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CÁLCULO 1SESIÓN 4: Derivación ParamétricaProblematización: Ondas en un lago:Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pies/s. Cuando el radio es 4 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área A ...

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CÁLCULO 1 SESIÓN 4: Derivación Paramétrica

Problematización: Ondas en un lago: Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pies/s. Cuando el radio es 4 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región Circular perturbada?

Saberes previos

• Reglas de derivación y regla de la cadena Calcula la derivada de la función: y = e3 − x

y ' = ( e3− x ) ' = ( e3 − x ) . ( 3 − x ) ' = (e3− x ).(− 1) = −e3− x

LOGRO Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios y situaciones problemáticas usando la derivación paramétrica, siguiendo un proceso lógico y la exactitud de su resultado.

Contenido de la sesión ➢ Derivadas Paramétricas.

➢ Tasas de cambio relacionadas. ➢ Ejemplos. ➢ Aplicaciones.

Derivadas Paramétricas: Hemos aprendido a usar la regla de la cadena para hallar dy/dx implícitamente. Otra aplicación relevante de la regla de la cadena consiste en el cálculo de ritmos de cambio de dos o más variables relacionadas que están cambiando en el tiempo (t: parámetro) TEOREMA: Dadas las ecuaciones

y = f (t ), x = g (t ) dy dy / dt = dx dx / dt

ambas diferenciables, entonces:

Ejemplo: Dada la cicloide a) Determine:

dy dx b) Encuentre la pendiente y la ecuación de la tangente a la cicloide en el punto en que: t =  / 3

c) ¿En qué punto la tangente es horizontal?¿cuándo es vertical?

Ejemplo: Sean x e y dos funciones derivables relacionadas por la ecuación:

y = x2 + 3

Calcular dy/dt para x=1, sabiendo que dx/dt=2 en x=1.

Solución: Derivamos ambos lados con respecto a t, utilizando la regla de la cadena

(

d ( y) = d x 2 + 3 dt dt dy dx = 2x dt dt

)

Cuando x= 1 y dx/dt=2, se tiene:

dy = 2(1)(2) = 4 dt

Tasas relacionadas de cambio: Estrategia para resolver problemas de tasas de cambio relacionadas. 1. Identificar las magnitudes dadas y las magnitudes a determinar. Asignar símbolos a esas cantidades. 2. Escribir una ecuación que contenga a las variables cuyos ritmos de cambio son dados o han de ser determinados. 3. Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo t.

4. Después de completar el paso 3, sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y de los ritmos de cambio. A continuación despejar el ritmo de cambio que se desea calcular.

Ejemplos:

Ejemplo: Inflando un globo Se bombea aire en el interior de un globo a razón de 4,5 pulgadas cúbicas por minuto. Calcular el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es 2 pulgadas. Solución: Sea V el volumen del globo y r su radio Ritmo dado:

Hallar:

dV = 4.5 dt dr cuando r = 2 dt

Sabemos que

V =

4 3 r 3

Ejemplo: Inflando un globo Por derivación implícita respecto de t :

dV dr = 4r 2 dt dt 1  dV  dr =   dt 4r 2  dt  Finalmente cuando r=2 el ritmo de cambio del radio es:

dr 1 (4.5) = 0.09 = dt 16

Ejemplo: La velocidad de un avión detectado por un radar Un avión vuela por una trayectoria que le llevará a la vertical de una estación de radar. Si s está decreciendo a razón de 400 millas/h cuando s=10 millas, ¿cuál es la velocidad del avión ?

AHORA, ¿PODRÁS AHORA RESOLVER EL CASO: ONDAS EN UN LAGO?

Ondas en un lago Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pies/s. Cuando el radio es 4 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región Circular perturbada?

Metacognición

❑ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión? ❑ ¿Qué dificultades se encontró al calcular derivadas paramétricas? ❑ ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana se aplica la derivada paramétrica?

Referencias bibliográficas

Biblioteca virtual UPN http://site.ebrary.com/lib/upnortesp/detail.action?docID=10820475...