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Trabalho de NP2 apresentado para avaliação do professor Me. Antônio Benjamim Cavalcante Gondim para conclusão da disciplina de Álgebra Linear, na Universidade de Fortaleza, CE....

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FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA – UNIFOR CCT – CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA

POLINÔMIOS CARACTERÍSTICOS

ANDRE LUIZ DE SOUZA SILVA HEITOR NOVAIS DUTRA MATHEUS GONÇALVES BARBOSA MAIA

Fortaleza - Ceará 2014

UNIVERSIDADE DE FORTALEZA - UNIFOR

ANDRE LUIZ DE SOUZA SILVA HEITOR NOVAIS DUTRA MATHEUS GONÇALVES BARBOSA MAIA

POLINÔMIOS CARACTERÍSTICOS

Trabalho de NP2 apresentado para avaliação do

professor

Cavalcante

Me.

Gondim

Antônio para

Benjamim

conclusão

da

disciplina de Álgebra Linear, na Universidade de Fortaleza, CE.

Fortaleza – Ceará 2014

“Os números dominam o mundo.” Platão

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 5 2 DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO CARACTERÍSTICO ................................................. 6 2.1 CONCEITO ................................................................................................................. 6 2.2 ETAPAS DE CÁLCULO ................................................................................................ 7 2.2 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA, POLINÔMIO MINIMAL E MATRIZES SINGULARES ............... 8 3 PROPRIEDADES ......................................................................................................... 10 CONCLUSÃO .................................................................................................................... 13 REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 14

1

INTRODUÇÃO O presente trabalho visa introduzir à turma o conceito de polinômios característicos.

Em Álgebra linear, as quantidades são expressas em forma de matrizes ordenadas de números. Uma matriz com um número igual de linhas e colunas é denominada matriz quadrada. Cada matriz quadrada tem o seu próprio e particular polinômio característico, que baseia-se nos seus valores e respectivo posicionamento. As raízes do polinômio característico são conhecidas por “autovalores” ou “valores próprios” da matriz e podem ser usadas para construir o “autovetor” ou “vetor próprio” desta. Uma vez que o vetor próprio é definido, a matriz pode ser submetida a qualquer número de transformações e, todavia, conservar certas características. Os polinômios característicos são amplamente utilizados em todas as aplicações que envolvam vibrações: na aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia

química,

biologia,

equações

diferenciais

e

outros.

2 2.1

DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO CARACTERÍSTICO Conceito O conceito de polinômio característico está intrinsecamente ligado à determinação de

autovalores e autovetores. Sem prejuízo de generalização, consideraremos um operador linear ƒ ∶ Ɍ² → Ɍ² cuja matriz canônica é

𝑎11 𝐴 = [𝑎 21

𝑎12 𝑎22 ]

O fato de A ser a matriz canônica de ƒ permite escrever que ƒ(𝜐) = 𝐴𝜐

Se υ é um vetor próprio de ƒ e λ o autovalor correspondente, isto é ƒ(𝜐) = 𝜆𝜐,

então,

𝐴𝜐 = 𝜆𝜐

ou

𝐴𝜐 − 𝜆𝜐 = 0

Tendo em vista que 𝜐 = 𝐼𝜐, onde I é matriz identidade, pode-se escrever: 𝐴𝜐 − 𝜆𝐼𝜐 = 0

ou

(𝐴 – 𝜆𝐼)𝜐 = 0

Fazendo 𝜐 = (𝑥 , 𝑦), a equação (1) fica: 𝑎11 𝑎12 0 1 0 𝑥 ]} [ ] = [ ] ] − λ [ {[𝑎 𝑎22 0 1 𝑦 21 0 ou

𝑎 λ [ 11− 𝑎21

𝑥 𝑎12 0 ] [𝑦 ] = [ ] 𝑎22− λ 0

(1)

(2)

A igualdade (2) representa um sistema homogêneo de 2 equações lineares com duas variáveis (x e y). Se o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis for diferente de zero, a única solução do sistema é a trivial, isto é, x = y = 0. Como se deseja vetores υ ≠ 0, deve-se obrigatoriamente ter

𝑎 λ 𝑎12 | = 0 | 11− 𝑎21 𝑎22− λ

𝑜𝑢

det(𝐴 − 𝜆 𝐼) = 0 (3)

7

A equação (3) é denominada equação característica do operador ƒ ou da matriz A e

suas raízes são os autovalores do operador ƒ ou da matriz A. O det(𝐴 − 𝜆 𝐼 ), que é um

polinômio em λ, é denominado polinômio característico de ƒ ou de A.

Esta é a forma de equação algébrica de uma matriz quadrada . O polinômio característico fornece as raízes da matriz latente, e traçam um formato conciso de uma única variável. Apesar dos polinômios característicos identificarem equações, matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico. Exemplo: Seja

1 𝐴 = [1 4

O polinômio característico de A é

2 −1 0 1] −4 5

𝜆−1 −2 ƒ(𝜆) = det(𝜆𝐼3 − 𝐴) = | −1 𝜆−0 −4 4

2.2

1 −1 | = 𝜆³ − 6𝜆2 + 11𝜆 − 6. 𝜆−5

Etapas de cálculo 1.

Multiplique a matriz identidade por uma variável. Uma matriz de identidade é

uma matriz que tem "1"s ao longo de sua diagonal a partir do canto superior esquerdo até o canto inferior direito e "0"s em qualquer outro lugar. Uma das funções desta matriz de identidade é poder multiplicá-la com uma outra matriz e obter uma terceira matriz como resposta. Por exemplo, no caso das matrizes de 2x2, a primeira matriz tem os valores 1 e 2, nas suas linhas superiores, e 2 0 e, na sua linha de baixo. O produto da multiplicação de uma matriz de identidade por esta matriz irá resultar em ter os mesmos valores nas mesmas posições: 1 e 2 anda estarão na linha superior e 2 e 0 e estarão na fila inferior. Qualquer variável será suficiente uma vez que serve apenas para dar estrutura ao polinômio. 2.

Subtraia a matriz original da matriz identidade. Por exemplo, se x foi escolhido

para a variável, então a matriz identidade terá x e 0 na linha superior e 0 e x na linha inferior. Subtraindo-se a matriz exemplo de 1 e 2 na linha superior e 2 e 0 na linha inferior irá produzir os termos x-1 e -2 na linha superior e -2 e x na linha inferior. 3.

Encontre o determinante da nova matriz. Para uma matriz de 2x2, encontre o

produto do primeiro e quarto termos e o produto do segundo e terceiro termos. Subtraia o segundo / terceiro produto do primeiro / quarto. Multiplique o primeiro termo (x-1) pelo

8

quarto termo de x produzirá o termo x²-x e multiplicar o segundo termo (-2) pelo terceiro -2 resultará em 4. Subtraia 4 a partir de x²-x. 4.

Organize os termos da maior potência para a menor. A equação vai ficar "x²-x-

4." Este é o polinômio característico.

2.3

Equação Característica, Polinômio Minimal e Matrizes Singulares A equação característica é a seguinte: pA(x)=det [xI − A]C em que det é o determinante e I é a matriz identidade (ou o operador identidade). Os autovalores de A, caso existam, são as raízes de seu polinômio característico. O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio

mônico mA(x) de menor grau tal que mA(A)(v)=0, ∀v∈V.

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A.

Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular: det(A−λI)=0. Para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A. Exemplo:

𝑎11 𝑎12 Seja A uma matriz de dimensão 2X2 arbitrária, ou seja, 𝐴 = [𝑎 𝑎22 ]. Para 21

descobrir se A é uma matriz singular, construímos o polinômio característico: 𝑎11 det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 {[ 𝑎

𝑎12 1 0 𝑎22 ] − 𝜆 [0 1]} = |||𝑎11 − 𝜆𝑎 21 𝑎12 𝑎22 − 𝜆||| 21 = [(𝑎11 − 𝜆)(𝑎22 − 𝜆)] − [𝑎12 𝑎21 ]

= 𝜆2 − (𝑎11 + 𝑎22 )𝜆 + (𝑎11𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 )

Note que porque a matriz A tem dimensão 2X2, o polinômio característico tem grau 2. O número de raízes sempre será 2, embora seja possível que duas raízes tenham o mesmo valor . Vejamos outros exemplos abaixo: Seja A uma matriz 𝑛𝑥𝑛 sobre K. Definimos o polinômio característico de A como:

9

ƒ(𝝀) = 𝒅𝒆𝒕(𝝀𝑰 − 𝑨) Exemplo: Seja a matriz definida por: 1 𝐴= [ 4

2 ] 9

Assim: −1 ƒ(λ) = [ 4

2 ] = λ² − 10λ + 1 −9

Algumas vezes vemos na literatura o polinômio característico da matriz A definido na forma trocada: ƒ(𝝀) = 𝒅𝒆𝒕(𝑨 − 𝝀𝑰)

3. PROPRIEDADES Lema: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Um sistema 𝑀𝑣 = 0 tem solução

não trivial se, e somente se, 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 0 .

Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada A de ordem n são zeros do

polinômio característico de A, isto é, escalares λ para os quais ƒ(𝜆) = 0.

Demonstração: Os autovalores da matriz A podem ser obtidos a partir da existência

de escalares λ e vetores não nulos 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑡 para os quais 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣

Este sistema pode ser reescrito como: 𝐴𝑣 = 𝜆𝐼𝑣 ou seja (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑣 = 0 e este sistema terá uma solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz

𝜆𝐼 − 𝐴 for nulo (que é uma conseqüência da Regra de Cramer), isto é: 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Observamos que det(A−λI) é uma função polinomial da variável λ , daí a razão de indicarmos esta expressão por: ƒ(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) A partir deste Teorema podemos obter os autovetores se resolvermos o sistema (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑣 = 0 Exemplo: Seja a matriz dada por

11

𝐴=[

0 1 1 −1 2 1] −1 1 2

O polinômio característico associado à matriz A é ƒ(𝜆) = 𝜆³ − 4 𝜆² + 5𝜆 − 2

Como a soma dos coeficientes deste polinômio é igual a zero, segue que 𝜆 = 1 é um

zero de ƒ = ƒ(𝜆) e temos que ƒ(1) = 0. Assim dividimos este polinômio por (λ−1) para obter a

forma decomposta:

ƒ(𝜆) = (𝜆 − 1)(𝜆² − 3𝜆 + 2) e usando a fórmula quadrática, obtemos: ƒ(𝜆) = (𝜆 − 1)(𝜆 − 1)(𝜆 − 2)

o que significa que os autovalores de A são 𝜆 = 1, 𝜆 = 1 e 𝜆 = 2 .

Em geral, o sistema (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑣 = 0 fica na forma 𝑥 𝜆−0 ( ) 𝑦 𝜆 𝐼 − 𝐴 = [ ][ 1 𝑧 1

−1 𝜆−2 −1

−1 0 −1 ] = [0] 𝜆−2 0

Para λ=1, o sistema toma a forma: 1 −1 −1 𝑥 0 [ 1 −1 −1] [ 𝑦] = [0] 0 1 −1 −1 𝑧 e este sistema se reduz a apenas uma equação: 𝒙−𝒚−𝒛 = 𝟎

Como temos duas variáveis livres, podemos escrever 𝑥 = 𝑦 + 𝑧, para obter valores

para 𝑥 em função de 𝑦 e de 𝑧.

Se 𝑦 = 1 e 𝑧 = 0 então 𝑥 = 1 e 𝑣1 = (1,1,0)𝑡 é um autovetor. Se 𝑦 = 0 e 𝑧 = 1

então 𝑥 = 1 e 𝑣2 = (1,0,1)𝑡 é outro autovetor.

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Para λ=2, o sistema toma a forma: 2 −1 [1 0 1

−1 0 0] −1 𝑥𝑦 ] [ ] = [0 −1 0 𝑧

e este sistema se reduz a apenas uma relação 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 e tomando 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1,

obtemos o terceiro autovetor da matriz 𝐴: 𝑣3 = (1,1,1)𝑡.

4. CONCLUSÃO Após as pesquisas sobre o assunto, percebe-se a importância dos polinômios característicos, no âmbito de determinar os autovalores de uma matriz. É através dele que estes são facilmente calculados. Também é fato que as aplicações do polinômio característico são inúmeras, mas a sua grande maioria exige um nível mais aprofundado de cálculo, física e/ou

computação.

REFERÊNCIAS KOLMAN, Bernard, HILL, David Ross. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed Rio de Janeiro: Ed. LTC, 2013. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Introdução à álgebra linear. São Paulo: Ed. Makron Books, 1990. Portal Ehow en Español, Cultura y Ciencia - ¿Cuál es la importancia de factorizar polinomios?. - Disponível em: Acesso em 6 de novembro de 2014...