencillos. Más adelante, cuando nos enfrentemos a conceptos concernientes con aspectos matemáticos un poco más complejos, podremos apoyarnos en la analogía con los sistemas más simples para facilitar la comprensión.

Palabras claves: Gravedad, particula, ondas estacionarias, campo magnetico.

1. 1.INTRODUCCION. En 1926 el físico-matemático austríaco Erwin Schrödinger obtuvo la primera ecuación de las ondas materiales que incluía el potencial de manera satisfactoria. La ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger desempeña el papel de las leyes de Newton y la conservación de la energía de la mecánica clásica, es decir, predice el comportamiento futuro de un sistema dinámico. Se trata de una ecuación de onda en términos de la función de onda, que predice analíticamente y con precisión, la probabilidad de eventos o resultados. El resultado detallado no está estrictamente determinado, pero dado un gran número de eventos, la ecuación de Schrodinger predice la distribución de los resultados. Las energías cinética y potencial se transforman en el hamiltoniano que actúa sobre la función de onda, para generar la evolución de la función de onda en el tiempo y el espacio. La ecuación de Schrödinger da las energías cuantizadas del sistema, y da la forma de la función de onda, de manera que pueden ser calculadas otras propiedades.

2.

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

Para resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional:

normalmente se utiliza el método de separación de variables que consiste en buscar soluciones particulares Ψ(x,t) que sean producto de funciones que dependan de una sola variable: Ψ(x, t) = ψ(x) ⋅ ϕ(t) y así poder pasar de una ecuación diferencial parcial a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. 3.

LA PARTICULA LIBRE

Una partícula libre es aquella que no está sujeta a ninguna fuerza o barrera de potencial1y es libre para moverse en un espacio sin límites. Una partícula libre debe llevar, desde un punto de vista clásico, un movimiento rectilíneo; movimiento que haremos coincidir con el eje x. Así, la ecuación de Schrödinger para la partícula libre será

Fig. 1 concepto de la ecuacion de Schrödinger

El fenómeno de la partícula en un pozo de potencial rectangular suele ser utilizada exitosamente para dar una descripción confiable de una serie de sistemas entre los cuales tenemos electrones en un metal, los nucleones en un núcleo. Este mecanismo es abarcable desde diferentes dimensiones como lo son la primera y la tercera dimensión (unidimensional y tridimensional respectivamente) para entender la descripción que presenta una particular en alguna de estas dimensiones es necesario desarrollar la ecuación de Schrödinger. (véase ref. 4 )

Si hacemos

la ecuación queda en la forma

1

Fundamentos de química inorgánica (2015)

La solución general de la ecuación diferencial es

o equivalentemente Fig 2. Ondas estacionarias a diferentes longitudes

donde C y D son constantes distintas de A y B, respectivamente.

4. LA

PARTICULA EN MONODIMENSIONAL

UNA

CAJA

Supóngase que el potencial U(x) en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es cero, en el interior de una caja unidimensional de longitud L, e infinito fuera de la caja. Para una partícula en el interior de la caja, es apropiada una función de onda partícula libre, pero como la probabilidad de encontrar la partícula fuera de la caja es cero, la función de onda debe ir a cero en las paredes. Esto limita la forma de la solución a

mecanocuánticos importantes sin que corramos el peligro de perdernos en detalles matemáticamente engorrosos. Puede afirmarse que ningún otro sistema mecanocuántico es capaz de dar tanta información con tan poca manipulación matemática.

la cual requiere

y despues de la normalización, la función de onda es

En la imagen observar con

fases

Si la partícula del apartado anterior es obligada a permanecer en una región finita del espacio definida por 0 ≤ x ≤ a (donde a es una longitud finita), entonces el sistema es conocido como “partícula en la caja”. Este sistema sirve como modelo simple de algunos sistemas reales de interés físico: movimiento de traslación de moléculas de gases ideales, electrones en la banda de conducción de los metales y electrones π en hidrocarburos conjugados y moléculas relacionadas. Puesto que el modelo de la partícula en la caja es matemáticamente simple, puede ser utilizado para la comprensión de conceptos

siguiente se puede el suceso ondas a diferentes longitudes y

La ecuación de Schödinger para la partícula en la caja es la misma que para la partícula libre si asumimos que el potencial dentro de la caja ( 0 ≤ x ≤ a ) es el mismo en cualquier punto (es decir, V = cte). Así,

(Normalmente tomaremos V = 0 dentro de la caja, pero si no fuera así, no es ningún problema ya que siempre podemos hacer E = E −V ' ). Para asegurarnos de que la partícula permanece confinada dentro de la caja, supondremos un potencial infinito fuera de ella (es decir V = ∞ si x < 0 o x > a ). Esto nos permite escribir las siguientes condiciones de contorno: 1. ψ (x) = para x < 0 o x > a

estacionarias

2. ψ (0) = 0 3. ψ (a) = 0 2

Fundamentos de química inorgánica (2015) Las condiciones 2 y 3 aseguran que la función de onda es continua en el intervalo − ∞ a + ∞ . Si tomamos la ecuación (3.4), ψ = Acoskx + Bsenkx , como solución de la ecuación de Schrödinger, ecuación (3.8), el cumplimiento de la condición de contorno 2 (ψ (0) = 0 ) obliga a que la constante A de la función de onda sea cero. Así, la función de onda queda reducida a

Llevando el valor obtenido de B a la ecuación tendremos

ψ = Bsenkx Por otra parte, el cumplimiento de la condición de contorno 3 exige que el argumento ka sea un múltiplo de π radianes . Esta condición puede escribirse como

ka = nπ n = 1, 2, 3, …

Los números enteros n = 1, 2, 3, … son los números cuánticos de la partícula en la caja, análogos a los números cuánticos que aparecen en el átomo de Borh; con la diferencia de que aquí tales números cuánticos no deben postularse a priori, sino que surgen de forma natural como consecuencia de las condiciones de contorno. En la

vemos que la constante k está cuantizada:

k

las

nπ n=0,1,2,3 … a

Elevando al cuadrado y sustituyendo 2 k por el valor dado en la ecuación tendremos

Si en la expresión anterior tomamos V = 0, sustituimos h por h / 2π y despejamos E, obtenemos finalmente,

donde vemos claramente que, como consecuencia de la condición de contorno 3, la energía de la partícula en la caja está cuantizada (al igual que la constante k). De las ecuaciones las soluciones de la ecuación de Schrödinger de la partícula en la caja, que cumplan las condiciones de contorno requeridas, son funciones del tipo:

(ψ1, para 3,

figura 3 se muestran tres primeras funciones ψ 2 y ψ 3, n = 1, 2 y

respectivamente) y sus respectivos cuadrados (densidades de probabilidad). Nótese que tanto ψ n como 2 ψ n tienen n-1 nodos (valores de x donde tanto la función como su cuadrado se anulan). Evidentemente, los extremos x = 0 y x = a no se consideran nodos. Para n = 1 la partícula tiene un solo máximo de densidad de probabilidad justo en el medio de la caja (en x = a/2). Para n = 2, la partícula tiene dos máximos de densidad de probabilidad, en x = a/4 y en x = 3a/4. Para n = 3, la partícula tiene tres máximos de densidad de probabilidad, en x = a/6, en x = 3a/6 y x = 5a/6.

donde la constante B puede obtenerse normalizando la función. Así, 3

Fundamentos de química inorgánica (2015) El estudio de esta parte de la ciencia, tiene gran relación con otros campos científicos como son la física molecular y atómica, fisicoquímica, etc., esto ha hecho que las aportaciones a este campo hayan llegado tanto de químicos, Fig 3. Funcion de la onda y las probabilidades en la caja

como físicos. La mecánica cuántica nos ha permitido explicar

La ecuación, para la energía de la partícula en la caja, muestra que los niveles de energía permitidos son inversamente proporcionales al cuadrado de la longitud de la caja. Por tanto, a medida que a se hace más grande las energías se hacen más pequeñas (para un mismo valor de n).

en "forma atómica" fenómenos que a primera vista no parecería admitir tal tipo de explicación En la vida cotidiana la presencia del conocimiento cuántico es cada día mayor aunque todavía encubierta. Schrödinger concebía originalmente los electrones como ondas de materia, esto soluciono algunos

problemas

relacionados con el modelo de las partículas. La ecuación se interpretaba como la ecuación ondulatoria que describía la evolución en el tiempo y el espacio de Schrödinger arroja como resultado funciones de onda, relacionadas con la probabilidad de que se dé un determinado suceso físico, tal como puede ser una posición específica de un electrón en su Fig 4. Niveles de energia de la onda en la caja

órbita alrededor del núcleo. dicha onda material.

5. CONCLUSIONES. Observamos que la incertidumbre cuántica resulta ser siempre menor que la clásica, aunque aquella tienda a esta en los límites de los fenómenos macroscópicos (para n muy grande), para los cuales la aproximación que nos proporciona la teoría clásica es válida. La explicación de este hecho tenemos que buscarla en las dos diferentes funciones de probabilidad que hemos empleado para obtener las incertidumbres. La función o distribución de probabilidad cuántica presenta una anchura o desviación respecto al valor medio, inferior a la de la distribución de probabilidad clásica.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 1.

UNIVERSITAT JAUME I (PDF-INTERNET) Se puede encontrar en: http://www3.uji.es/~rajadell/index_files/IA23/tema3. pdf.

2.

M OLMO R NA VE. LA ECUACION DE SCHRODINGER.(INTERNET). Hyperphysics Se puede encontrar en: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/quantum/schr.html

3.

Cruz D; Chamizo J; Garritz A. estructura atómica. Un enfoque químico. Addison-Wesley: 1991 cap. 6 pag. 425-469

4.

B.G. Levich. Fisica teorica mecánica cuántica. Vol 3. Editorial reverte,s.a P.673

Corroborar que la función de la onda de la partícula en la caja tiene una forma simple, en cuanto n crece, el número de nodos de la función tambien crece, de ello podemos inferir que cuanto mayor sea la energía cinética de una partícula, mayor será el número de nodos de la función de la onda correspondiente.

4

Fundamentos de química inorgánica (2015)

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