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Potentialtheorie Annahmen: reibungsfrei, drehungsfrei 2-dimensional (eben) inkompressibel, stationäre Strömung drehungsfrei: ~ω = ~0   w − vz 1 1 y 1 uz − wx  ~ω = rot ~v = ∇ × ~v = 2 2 2 vx − uy

2-dimensionale Strömung ωx = ωy = 0   1 ∂v ∂u 1 =0 → ωz = (vx − uy ) = − 2 2 ∂x ∂y

Potentialtheorie

drehungsbehaftet Aufgabe 4.1: rot(grad f ) = ~0

drehungsfrei

Potentialtheorie Wenn ωz = 0 → es existiert eine Funktion Φ mit der Eigenschaft  ∂Φ      ∂x  ~v = ∇ |{z} Φ  u   ∂Φ  → = Potential v ∂y → Kontinuität (2-d, stationär, inkompressibel) ∂u ∂v = ∇ · ~v → ∇2Φ = ∆Φ = 0 + ∂x ∂y ∂ 2Φ ∂ 2 Φ → =0 + ∂x2 ∂y 2

Potentialtheorie lineare Differentialgleichung → das Prinzip der Superposition ist anwendbar Wenn Φ1, Φ2 Lösungen der Gleichung sind, dann sind auch C1 · Φ1, C2 · Φ2 und C1 · Φ1 + C2 · Φ2 Lösungen der Gleichung Stromfunktion : u =

∂Ψ ∂Ψ ;v=− ∂y ∂x

erfüllt die Kontinuitätsgleichung

ω = 0 ∇2Ψ = ∆Ψ = 0

Φx = Ψy ; Φy = −Ψx → Linien mit konstantem Φ und Ψ stehen senkrecht aufeinander

Potentialtheorie Φ = konst → Potentiallinien Ψ = konst → Stromlinien Φ und Ψ werden verwendet, um Strömungsfelder und Strömungen um Körper zu beschreiben Die Kontur wird durch eine besondere Stromlinie repräsentiert. → Der Geschwindigkeitsvektor ist parallel zur Wand Aber: Stokes’sche Haftbedingung kann nicht erfüllt werden (reibungsfrei und drehungsfrei) → Widerstandskräfte und Schubspannungen können nicht berechnet werden

Potentialtheorie • komplexe Zahlen

z = x + i y = r eiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)

x = r cos ϕ y = r sin ϕ • komplexe Geschwindigkeit

↔

p r = x2 + y 2

ϕ = tan−1

w = u+ iv

• konjugiert komplexe Geschwindigkeit

w¯ = u − i v

y  x

Potentialtheorie komplexe Potentialfunktion komplexe Stromfunktion Z F (z) = w¯ dz = Φ(x, y ) + i Ψ(x, y ) −→ Laplacegleichung

∂ 2Φ ∂x2

+

∂ 2Φ ∂y 2

w¯ = u − iv =

!

dF dz

+ i

∂ 2Ψ ∂x2

+

∂ 2Ψ ∂y 2

!

=0

Singularitäten y

Stromlinien

Parallelströmung: F (z) = (u∞ − i v∞) z Φ = u∞x + v∞y

u = u∞

Quelle, Senke: F (z) =

x

Ψ = u∞y − v∞x v = v∞

y

y

E ln z 2π x

E ln r 2π x E u= 2π x2 + y 2 Φ=

E ϕ 2π E y v= 2π x2 + y 2

Ψ=

x

Singularitäten Γ i ln z 2π y  Γ −1 Φ = − tan 2π x Γ y u= 2π x2 + y 2

Potentialwirbel: F (z) =

y

x

Ψ=

Γ

q ln x2 + y 2

2π x Γ v=− 2π x2 + y 2

Singularitäten m Dipol: F (z) = z Φ=

mx

x2 + y 2 y 2 − x2 u=m 2 (x + y 2)2 y

x

my Ψ = − x2 + y 2 2xy v = −m 2 (x + y 2)2

Singularitäten a Eckenströmung: F (z) = z n n a n Φ = n r cos nϕ spitzer Winkel

konvex

(n ∈ R, a ∈ C)

Ψ = na rn sin nϕ

konkav

Singularitäten Singularitäten haben ihr Zentrum im Ursprung des Koordinatensystems → Verschiebung Beispiel E ln (z − ib) F (z) = 2π

PP P q

E ln (z − a − ib) F (z) = 2π ❆

y

❆ ❆❯

b



x

 ✒ 

E ln z F (z) = 2π

❆❑ ❆

a

❆

E ln (z − a) F (z) = 2π

u

8

u

8

Potentialtheorie Simulation von Wänden durch Spiegelung

u

•

8

Symmetrieebene

• Normalerweise werden Konturen durch Staupunktstromlinien repräsentiert – Lokalisierung des Staupunktes (u = v = 0) – Berechnung von Ψ im Staupunkt – skizzieren der Stromlinien Ψk (x, y) = Ψk (xs, ys) = konst. → ys = f (xs) → rs = f ‘(ys)

Potentialtheorie • Stromlinien schneiden sich nicht → jede Stromlinie kann eine Kontur repräsentieren dann ist normalerweise uw 6= 0

• Bernoulligleichung ist gültig 1 2 2 ) = p + 1 ρ(u2 + v 2) = konst. p0 = p∞ + ρ(u∞ + v∞ 2 2 1 2 1 2 p − pref 2 ρuref − 2 ρ~v ~v2 – Berechnung von cp = ρ = 1− 2 = ρ 2 2 u uref 2 uref ref 2

14.5 U Eine ebene Strömung wird durch die Stromfunktion ψ = ( )xy beL p schrieben. Im Punkt xref = 0, yref = 1 m beträgt der Druck ref = 105 N/m2. U = 2 m/s

L=1m

ρ = 103 kg/m3

a) Überprüfen Sie, ob die Strömung ein Potential besitzt. Bestimmen Sie b) die Staupunkte, den Druckbeiwert und die Isotachen, c) Geschwindigkeit und Druck für x1 = 2m, y1 = 2m, d) die Koordinaten eines Teilchens, das zur Zeit t = 0 den Punkt x1, y1 durchläuft, für die Zeit t = 0.5s, e) die Druckdifferenz zwischen diesen beiden Punkten. f) Skizzieren Sie die Stromlinien.

14.5 a) Gegeben: Stromfunktion Ψ = U L xy Φ existiert, wenn ~ω = ~0 ebene Strömung → 2-dimensional → ωx = ωy = 0   1 1 ∂v ∂u =0 → ωz = (vx − uy ) = − 2 ∂x ∂y 2  ∂u ∂Ψ U  u= = x→ =0    ∂y L ∂y ωz = 0   U ∂v ∂Ψ  = 0 v=− =− y→ ∂x ∂x L

14.5 → die Strömung ist reibungsfrei und ein Potential existiert Φ existiert → Berechnung von Φ Z ∂Φ 1.) u = → Φ = u dx + f1(y) + C1 ∂x Z ∂Φ 2.) v = → Φ = v dy + f2(x) + C2 ∂y Z U 1.) Φ(x, y ) = xdx + f1(y) + C1 L Z U 2.) Φ(x, y ) = − ydy + f2(x) + C2 L

14.5 2

Ux + f1(y) + C1 1.) Φ(x, y) = L 2 U y2 2.) Φ(x, y) = − + f2(x) + C2 L2 Vergleich von 1.) und 2.) U y2 U x2 + f1(y ) + C1 = − + f2(x) + C2 | {z } 2 2 L L |{z} |{z} | {z }

U y2 ; f1(y) = − L 2

U x2 ; f2(x) = L 2

→Φ=

U 2 (x − y 2) + C 2L

C1 = C2 = C

14.5 komplexes Potential F (z ) F (z) = F (x + iy) = Φ(x, y ) + iΨ(x, y ) =

U 2 U (x − y 2) + i xy L 2L

=

U 2 (x + 2ixy − y 2) 2L

=

U 2 z 2L

14.5 Skizze des Strömungsfeldes • Staupunkte → Staupunktstromlinie • asymptotische Stromlinien x, y → ∞ ; x, y → 0

• Strömungsrichtung

Staupunkte: ~v = ~0 : u = v = 0 u=

U U x , v = − y → (xs, ys) = (0, 0) L L

14.5 Außerdem: u = 0 auf der y-Achse v = 0 auf der x-Achse

14.5 Ψ = konst.

under Ψ=U L xy = konst. → y = UL konst. 1x = C x für x 6= 0 x = ULkonst. 1y = C y für y 6= 0 → Hyperbel

14.5 Stromlinien: Ψ = konst. Ψ=U L xy = konst. → y = UL konst. 1x = C x für x 6= 0 x = ULkonst. 1y = C y für y 6= 0 → Hyperbel Staupunktstromlinie U Ψsp = xspysp = 0 L Ψ=0→

|

problemabhängig

x = 0 oder y = 0

14.5 → x-Achse und y-Achse sind Staupunktstromlinien U Strömungsrichtung u = x , v = − U y L L u0

14.5 Druckkoeffizient u2 + v 2 v~2 cp = ρ 2 = 1− 2 =1− ~ u + v2 v2 2 v ref ref ref ref  U  u= x   L  x2 + y 2 cp = 1 − 2 2  + y x U  ref ref  v=− y L p − pref

14.5 Linien konstanter Geschwindigkeit √ |¯ v | = u2 + v 2 = const. =

s

 2   2 U 2 U L~v x + − y → x2 + y 2 = L L U

Kreise mit dem Radius R =

L~v U

14.5

14.5 90◦-Eckenströmung

14.5 ebene Staupunktströmung

14.8 Ein Brückenpfeiler mit kreisförmigem Querschnitt wird mit der Geschwindigkeit u∞ angeströmt. Weit vor dem Pfeiler beträgt die Wassertiefe h∞.

14.8 u∞ = 1 m/s m

h∞ = 6 m

ρ = 103 kg/m3

R=2

g = 10 m/s2

Bestimmen Sie a) die Höhe des Wasserspiegels an der Pfeilerwand als Funktion von θ, b) die Höhe des Wasserspiegels in den Staupunkten, c) die geringste Wassertiefe über Grund. Hinweis: Nehmen Sie an, daß die Strömung eben ist.

14.8 a) Kreiszylinder: Dipol + Parallelströmung M

R2u∞ = u∞z + z 2πz ρ ρ ρgh∞ + u2∞ = ρgh(θ) + ~v 2 2 2 ! 2 R u∞ 1∂Φ sin θ vθ = = − u∞ + r ∂θ r2 F (z) = u∞z +

r = R : ~v 2 = v 2θ = 4u2∞ sin2 θ u2∞ (1 − 4 sin2 θ) h(θ) − h∞ = 2g

14.8 b) Staupunkte:

θ = 0 und θ = π u2∞ = 6.05 m h = h∞ + 2g

c)

π 3π θmin = , 2 2 2 3u∞ = 5.85 m hmin = h∞ − 2g

14.12 Gegeben ist die Stromfunktion ψ(x, y) für die Strömung eines inkomressiblen Fluids durch die skizzierte ebene Düse. y u∞L ψ(x, y) = h(x) 1 Gegeben: u∞, L, B, h1 = L, h2 = L 3 a) Bestimmen Sie den Verlauf der oberen und unteren Düsenkontur h(x) so, dass die Strömung als Potentialströmung dargestellt werden kann. b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsverteilung u(x, y) und v (x, y ). c) Bestimmen Sie den Volumenstrom durch die Düse mit der Breite B.

14.12

14.12 a) ∂ 2ψ

∂ 2ψ =0 2 + ∂y ∂x2    2 2 ∂ ψ(x, y) ∂ ∂ ψ ∂ 1 = = 0 → yu L =0 ∞ ∂x2 ∂x ∂y 2 ∂x h(x)

Voraussetzung:

ω=0→

    d h′(x) h′(x) ∂ =0→ =0 −yu∞L 2 2 ∂x dx h (x) h (x) 1 2 × integriert: − = C1 x + C2 h(x)

14.12 R.B.: x = L, h = L

b)

1 = C1 L + C2 L

C2 = 0,

1 C1 = − 2 L

3 = 3C1L + C2 L L2 =⇒ h(x) = x

∂ψ u= ; ∂y

∂ψ v=− ; ∂x

u∞ xy ψ= L

x = 3L, =⇒

1 h= L 3

−

=⇒ =⇒

x u = u∞ ; L

−

v = −u∞

y L

14.12 c)

V˙ = ψ(y=h) − ψ(y=−h) |x=L V˙ = (h1 + h1)Bu∞ V˙ = 2U∞LB

14.3 Gegeben ist die Stromfunktion ψ = ψ1 + ψ2 Γ q mit ψ1 = − ln (x − a)2 + y 2 q 2Γ 2π ψ2 = − ln (x + a)2 + y 2 2π Gegeben: a, Γ > 0 Bestimmen Sie a) die Koordinaten des Staupunktes. b) den Druckbeiwert auf der x-Achse cp(x, y = 0) so, dass im Koordinatenursprung cp = 0 gilt.

14.3 a) Bedingung für den Staupunkt: u = 0, v = 0 ∂ψ

Γ 

 2y y u= =− + 2 + y2 ∂y ( x − a ) 2π (x + a)2 + y 2   Γ 2 1 = 0 wenn y = 0 u=− y + 2 2 2 2 ( x + a ) + y 2π (x − a) + y   ∂ψ 2(x + a) x−a Γ v=− + = 2 2 ∂x 2π (x − a) + y (x + a)2 + y 2   Γ 2 1 Γ 3x − a für y = 0 : v = + ⋆) = 2π x2 − a2 2π x − a x + a a v = 0, wenn 3x − a = 0 → Staupunkt: xs = , ys = 0 3

14.3 alternativ:

Γ 2Γ Γ → r2 = 2r1 = : vθ1 = vθ2 → 2πr1 2πr2 2πr 2 a 2a = r1 + r2 → 2a = 3r1 → r1 = a → xs = 3 3

vθ =

14.3 b) u2 + v 2 cp(x, y = 0) = 1 − 2 2 u(0,0) + v(0 ,0)

mit u = 0 für y = 0.

v2

Γ1 (siehe ⋆) d.h. cp(0,0) = 0 =⇒ cp(x, y = 0) = 1 − 2 , v(0,0) = a 2π v(0,0) 2  3x − a  x2 − a2   mit ⋆) cp(x, y = 0) = 1 −   1  a

=⇒ cp(x, y = 0) = 1 −

!2 2 3xa − a x2 − a2

für x 6= a, −a...