Persamaan Diferensial Biasa, Mtode Satu Langkah dan Metode Eular PDF

Preview

Summary

Download Persamaan Diferensial Biasa, Mtode Satu Langkah dan Metode Eular PDF

Description

LABORATORIUM TEKNIK KIMIA

Nama

FAKULTAS TEKNIK UPN “VETERAN” JAWA TIMUR Praktikum Percobaan

: MATEMATIKA TEKNIK : PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA, METODE SATU LANGKAH & METODE EULER Tanggal : 30 APRIL 2021 Pembimbing : IR. L URIP WIDODO, MT

Sesi Paralel

: ARDO KRISNANTO AYU KHANIFAH ANASTASYA ROSARI : A-1 :A

LAPORAN RESMI

SOAL : 1. Jelaskan dengan lengkap apa yang dimaksud dengan Persamaan Diferensial Biasa (berikan pengertian masing masing metode, Kelebihan, kekurangan, dan kegunaannya). 2. Jelaskan Macam macam metode satu langkah dan perbedaannya, dan contoh manual! 3. Terdapat dua reaktor mixed flow namun tidak dalam keadaan steady. Reaksi yang terjadi adalah A → B, dan terjadi dalam 2 reaktor. 𝑑𝐶𝐴1 1 = (𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴1 ) − 𝑘𝐶𝐴1 𝜏 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝐵1 1 = (𝐶𝐵1 ) − 𝑘𝐶𝐴1 𝜏 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝐴2 1 = (𝐶𝐴1 − 𝐶𝐴2 ) − 𝑘𝐶𝐴2 𝑑𝑡 𝜏 𝑑𝐶𝐵2 1 = (𝐶𝐵1 − 𝐶𝐵2 ) − 𝑘𝐶𝐴2 𝜏 𝑑𝑡 Keterangan: CA0 = konsentrasi masuk zat A pada reaktor pertama, 20 CA1 = konsentrasi zat A pada reaktor 1, dan masuk zat A pada reaktor 2 CA2 = konsentrasi keluar A pada reaktor 1 CB1 = konsentrasi zat B pada reaktor 2, dan masuk zat B ke reaktor 2 CB2 = konsentrasi keluar B pada reaktor 2 𝜏 = waktu tinggal, 5 menit k = konstanta kecepatan reaksi dari A untuk menghasilkan B, 0.12/menit Tentukan konsentrasi A dan B pada 10 menit pertama sampai dengan 40 menit selanjutnya. Asumsikan nilai awal dari variabel sama dengan nol. Gunakan metode Euler. Kerjakan di matlab dan pascal, sertakan dengan flowchart, algoritma, listing dan hasil run 4. Berikut ini adalah persamaan diferensial yang menggambarkan besar peregangan y (defleksi) dari sebuah balok yang diberi penyangga pada kedua sisi: 𝑑2𝑦 𝑇𝑦

𝑞𝑥(𝐿 − 𝑥) 2𝐸𝐼

Dengan, − = 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼 x = lokasi disepanjang balok (inchi) E = modulus Young / modulus elastisitas balok (pon/inchi2)

T = beban poros (pon) I = momen area kedua (inchi) q = intensitas tekanan secara seragam (pon/inchi) L = panjang balok (inchi) Kondisi batas yang diberikan adalah y(x=0) = 0. Diketahui pula T = 7200 pon, q = 5400 pond/inchi, L = 75 inchi, E = 30 pon/inchi dan I = 120 inchi. Kerjakan dengan menggunakan metode Euler x=625 dengan rentang x sebesar 25 (Algoritma, Flowchart, Listing Program, dan Hasil Run ). Sertakan pengerjaan manual !

JAWABAN : 1.

Jelaskan dengan lengkap apa yang dimaksud dengan Persamaan Diferensial Biasa (berikan pengertian masing masing metode, Kelebihan, kekurangan, dan kegunaannya). Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang hanya memuat satu

variabel bebas dan satu variabel terikat. Suatu persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika fungsi tak diketahui atau turunan-turunannya berpangkat satu. Suatu persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika fungsi tak diketahui atau turunanturunannya berpangkat satu. Metode yang dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa secara numerik, antara lain dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode satu-langkah (one-step) dan metode banyak-langkah (multi-step). i) Metode satu langkah yaitu metode yang membutuhkan satu nilai awal untuk mendapatkan nilai sekarang, dengan kata lain hanya dibutuhkan nilai yr untuk mendapatkan nilai yr+1. Metode satu langkah yaitu Euler, metode Heun, metode deret Taylor dan metode Runge Kutta. ➢ Kegunaan : Kekurangan metode ini adalah kurang teliti, serta nilai persen kesalahan tidak dihitung sehingga tidak diketahui seberapa besar kesalahan dalam perhitungannya. ➢ Kelebihan : Kelebihan metode ini adalah lebih singkat atau cepat dalam menghitung dan mencari nilai y. ➢ Kekurangan : kurang teliti dibandingkan dengan metode banyak langkah ii) Metode banyak langkah adalah metode yang membutuhkan dua atau lebih nilai sebelumnya untuk menda-patkan nilai sekarang, dengan kata lain dibutuhkan nilai y0, y1, ..., yr dengan r = 0, 1, 2, ..., n − 1 untuk menghitung nilai yr+1. Nilai-nilai awal tersebut diperoleh dari metode satu langkah. Metode banyak langkah disebut metode prediktor-korektor, karena dalam penyelesaiannya digunakan persamaan prediktor dan persamaan korektor. ➢ Kegunaan : dengan menggunakan informasi dari beberapa titik sebelumnya, yr , yr-1, yr-2 , ..., untuk menghitung taksiran nilai yr+1 yang lebih baik. ➢ Kelebihan : hasil yang diperoleh lebih teliti ➢ Kekurangan : perhitungan yang digunakan lebih rumit

2.

Jelaskan Macam macam metode satu langkah dan perbedaannya, dan contoh manual! Metode satu langkah ada 4, yaitu Euler, metode Heun, metode deret Taylor dan

metode Runge Kutta. i) Metoda Euler diturunkan dengan cara menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam deret Taylor. Selain dengan bantuan deret Taylor, metode Euler juga dapat diturunkan dengan cara yang berbeda. Sebagai contoh, misalkan kita menggunakan aturan segiempat untuk mengintegrasi-kan f(x,y) pada persamaan diferensial. Kelebihan : perhitungan lebih sederhana Kekurangan : Mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). ii) Metode Heun merupakan perbaikan dari metode Euler, karena galat yang dihasilkan oleh metode Euler cenderung besar sehingga untuk selanjutnya diperbaiki menggunakan metode Heun. Metode ini sering disebut dengan metode prediktor-korektor, disebut metode prediktor karena pada langkah awal untuk 𝑦𝑟+1 merupakan solusi awal dari metode Euler dan selanjutnya sebagai korektor ℎ

digunakan 𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 + (𝑓(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟 ) + 𝑓(x𝑟+1, 𝑦𝑟+1 )) 2 Kelebihan : Memiliki iterasi lebih banyak dibandingkan dengan metode Euler. Kekurangan : Perhitungan lebih rumit dari metode euler iii) Metode deret Taylor yaitu alat utama untuk menurunkan suatu metude numerik. Dengan deret taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak Dx dari titik xi. Deret taylor berguna untuk menghampiri fungsi ke dalam bentuk polinom. Kelebihan : fungsi yang rumit menjadi sederhana dengan deret taylor Kekurangan : memerlukan perhitungan turunan f(x,y) dan tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya. iv) Metode Runge Kutta adalah metode alternatif dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode Runge Kutta dibagi menjadi empat yakni metode Runge Kutta orde satu, metode Runge Kutta orde dua, metode Runge Kutta orde tiga dan metode Runge Kutta orde empat. Kelebihan : memiliki ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan metode metode Euler, metode Heun dan metode deret Taylor. Metode ini merupakan metode yang paling popuper karena banyak dipakai dalam praktek Kekurangan : Tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan f(x, y). Lagipula, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor,

semakin tinggi turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini,

metode deret Taylor yang berorde tinggi pun tidak dapat dapat diterima dalam masalah praktek.

➢ Contoh manual 1.

Metode euler

Selesaikan persamaan berikut menggunakan metode euler, dari x=0 sampai dengan x=3 dengan Δx=0,5 𝑑𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥 = −2𝑥 3 + 12𝑥 2 − 20𝑥 + 8,5 Penyelesaian : ➢ Penyelesaian eksak : y = -0,5𝑥 4 + 4𝑥 3 − 10𝑥 2 + 8,5𝑥 + 1 saat x=0, maka y(0)=1 ➢ Iterasi 1, dari x0=0 s.d. x1=x0+Δx=0,5 f(x0,y0) = -2(0)3 + 12(0)2 -20(0) + 8,5 = 8,5 y1 = y0 + f(x0,y0)Δx = 1 + 8,5(0,5) =5,25 Nilai y1 sesungguhnya dari penyelesaian eksak: y1 = -0,5(0,5)4 + 4(0,5)3 -10(0,5)2 + 8,5(0,5) +1 = 3,21875 3,21875−5,25

E1 = |

3,21875

| × 100% = 63%

➢ Iterasi 2, dari x1=0,5 s.d. x2=x1+Δx=1 f(x1,y1) = -2(0)3 + 12(0,5)2 -20(0,5) + 8,5 = 1,25 y2 = y1 + f(x1,y1)Δx = 5,25 + 1,25(0,5) = 5,875 Nilai y1 sesungguhnya dari penyelesaian eksak: y1 = -0,5(1)4 + 4(1)3 -10(1)2 + 8,5(1) +1 =3 3−5,875

E2 = |

3

| × 100% = 96%

➢ Perhitungan dilanjutkan sampai iterasi ke 6, sehingga diperoleh data hasil sebagai berikut: i

xi

yi (eksak)

yi (euler)

Ei

0

0

1

1

0

1

0,5

3,21875

5,25

63%

2

1

3

5,875

96%

3

1,5

2,21875

5,125

131%

4

2

2

4,5

125%

5

2,5

2,71875

4,75

75%

6

2.

3

4

5,875

47%

Metode Heun

Selesaikan persamaan berikut menggunakan metode heun, dari x=0 sampai dengan x=3 dengan Δx=1 dan y(0)=2 𝑑𝑦

𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 4𝑒 0,8𝑥 − 0,5𝑦 Penyelesaian : ➢ Penyelesaian eksak 4

y = 1,3 (𝑒 0,8𝑥 − 𝑒 −0,5𝑥 ) + 2𝑒 −0,5𝑥 saat x=0 maka y(0)=2 ➢ Iterasi 1, dari x0=0 s.d. x1=x0+Δx=1 y=

4

1,3

(𝑒 0,8(1) − 𝑒 −0,5(1)) + 2𝑒 −0,5(1) = 6,1946

f(x0,y0) = f(0,2) = 4(e0,8(0))-0,5(2) = 3 y1 = y0 + f(x0,y0)Δx = 2 + 3(1) = 5 f(x1,y1) = f(1,5) = 4(e0,8(1))-0,5(5) = 6,4022 𝑦 =

3+6,4022 2

= 4,7011

y1 = y0+𝑦(𝛥𝑥 ) = 2+𝑦(∆𝑥 ) = 2 + 4,7011(1) = 6,7011 6,1946−6,7011

E1 = |

6,1946

| × 100% = 8%

➢ Iterasi 2, dari x1=1 s.d. x2=x0+Δx=2 y=

4

1,3

(𝑒 0,8(2) − 𝑒 −0,5(2)) + 2𝑒 −0,5(2) = 14,8439

f(x1,y1) = f(1,6,7011) = 4(e0,8(1))-0,5(6,7011) = 5,5516 y2 = y1 + f(x1,y1)Δx = 6,7011 + 5,5516(1) = 12,2527 f(x2,y2) = f(2,12,2527) = 4(e0,8(2))-0,5(12,2527) = 13,6858 𝑦 =

5,5516+13,6858 2

= 9,6187

y2 = y1+𝑦(𝛥𝑥 ) = 6,7011+9,6187(1) = 16,3198 14,8439−16,3198

E2 = |

14,8439

| × 100% = 10%

➢ Iterasi 3, dari x2=2 s.d. x3=x0+Δx=3 y=

4

1,3

(𝑒 0,8(3) − 𝑒 −0,5(3)) + 2𝑒 −0,5(3) = 33,6772

f(x2,y2) = f(2,16,3198) = 4(e0,8(2))-0,5(16,3198) = 25,4931 y3 = y2 + f(x2,y2)Δx = 16,3198 + 27,9720(1) = 27,9720 f(x3,y3) = f(3,27,9720) = 4(e0,8(3))-0,5(27,9720) = 30,1067 𝑦 =

25,4931+30,1067 2

= 20,8795

y3 = y2+𝑦(𝛥𝑥 ) = 16,3198+20,8795(1) = 37,1992 33,6772−37,1992

E3 = |

33,6772

| × 100% = 10%

yi

f(xi,yi)

yi

f(xi,yi)

f(xi,yi)

yi

(eksak)

awal

(predicator)

akhir

rata-rata

(korektor)

0

2

3

-

-

-

2

-

1

1

6,1946

5,5516

5

6,4022

4,7011

6,7011

8%

2

2

14,8439

11,6522

12,2527

13,6858

9,6187

16,3198

10%

3

3

33,6772

25,4931

27,9720

30,1067

20,8795

37,1992

10%

i

xi

0

3.

Metode deret taylor

Selesaikan persamaan berikut ini dengan menggunakan metode deret taylor 𝑑𝑦 1 1 = 𝑥− 𝑦 2 𝑑𝑥 2 dengan y(0)=1, tentukan y(0,50) dan h=0,25 Penyelesaian : x0=0 → y0=1 y0=0,25 → y1= ? ℎ2

y(x1) = y(x0) + hy’(x0) +

2

y’’(x0) +

ℎ3

y’’’(x0) +…+ 6

ℎ(𝑛) 𝑛!

𝑦 (𝑛) 𝑥0 + ⋯

Misal kita hanya menghitung y(x1 ) sampai suku orde ke-4 saja. y'(x) = ½ x - ½ y y"(x) =

𝑑

1

1

( 𝑥 − 𝑦) 2

𝑑𝑥 2 1

1

= 2 + 𝑓(− 2) 1

1

1

= 2 − ( 2 𝑥 − 2 𝑦) 1

1

1

1

2

= 2− 4𝑥 + 𝑦 4 y’"(x) =

𝑑

1

1

1

( − 4 𝑥 + 4 𝑦)

𝑑𝑥 2 1

=−4+𝑓 1

1

4

1

1

= − 4 + ( 2 𝑥 − 2 𝑦) 1

𝑥

= −4 + 8 − y(4) (x) =

𝑑 1

𝑑𝑥

𝑦

8

1

1

( 4 + 8 𝑥 − 𝑦) 8

1

1

= + 𝑓( ) 8 8 1

𝑥

𝑦

= 8 − ( 2 − 2) 1

1

4

𝑥

= 8 − 16 + Diperoleh: y(x0) = y(0) = 1

𝑦

16

1

8

Ei

y (x0) = y (0) = ½ × 0 – ½ × 1 = -1/2 y’’(x0) = y’’(0) = ½ - ¼ × 0 + ¼ × 1 = ¾

y’’’(x0) = y’’’(0) = -1/4 + 1/8 × 0 – 1/8 × 1 = -3/8 y(4)(x0) = y(4)(0) = 1/8 – 1/16 × 0 + 1/16 × 1 = 3/16 Sehingga , y(x1 ) = 1 + 0.25 (-1/2) + ((0.25)2 /2) (3/4) + ((0.25)3 /6) (-3/8) + ((0.25)4 /24) (3/16) = 0.8974915 x2 = 0,50 → y2=? y(x2) = y(x1) + hy’(x0) +

ℎ2 2

y’’(x1) +

ℎ3 6

y’’’(x1) +…+

ℎ(𝑛) 𝑛!

𝑦 (𝑛) 𝑥1 =

Diperoleh: y(x1 ) = 0.8974915 y'(x1 ) = (1/2)(0,25) - (1/2)(0,8975) = -0.3237 y"(x1 ) = ½ - (¼) (0,25) + (1/4)(0,8975) = 0,6619 y"'(x1 ) = -1/4 + (1/8)(0,25) - (1/8)(0,8975) = -0,33096 y (4)(x1 ) = 1/8 - (1/16)(0,25) + (1/16)(0,8975) = 0,1654682 Sehingga, y2 = 0.8974915 + 0.25 (-0.3237458) + (0.252 /2)(0.6618729) + (0.253 /6)(0.3309634) + (0.254 /24)(0.1654682) = 0.8364037 Jadi, y(0.50) » 0.8364037

4.

Metode runge kutta

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini dengan metode runge kuta orde 4 𝑑𝑦 = −0,2𝑦 − 10 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = −0,4𝑥 − 0,2𝑧 − 5 𝑑𝑥

Kondisi batas: x=0 → y=3 & z=6 x=2 → y & z = ? dengan Δx=0,5 Penyelesaian : 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= −0,2𝑦 − 10 = f1

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= −0,4𝑥 − 0,2𝑧 − 5 = f2

Iterasi 1

➢ k1 =f1(x1, y1, z1) = (-0,2(3)-(0) = -10,6

L1 = f2(x1,y1,z1) = -0,4(0)-0,2(6)+5 = 3,8 ➢ k2 = f1(xi+ ½ Δx; yi+ ½ Δx ki; zi+ ½ Δx L1) = f1(0+ ½ (0,5); (3+ ½ (0,5)(-10,6)); (6+ ½ (0,5)(3,81) = f1(0,25; 0,35; 6,95) k2 = -0,2(0,35)-10 = -10,07 L2 = -0,4(0,25)-0,2(6,95)+5 = 3,51 ➢ k3 = f1(xi+ ½ Δx; yi+ ½ Δx k2; zi+ ½ Δx L2) = f1(0+ ½ (0,5); (3+ ½ (0,5)(-10,07)); (6+ ½ (0,5)(3,51) = f1(0,25; 0,482; 6,877) K3 = -0,2(0,482)-10 = -10,0965 L3 = -0,4(0,25)-0,2(6,877)+5 = 3,524 ➢ k4 = f1(xi+ Δx; yi+ ½Δx k3; zi+ Δx L3) = f1(0+ (0,5); (3+ (0,5)(-10,0965)); (6+ (0,5)(3,524) = f1(0,5; -2,04825; 7,762) K4 = -0,2(-2,04825)-10 = -9,59035 L4 = -0,4(0,5)-0,2(7,762)+5 = 3,24755 ➢ yi+1= yi + 1/6 (k1+2k2 +2k3 + k4)Δx = 3 + 1/6 (-10,6 + 2(-10,07) + 2(-10,0965) + (-9,59035))0,5 = -2,0436 ➢ zi+1= zi + 1/6 (L1+2L2 +2L3 + L4)Δx = 6 + 1/6 (3,8 + 2(3,51) + 2(3,5245) + (3,2455))0,5 = 7,7597 ➢ Perhitungan dlanjutkan hingga iterasi ke 4, didapatkan hasil perhitungan sebagai berikut:

x

y

z

k1

L1

k2

L2

0

3

6

-10,6

3,8

-10,07

3,51

0,5

-2,0436

7,7597

-9,5913

3,25805

-9,1117

2,9856

1

-6,6073

9,2568

-8,6785

2,7486

-8,2446

2,5112

1,5

-10,7366

10,5163

-7,8527

2,2967

-7,4600

2,0819

2

-14,473

11,5607

k3

L3

k4

L4

-10,0965

3,5245

-9,59035

3,24755

-9,1357

2,9988

-8,6777

2,7482

-8,2663

2,5201

-7,85719

2,2963

-7,4797

2,09625

-7,1047

1,8875

Jadi, pada saat x=2 maka y=-14,473 dan z=11,5607

3.

Terdapat dua reaktor mixed flow namun tidak dalam keadaan steady. Reaksi yang terjadi adalah A → B, dan terjadi dalam 2 reaktor. 𝑑𝐶𝐴1 1 = (𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴1 ) − 𝑘𝐶𝐴1 𝑑𝑡 𝜏 𝑑𝐶𝐵1 1 = (𝐶𝐵1 ) − 𝑘𝐶𝐴1 𝑑𝑡 𝜏 𝑑𝐶𝐴2 1 = (𝐶𝐴1 − 𝐶𝐴2 ) − 𝑘𝐶𝐴2 𝜏 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝐵2 1 = (𝐶𝐵1 − 𝐶𝐵2 ) − 𝑘𝐶𝐴2 𝑑𝑡 𝜏 Keterangan: CA0 = konsentrasi masuk zat A pada reaktor pertama, 20 CA1 = konsentrasi zat A pada reaktor 1, dan masuk zat A pada reaktor 2 CA2 = konsentrasi keluar A pada reaktor 1 CB1 = konsentrasi zat B pada reaktor 2, dan masuk zat B ke reaktor 2 CB2 = konsentrasi keluar B pada reaktor 2 𝜏 = waktu tinggal, 5 menit k = konstanta kecepatan reaksi dari A untuk menghasilkan B, 0.12/menit Tentukan konsentrasi A dan B pada 10 menit pertama sampai dengan 40 menit

selanjutnya. Asumsikan nilai awal dari variabel sama dengan nol. Gunakan metode Euler. Kerjakan di matlab dan pascal, sertakan dengan flowchart, algoritma, listing dan hasil

A. Algoritma a) Memulai program b) Memasukkan nilai untuk CAo, CA1, CA2, CB1, CB2, , k, waktu awal (batas atas) dan waktu akhir (batas bawah) serta interval waktu t dengan persamaan fca1=((1/)*(cao-ca1))-k*ca1 fca2=((1/)*(ca1-ca2))-k*ca2 fcb1=((1/)*cb1)+k*fca1 fcb2=((1/)*(cb1-cb2))+k*ca2 c) Melakukan proses perhitungan untuk menentukan nilai eksak, nilai numerik dan persen kesalahan − Perhitungan numerik : Memasukkan data yang telah dimasukkan ke persamaan − Perhitungan eksak : Memasukkan data yang telah diketahui ke persamaan eksak dari persamaan numerik

− Perhitungan persen kesalahan :

Persen error =

𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘−𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑘 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘

𝑥 100 %

d) Proses perhitungan diulang menggunakan perulangan While Do (a...