PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA DALAM EKONOMI Anggota Kelompok 2 PDF

Preview

Summary

PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA DALAM EKONOMI Anggota Kelompok 2: Tifany Anggraeni Putri Solihat 1810631050211 Naffa Ishma Aulia Zulkifli 1810631050195 Neng Sri Fadillah 1810631050026 Nurul Wahidah 1810631050005 Muhammad Haris Nugroho 1810631050150 Kelas : 4A Pendidikan matematika Mat...

Description

PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA DALAM EKONOMI Anggota Kelompok 2: Tifany Anggraeni Putri Solihat 1810631050211 Naffa Ishma Aulia Zulkifli 1810631050195 Neng Sri Fadillah 1810631050026 Nurul Wahidah 1810631050005 Muhammad Haris Nugroho 1810631050150 Kelas Mata kuliah Dosen pengampu Pertemuan I.

: 4A Pendidikan matematika : Matematika Ekonomi : Kiki Nia Sania Effendi, M. Pd. : ke-9 s.d ke-12

FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA 1. Fungsi Eksponen Untuk mempelajari fungsi eksponensial, pertama kita harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan bentuk eksponensial ax dengan x adalah sebarang bilangan real. Dalam pembahasan ini kita sudah tahu definisi ax untuk a > 0 dan x adalah bilangan rasional, yaitu

Akan tetapi bagaimana jika x adalah bilangan irasional? Berapakah nilai dari 5√3 atau 2π? Untuk mendefinisikan ax ketika x adalah bilangan irasional, kita dekati x dengan menggunakan bilangan rasional. Misalkan, karena merupakan bilangan irasional, kita dapat mendekati a√3 dengan barisan pangkat bilangan rasional berikut:

Secara intuitif, kita dapat melihat bahwa pangkat rasional dari a akan mendekat dan terus mendekat ke a√3. Dapat ditunjukkan dengan menggunakan matematika lanjut bahwa terdapat tepat satu bilangan yang didekati oleh barisan tersebut. Kita definisikan a√3 sebagai bilangan ini. Misalkan, dengan menggunakan kalkulator, kita dapat menghitung

Semakin banyak desimal yang kita gunakan untuk menentukan √3 dalam perhitungan, maka kita akan mendapatkan pendekatan yang semakin baik.

a. Definisi Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial f dengan basis a dinotasikan dengan

di mana a > 0, a ≠ 1, dan x merupakan sebarang bilangan real.Kita menganggap bahwa a ≠ 1 karena fungsi f(x) = 1x = 1 merupakan fungsi konstan. Berikut ini beberapa contoh fungsi eksponensial:











Pertama: am.an = nm + n (apabila dikali maka pangkatnya harus ditambah) Contoh: 52 . 53 = 52 + 3 = 55 Kedua: am : an = am – n (apabila dibagi maka sebaliknya pangkatnya harus dikurang) Contoh: 55 : 53 = 55 – 3 = 52 Ketiga: ( am )n = am x n (apabila di dalam kurung maka pangkatnya harus dikalikan) Contoh: (52)3 = 52 x 3 = 56 Keempat: (a . b)m = am . bm Contoh: (3 . 6)2 = 32 . 62 Kelima: Sifat yang ke lima ini, syaratnya “b” atau penyebutnya tidak boleh sama dengan nol (0).

Contoh:



Ke enam: Pada sifat yang ke enam ini, apabila (an) dibawah itu bilangan positif, maka saat dipindahkan ke atas berubah menjadi negatif. Begitupun juga sebaliknya, apabila (an) dibawah itu adalah negatif, maka saat dipindahkan ke atas otomatis berubah menjadi positif. Mari kita lihat rumus dan contohnya berikut:



Ke tujuh: Pada sifat yang ketujuh ini, kita bisa melihat bahwa terdapat akar n dari am. Apabila ketika disederhanakan, maka akar n akan menjadi penyebut dan akar m menjadi pembilang. Dengan syarat n harus lebih besar sama dengan 2. Contoh rumusnya:



Ke delapan: Bilangan eksponen nol seperti a = 1. Contoh: 2=1 6=1 9=1 Syaratnya a tidak boleh sama dengan nol. Ke Delapan sifat eksponen diatas harus kita pahami dan hafalkan, karena sifat-sifat eksponen tersebut adalah kunci untuk kita bisa mengerjakan soal-soal eksponen.

Contoh Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial 1. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai masing-masing fungsi berikut pada x yang diberikan. f(x) = 2x pada x = –3,1 f(x) = 2–x pada x = π f(x) = 0,6x pada x = 3/2. Pembahasan f(–3,1) = 2–3,1 ≈ 0,1166291 f(π) = 2–π ≈ 0,1133147 f(3/2) = (0,6)3/2 = 0,4647580 Ketika menghitung nilai fungsi eksponensial dengan menggunakan kalkulator, selalu ingat untuk menutup eksponen yang berbentuk pecahan dalam tanda kurung. Hal ini dikarenakan kalkulator mengikuti urutan operasi, dan tanda kurung sangat penting untuk mendapatkan hasil yang benar. 2.

Fungsi Logaritma Logaritma dapat diartikan sebagi pangkat dari suatu bilangan pokok untuk mengahasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 52 = 25, ini berarti bahwa eksponen 2 sebagi logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5. Dan pernyataan ini ditulis 𝑙𝑜𝑔 5 25 = 2

Jadi, secara umum logaritma dapat kita nyatakan sebagai, Y = 𝑙𝑜𝑔 6 X

Persamaan menunjukkan bahwa Y adalah sama dengan logaritma dari X dengan bilangan pokok b, atau X = 𝑏 𝑌 .

Bilangan pokok dari suatu logaritma dapat berupa bilangan positif, kecuali 1 akan tetapi, bilangan pokok yang lazim digunakan adalah bilangan pokok 10 dan bilangan pokok e. logariitma yang menggunakan bilangan pokok 10 disebut logaritma biasa (common logarithms), dan dilambangkan dengan log. Misalnya, 𝑙𝑜𝑔 10 100 = 2, karena 102 = 100, 𝑙𝑜𝑔 10 100 = 3, karena 103 = 1000, dan sebaginya,

Logaritma yang menggunakan bilangan pokok e = 2,71828…disebut sebagai logaritma alami ( natural logarithms) dan dilambangkan dengan 𝑙𝑜𝑔 𝑒 atau ln. Misalnya, 𝑙𝑜𝑔 𝑒 𝑒 2 = ln 𝑒 2 = 2, log 𝑒 3 = ln 𝑒 3 = 3, dan sebagainya.

1. Aturan – aturan Logaritma mempunyai aturan – aturan seperti halnya dengan aturan – aturan eksponen.Berikut ini aturan – aturan dari logaritma dengan menganggap X dan Y adalah bilangan positif dan b adalah basis ( b > 0 dan b ≠ 1)

1) Aturan : logaritma hasil kali

𝑙𝑜𝑔 𝑏 (XY) = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 X + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 Y Contoh :

log 10000 = log (10 × 1000) = log 10 + log 1000 = 1 + 3 = 4

2) Aturan : logaritma hasil bagi 𝑙𝑜𝑔 𝑏

𝑋 𝑌

= 𝑙𝑜𝑔 𝑏 X - 𝑙𝑜𝑔 𝑏 Y

Contoh :

log = log 10000 - log 10 = 3 – 1 = 2 3) Aturan : logaritma pangkat dari suatu variabel 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑋 𝑛 = n log X

Contoh :

log 𝑋 6 = 6 log X

4) Aturan : perubahan bilangan pokok logaritma 𝑙𝑜𝑔 𝑏 X = (𝑙𝑜𝑔 𝑏 c) (𝑙𝑜𝑔 𝑐 X )

Contoh :

𝑙𝑜𝑔 2 8 = (𝑙𝑜𝑔 2 3) (𝑙𝑜𝑔 3 8 )

5) Aturan : logaritma bilangan pokok logaritma 𝑙𝑜𝑔 𝑏 X =

1

𝑙𝑜𝑔 𝑥 b

atau

𝑙𝑜𝑔 𝑏 e =

1

𝑙𝑜𝑔 𝑒 b

=

1

𝑙𝑛 b

Contoh : 𝑙𝑜𝑔 3 81 =

1

𝑙𝑜𝑔 81 3

=

1

0,25

=4

Jika suatu variabel dinyatakan sebagi fungsi logaritma dari variabel lain, maka fungsi ini disebut sebagai fungsi logaritma. Bentuk umum dari fungsi adalah sebagai berikut.

Y= = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 X dan Y = ln X

2. Sifat – Sifat Fungsi Logaritma sifat-sifat dari fungsi logaritma adalah sebagai berikut 1) Logaritma dari bilangan satu ( X = 1) adalah nol bilangan pokokapa pun 2) Logaritma dari bilangan yang lebih besar satu ( X > 1) adalah positif 3) Logaritma dari bilangan yang lebih kecil satu dan lebih besar nol (0 < X < 1) ada bilangan negative 4) Logaritma dari bilangan no; atau negatif adalah tidak terdapat bilangan nyata. 5) Bentuk fungsi logaritma sederhana: 𝒚 = 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒙 untuk 0 < n < 1 - Kurva bergerak menurun dari kiri ke kanan - Asimtotik terhadap sumbu-y - Memotong sumbu-x pada (1,0)

6) Bentuk fungsi logaritma sederhana: 𝒚 = 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒙 untuk n > 1 - Kurva bergerak menaik dari kiri ke kanan - Asimtotik terhadap sumbu-y - Memotong sumbu-x pada (0,1) Kurva Logaritma 𝒚 = 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒙

Bentuk fungsi logaritma umum: 𝒚 = 𝒂 𝐥( 𝟏 + 𝒙 ) + 𝒃 dengan x > -1 - Asimtotik terhadap garis x = -1 Untuk nilai-nilai a dan b tertentu, kurva dari fungsi logaritma ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini: Kurva logaritma 𝒚 = 𝒂 𝐥( 𝟏 + 𝒙 ) + 𝒃

3. Menggunakan Logaritma untuk Memecahkan Masalah. Persamaan fungsi logaritma dan aturan – aturan logaritma dapat digunakan untuk memecahkan maslah atau memperoleh suatu nilai dari variabel tertentu (katakanlah variabel X) yang belum diketahui dari persamaan fungsi eksponensial yang mempunyai bilangan pokok b atau e. Contoh : Jika diketahui persamaan fungsi eksponen 50 = 10𝑥 , carilah nilai X?

Penyelesaian:

Ruas kiri dan kanan pada persamaan 50 = 10𝑥 di log-kan, hasilnya adalah

log 50 = log 10𝑥 ⇒ log 50 = X log 10 X = log 50 = 1

II.

PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA DALAM EKONOMI Pertumbuhan tidak terbatas artinya, bila domain dari variable bebas meningkat terus, jangkaun dari variaebel terkait akan terus meningkat tanpa batas. Sebagai contoh bunga majemuk, pertumbuhan penduduk, dan lainnya.

1. Bunga majemuk Nilai uang yang ditabung disebuah bank. Misalnya, akan meningkatnya jumlah seiring bertanbahnya waktu. Hal ini sangat beralasan karena sipenabung akan mendapat balas jasa dari pihak bank berupa pebayaran bunga terhadap jumlah uang yang ditabungnya. Selain itu, jumlah uang yang ditabung nilainya akan bertambah apabila waktu yang ditabung semakin lama. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa salah satu variabel yang mempengaruhi jumlah uang adalah variabel waktu. Dengan demikian, secara matematis dapat dikatakan bahwa nilai uang adalah fungsi dari waktu, atau dapat ditulis sebagai berikut. 𝐹 = 𝑔(𝑛) Dimana:

F= jumlah uang dimasa dating n= jumlah periode waktu

untuk menjelaskan pertumbuhan uang atau yang lebih dikenal dengan sebutan bunga majemuk, dapat dimisalkan bahwa modal awal adalah Rp 1 pada tahun pertama dibunga majemukkan sebesar 100% pertahun, maka nilai pada akhr tahun akan menjadi Rp 2, yaitu: 𝐹(1) = 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑎𝑤𝑎𝑙 + (𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑎𝑤𝑎𝑙 × 100%) 𝐹(1) = 𝑅𝑝 1 + (𝑅𝑝 1 × 100%) 1

𝐹(1) = 1(1 + 100%) = (1 + )1 = 2 1

Tetapi, bila bunga majemuk dibayarkan untuk setengah tahun berarti pembayaran bunganya hanya 50% dari modal awal, yaitu (1 × 50%) dan nilai di akhir pertengahan tahun adalah (1 + 0,5) = 1,5. Kemudian, setengah tahun berikutnya akan dibayarkan bunga lagi, yaitu

(1,5 x 50%), sehingga nilai diakhir tahun adalah [1,5 + (1,5 + 50%)] atau

1 𝐹(2) = 1,5(1,5 + 50%) = (1,5 + 0,5)(1 + 0,5) = (1 + 0,5)2 + (1 + )2 2

Dengan cara serupa, jika bunnga majemuk dibayarkan 3kali dalam satuu tahun nilai pada 1 3

akhir tahunnya adalah (1 + ) . Jika bunga majemuk dibayarkan 4 kali dalam satu tahun nilai 3

1 4

akkhir pada tahunnya adalah (1 + ) , dan seterusnya. Dengan demikian, persamaan umumnya 4

dapat ditulis sebagai berikut. 1 𝑚

𝐹(𝑚)=(1 + ) 𝑚

Dimana m adalah frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun. Jadi, bila m dibayarkan secara kontinu sepanjang waktu atau m menjadi tak terhingga (∞). Maka nilai diakhir tahun pertama akan menjadi sama dengan bilan e = 2,71828. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bila nilai Rp 1 dibunga majemukan dengan bunga nominal 100% dan selama satu tahun secara kontinu akan menghasilkan nilai Rp 2,71828. Selanutnya, misalkan modal awal bukan Rp 1 melainkan nilai lain,katakanlah 𝑅𝑝 𝑃𝑜 bunga

nominal bukan 100% , katakanlah i% dan pembayaran bunga majemuk dibayarkan lebih dari satu tahun,maka nilai dimasa dating dari bunga majemuk akan berubah menjadi, 1 𝑚.𝑛

𝐹(𝑚)= 𝑝 (1 + ) 𝑚

Persamaan ini bila diubah ke dalam bentuk basis e akan menjadi 𝑖

𝑚 𝑖

𝑖𝑛

𝐹(𝑚)= 𝑝 [(1 + ) ] 𝑚

Jika dimisalkan m dan disubsitusikan pada persamaan diatas , maka dapat dituliskan menjadi 𝑖𝑛 1 𝑥

𝐹(𝑚)= 𝑝 [(1 + ) ] 𝑥

1 𝑥

Ingat kembali pada persamaan bahawa (1 + ) = 𝑒, maka nilai masa datang dari modal awal 𝑥

𝑅𝑝 𝑃𝑜 dan dibunga majemukkan i% selama n tahun secara kontinu adalah

𝐹 = 𝑃𝑜 𝑒 𝑖𝑛

Dimana

𝐹 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑃𝑜 = 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑎𝑤𝑎𝑙

𝑒 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 2,71828

𝑖 = 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛(%)

𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Akan tetapi, nilai dimasa datang yang dibunga majemukan secara diskrit nilainya akan

berbeda. Nilainya akan menjadi 𝑃𝑂 + (𝑃𝑜 𝑋𝑖) = 𝑃𝑜 (1 + 𝑖) pada akhir tahun pertama, 𝑃𝑜 (1 + 𝑖)2

pada akhir tahun ke 2, 𝑃𝑜 (1 + 𝑖)3 pada akhir tahun ke tiga dan seterusnya. Dengan demikian, secara umum rumus dari nilai masa datang yang dibunga majemukkan secara diskrit dapat ditulis menjadi. 𝐹 = 𝑃𝑜 (1 + 𝑖)𝑛

Dimana

𝐹 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑃𝑜 = 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑎𝑤𝑎𝑙

𝑖 = 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛(%) 𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Perbedaan antara bunga majemuk yang dibayarkan secara kontinu dan diskrit terletak pada basis atau bilangan pokok dari fungsi eksponen, yaitu untuk kontinu dan untuk diskrit.

Contoh 1. Ibu salma ingin membuka took kecil-kecilan, tetapi dia tidak memiliki modal sehingga harus meminjam uang di bank BNI sebesar 10 juta dalam jangka waktu 3 tahun. Jika bunga 10% per tahun diperhitungkan secara harian (dalam bisnis 1 tahun = 360 hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh ibu salma pada saat hutangnya jatuh tempo?

Penyelesaian: 1 𝑚.𝑛

1. Dengan rumus majemuk biasa: 𝐹(𝑛)= 𝑝 (1 + ) a. Tanpa menggunakan logaritma: 𝐹(3) = 10.000.000 + (1 +

0,10 360 × 3 ) 360

0,1 1080 𝐹3 = 10.000.000 (1 + ) 360

𝐹3 = 10.000.000(1 + 0,000277)1080

𝑚

𝐹3 = 10.000.000(1,000277)1080

𝐹3 = 10.000.000(1,348) 𝐹3 = 13.480.000

b. Dengan menggunakan logaritma: 𝐹3 = 10.000.000(1,000277)1080

log 𝐹3 = log 10.000.000 + 1080 log 1,00027

log 𝐹3 = 7 + 0,126

log 𝐹3 =

2. Dengan rumus majemuk sinambung: 𝐹𝑛 ≈ 𝑃0 𝑒 𝑖𝑛

𝑎. Tanpa menggunakan logaritma 𝐹3 ≈ 10.000.000 × 𝑒 0,10 ×3

𝐹3 ≈ 10.000.000 × 𝑒 0,3

𝐹3 ≈ 10.000.000 × 1,34

𝐹3 ≈ 13.400.000

b. Dengan menggunakan logaritma 𝐹3 ≈ 10.000.000 × 𝑒 0,3

ln 𝐹3 ≈ ln 10.000.000 + 0,3 ln 𝑒 ln 𝐹3 ≈ 16,11 + 0,3

ln 𝐹3 ≈ 16,41

𝐹3 ≈ 𝑒 16,41

𝐹3 ≈13.400.000

2. Pertumbuhan penduduk Fungsi eksponen untuk pertumbuhan yang tidak terbatas dapat diterapkan juga pada pertumbuhan penduduk dari suatu wilayah. Untuk mengetahui pertumbuhan penduduk dari suatu wilayah dapat digunakan dengan dua model rumus pertumbuhan, yaitu model rumus pertumbuhan kontinu dan diskrit. Model rumus pertumbuhan penduduk yang kontinu adalah, 𝑃𝑡 = 𝑃1 𝑅 𝑡−1

𝑅 = 1+𝑟

Tak lain juga merupakan bentuk fungsi eksponensial, dengan Pt (jumlah penduduk) sebagai variabel terikat dan t (waktu) sebagai variabel bebas. Model semacam ini tidak saja relevan

bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dsapat diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain berkenaan dengan pertumbuhannya. Agar model diatas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel, sehingga jalan pikiran kita tidak semata – mata terpaku pada persoalan kependudukan, maka perlu dilakukan sedikit perubahan notasi menjadi: 𝑁𝑡 = 𝑁1 𝑅 𝑡−1

𝑅 = 1+𝑟

Model pertumbuhan penduduk ini dapat dipakai untuk variabel yang pergerakannya sama seperti pendapatan nasional, atau yang lebih sering dipublikasikan adalah PDB (Produk Domestik Bruto), dimana notasinya dari P diganti dengan N (bebas) Dimana: Nt = Jumlah total penduduk / jiwa pada periode t N1 = Jumlah penduduk / jiwa tahun ke 1 (tahun dasar) R = Tingkat pertumbuhan penduduk T = Indeks waktu / periode R = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu tertentu

Contoh 1. Penduduk disebuah kota setelah disensus berjumlah 600.000 0rang pada tahun 2015. Pertumbuhan penduduknya sebesar 2% per tahun. Berapa jumlah penduduk kota setelah 5 tahun kemudian? Jawab: Diketahui 𝑃1 = 600.00 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑟 = 2% = 00,2

Ditanyakan: jumlah penduduk kota setelah 5 tahun kemudian? (𝑃𝑡 )

Jumlah penduduk tahun 2015 s/d 2019 atau jumlah penduduk dari 5 tahun terakhir. maka diperoleh: 𝑃𝑡 = 𝑃1 𝑅 𝑡−1 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑅 = 1 + 𝑟 𝑃5 = 𝑃1 𝑅 5−1

𝑃5 = 60.000(1 + 00,2)4

𝑃5 = 60.000(1,02)4

𝑃5 = 60.000(1,08243)

𝑃5 = 64,945 penduduk kota

Jadi, jumlah penduduk pada tahun 2019 adalah 64,945 penduduk kota.

3. Pertumbuhan Rata-Rata

Pertumbuhan rata-rata ini digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata dan rata-rata geometri. a. Tingkat Pertumbuhan Rata-Rata Dalam bidang ekonomi dan bisnis jumlah nilai dari periode waktu awal (𝑃0 ) telah diketahui dan seiring berjalannya waktu nilai dan periode waktu akhir (𝑃𝑛 ) dapat diketahui juga. Sekarang kita ingin mengetahui berapa jumlah tingkat pertumbuhan rata-rata sepanjang periode waktu tersebut? Untuk memperoleh tingkat pertumbuhan rata-rata ini rumusnya adalah, 𝑛

𝑖= √

Keterangan : 𝑖 = Tingkat pertumbuhan rata-rata 𝑃0 = Jumlah nilai periode waktu awal 𝑃𝑛 = Jumlah nilai periode waktu terakhir

𝑃𝑛 −1 𝑃0

Rumus tingkat pertumbuhan rata-rata ini sebenarnya berasal dari rumus pertumbuhan diskrit yaitu 𝑃𝑛 = 𝑃0 (1 + 𝑖)𝑛 Untuk pembuktian rumus pertumbuhan diskrit sebagai berikut 𝑃 𝑃𝑛 = 𝑃0 (1 + 𝑖)𝑛 atau 𝑛 = (1 + 𝑖)𝑛 𝑃0

1

Jika kedua ruas kiri dan kanan dipangkatkan dengan ( ), hasilnya adalah 𝑛 𝑃

1 𝑛

𝑃

1 𝑛

𝑛

𝑃

[ 𝑃𝑛] = (1 + 𝑖) atau 𝑖 = [ 𝑃𝑛] − 1 atau 𝑖 = √ 𝑃𝑛 − 1 0

0

0

(terbukti)

Cosol : Misalkan jumlah wisatawan mancanegara yang berkunjung di sebuah provinsi di Indonesia berjumlah 20.220 orang pada tahun 2010 dan pada tahun 2016 jumlah wisatawan meningkat menjadi sebanyak 40.624 orang. Berapakah tingkat pertumbuhan rata-rata wisatawan mancanegara di provinsi tersebut selama 6 tahun? Penyelesaian Diketahui

: : 𝑃10 = 20.220 𝑃16 = 40.624 𝑛=6

Ditanyakan : Pertumbuhan rata-rata ? Dijawab : Menggunakan rumus pertumbuhan rata-rata, hasilnya adalah 𝑛

𝑖= √

𝑃𝑛 −1 𝑃0

6 𝑃16 −1 𝑖= √ 𝑃10

6 40.624 −1 𝑖= √ 20.220 6

b.

𝑖 = √2,009 − 1 𝑖 = 1,123302 − 1 𝑖 = 0,123302 atau 1,12% ∴ Jadi, tingkat pertumbuhan rata-rata per tahun penduduk kota ini adalah sebesar 1,12% Rata-Rata Geometri Apabila terdapat sekelompok angka atau data yang berbentuk angka persentase (% kenaikan atau %penurunan), maka untuk menghitung angka rata-ratanya harus menggunakan rumus rata-rata geometrik (geometric mean = GM) dan bukannya rata-rata aritmatika (aritmethic mean). Rata-rata geometrik dari sekelompok angka perubahan persentase dapat didefinisikan sebagai akar n dari hasil perkalian angka-angka nilai-nilai n. Rumusnya menjadi ; 𝑛 𝐺𝑀 = √(𝑋1 ), (𝑋2 ) … (𝑋𝑛 ) 𝑎𝑡𝑎𝑢 1

𝐺𝑀 = [(𝑋1 ), (𝑋2 ) … (𝑋𝑛 )]𝑛

Cosol : Misalkan tingkat pertumbuhan laba sebuah perusahaan selama 5 tahun terakhir adalah seperti berikut ini : 9%;40%;30%;15%,dan -10%. Berapakah tingkat pertumbuhan rata-rata laba perusahaan tersebut ? Penyelesaian : Diketahui : Tahun 2010 2011 2012 2013 2014 Tingkat 9% 40% 30% 15% -10% Pertumbuhan Laba Ditanyakan : Tingkat pertumbuhan rata-rata laba perusahaan? Dijawab : Sebelum angka-angka persentase laba ini dimasukkan ke dalam rumus rata-rata geometri harus ditambahkan dengan angka 1, karena angka 1 ini merupakan dasar dari angka pertumbuhan. Juga perlu diperhatikan jumlah angka/data pertumbuhan (dalam hal ini n=5)

9% =

9

= 0,09 + 1 = 1,09

100 40

40% = 100 = 0,4 + 1 = 1,4

30% = 15% =

30

100 15 100

-10% = −

= 0,3 + 1 = 1,3

= 0,15 + 1 = 1,15

10

100

= −0,1 + 1 = 0,9

Rumus rata-rata geometrik adalah : 5 𝐺𝑀 = √(1,09)(1,4)(1,3)(1,15)(0,9) 5

𝐺𝑀 = √2,053233

1

𝐺𝑀 = (2,053233)5 𝐺𝑀 = 1,154749 Jadi, tingkat pertumbuhan laba rata-rata adalah 1,154749 − 1 = 0,154749 × 100 = 15,47% Jika kita menggunakan rumus rata-rata hitung (aritmethic mean) hasilnya adalah 9% + 40% + 30% + 15% − 10% 84% 𝑋̅ = = = 16,8% 5 5 ∴ Jadi, hasil rata-rata geometrik 15,47% dan rata-rata hitung 16,8%. Hasil ini agak berbeda dan biasanya hasil dari rata-rata geometrik lebih kecil daripada rata-rata hitung. 3. Kurva Gompertz Kurva yang ditemukan oleh Gompertz ini semula digunakan secara meluas oleh para psikolog, untuk mengamb...