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Questionário 3Proposta de ResoluçãoProblemaConsidere o circuito da figura 1 .1 , para o qual estão definidas as tensões nodais, Va e Vb.Figura 1.a) Escreva o sistema de equações resultante da aplicação do método dos nós.−I 1 V aR 1 V a−V bR 3= 0V b−V aR 3+I 2 V bR 2= 0⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b) Simplifique o sistema...

Description

TCE-%2015-6% Questionário+3+ Proposta+de+Resolução+ + Problema)1) Considere+o+circuito+da+figura+1.1+,+para+o+qual+estão+definidas+as+tensões+nodais,+Va+e+Vb.+

Figura+1.1+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+dos+nós.+

⎧ Va Va − Vb =0 ⎪ −I1 + + R1 R3 ⎪ ++ ⎨ ⎪ Vb − Va + I 2 + Vb = 0 ⎪ R3 R2 ⎩ b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑉𝑎 + 𝑥12 𝑉𝑏 = 𝐼1 + 𝑥21 𝑉𝑎 + 𝑥22 𝑉𝑏 = −𝐼2 ⎧ ⎛ 1 ⎛ 1⎞ 1⎞ 1 1 1 ⎪ Va ⎜ + ⎟ + Vb ⎜ − ⎟ = I1 x11 = + x12 = − ⎝ R1 R3 ⎠ ⎝ R3 ⎠ R1 R3 R3 ⎪ ⎨ 1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎪ +logo,+ x21 = − x22 = + = −I + V V − + 2 b a ⎜⎝ R ⎟⎠ ⎜⎝ R ⎪ R3 R2 R3 R3 ⎟⎠ 3 2 ⎩

+

c) Resolva+o+sistema+obtido+em+b)+ d) Considerando+as+correntes+indicadas+na+figura+1.2,+determine:+

Figura+1.2+

I R1 = −

Va R1

IR3 =

Va − Vb + R3

e) Determine+o+valor+da+potência+(Pi1)associada+a+fonte+de+corrente+I1,+e+da+ potência+(Pr2)associada+à+resistência+R2.+

PI1 = −Va I1 )

PR2 = Vb

Vb + R2 )

TCE-%2015-6% Problema)2) Considere+o+circuito+da+figura+2.1+,+para+o+qual+estão+definidas+as+tensões+nodais,+Va+e+Vb.+

Figura+2.1+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+dos+nós.+

⎧ Va Va − Vb =0 ⎪ I1 + + R1 R3 ⎪ + ⎨ ⎪ Vb − Va + Vb + I 2 = 0 ⎪ R3 R4 ⎩ b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑉𝑎 + 𝑥12 𝑉𝑏 = 𝐼1 + 𝑥21 𝑉𝑎 + 𝑥22 𝑉𝑏 = 𝐼2 ⎧ ⎛ 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1⎞ ⎪ Va ⎜ − − ⎟ + Vb ⎜ ⎟ = I1 x11 = − ⎜ + ⎟ x12 = + R3 ⎝ R1 R3 ⎠ ⎝ R1 R3 ⎠ ⎝ R3 ⎠ ⎪ + ⎨ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎪ + x22 = − ⎜ + ⎟ x21 = + ⎪ Va ⎜⎝ − R ⎟⎠ + Vb ⎜⎝ R + R ⎟⎠ = −I 2 R3 ⎝ R4 R3 ⎠ 3 4 3 ⎩ +logo, c) Resolva+o+sistema+obtido+em+b)++ d) Considerando+as+tensões+indicadas+na+figura+2.2,+determine:+

Figura+2.2+

VR2 = I 2 R2

VI2 = VB − VR2 +

e) Determine+a+potência+instantânea+associada+à+fonte+I2,+PI2+ PI2 = VI I 2 + 2

f) Determine+a+energia+fornecida+pela+fonte+I1+durante+3+minutos.+ EI1 = 180 I1 Va + )

)

TCE-%2015-6% Problema)3) Considere+o+circuito+da+figura+3+,+para+o+qual+estão+definidas+as+tensões+nodais,+Va,Vb+e+ Vc.+

Figura+3+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+dos+nós.+

⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

I1 +

Va Va − Vb =0 + R1 R2

Vb − Va Vb − Vc − I2 = 0 + + R2 R3 Vc Vc − Vb + + I2 = 0 R2 R3

b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑉𝑎 + 𝑥12 𝑉𝑏 + 𝑥13 𝑉𝑐 = −𝐼1 𝑥21 𝑉𝑎 + 𝑥22 𝑉𝑏 + 𝑥23 𝑉𝑐 = 𝐼2 + 𝑥31 𝑉𝑎 + 𝑥32 𝑉𝑏 + 𝑥33 𝑉𝑐 = −𝐼2

x11 =

1 1 + R1 R2

x12 = −

1 R2

⎧ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎪ Va ⎜ + ⎟ + Vb ⎜ − ⎟ + Vc (0 ) = −I1 x13 = 0 x21 = − R ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ R R ⎪ 1 2 2 R2 ⎪ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 1⎞ ⎪ x23 = − + x22 = + ⎟ + Vc ⎜ − ⎟ = I 2 ⎨ Va ⎜ − ⎟ + Vb ⎜ R3 R2 R3 ⎝ R2 ⎠ ⎝ R2 R3 ⎠ ⎝ R3 ⎠ ⎪ ⎪ +x = 0 x = − 1 ⎪ Va ( 0) + Vb ⎛ − 1 ⎞ + Vc ⎛ 1 + 1 ⎞ = −I 2 31 32 ⎜⎝ R ⎟⎠ ⎜⎝ R R3 R3 ⎟⎠ ⎪ 3 2 ⎩ ++logo, 1 1 + x33 = R2 R3

+

) Problema)4) Considere+o+circuito+da+figura+4+,+para+o+qual+estão+definidas+as+tensões+nodais,+Va+e+Vb++

Figura+4+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+dos+nós.+

TCE-%2015-6% ⎧ V ⎪ I1 + a + I x = 0 R1 ⎪ ⎪ + ⎨ −I + Vb − I2 = 0 x ⎪ R3 ⎪ ⎪⎩ Va − V1 = Vb b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑉𝑎 + 𝑥12 𝐼𝑥 = −𝐼1 + 𝑥21 𝑉𝑎 + 𝑥22 𝐼𝑥 = 𝐼2 + 𝑦 ⎧ 1 ⎪ Va + I x (1) = −I1 R1 1 ⎪ x11 = ⎨ R1 ⎪ V 1 + I ( −1) = I 2 + V1 +logo,+ x a ⎪ R3 R3 ⎩

x12 = 1 x21 =

1 R3

x22 = −1 y =

V1 R3 +

+ Problema)5) Considere+o+circuito+da+figura+5+,+para+o+qual+estão+definidas+as+tensões+nodais,+Va+e+Vb .+

Figura+5+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+dos+nós.+

⎧ V V −V ⎪ I1 + a + a b = 0 R1 R2 ⎪ ⎪ + ⎨ Vb − Va + Vb + Id = 0 ⎪ R2 R3 ⎪ ⎪⎩ I d = 0.5Va b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑉𝑎 + 𝑥12 𝑉𝑏 = −𝐼1 𝑥21 𝑉𝑎 + 𝑥22 𝑉𝑏 = 0 ⎧ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ 1 1 1 ⎪ Va ⎜ + ⎟ + Vb ⎜ ⎟ = −I1 x11 = + x12 = − ⎝ R2 ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠ R1 R2 R2 ⎪ ⎨ 1 1 1 ⎛ −1 ⎛1 ⎞ 1⎞ ⎪ x21 = − + 0.5 x22 = + + V + 0.5 + V = 0 a b ⎜⎝ R ⎜⎝ R ⎟⎠ ⎪ R2 R2 R3 R3 ⎟⎠ 2 2 ⎩ +logo, c) Resolva+o+sistema+de+equações+anterior+e+determine+o+valor+de+Id I d = 0.5Va + + )

)

+

TCE-%2015-6% Problema)6) Considere+o+circuito+da+figura+6.1+,+em+que+estão+definidas+correntes+de+malha+,Ja+e+jb.+

Figura+6.1+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+das+malhas.+

⎧ −V + J R + ( J − J ) R = 0 1 a 1 a b ⎪ 2 ++ ⎨ ⎪⎩ (J b − J a ) R2 + J b R3 + V2 = 0 b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑗𝑎 + 𝑥12 𝑗𝑏 = 𝑉1 + 𝑥21 𝑗𝑎 + 𝑥22 𝑗𝑏 = −𝑉2 ⎧ J ( R + R ) + J (−R ) = V1 x11 = ( R1 + R2 ) x12 = −R2 b 2 2 ⎪ a 1 logo, ⎨ + x = −R x = ( R + R ) 21 2 22 2 3 ⎪⎩ J a ( −R2 ) + J b ( R2 + R3 ) = −V2

+

c) Resolva+o+sistema+obtido+em+b)++ d) Considerando+as+correntes+e+tensões+indicadas+na+figura+6.2,+determine:+

Figura+6.2+

I v1 = J a VR1 = R1 J a

I R2 = J a − J b VR2 = R2 I R2

IV2 = −J b VR3 = R3 J b ++

e) Considerando+as+grandezas+determinadas+anteriormente,+calcule+a+potência,+em+ Watt,+associada+à+resistência+R3+ PR3 = VR3 J b + ) Problema)7) Considere+o+circuito+da+figura+7+,+em+que+estão+definidas+correntes+de+malha+,Ja+e+jb.+

Figura+7+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+das+malhas.+

TCE-%2015-6% ⎧ −V + J R + ( J − J ) R2 = 0 1 a 1 a b ⎪⎪ ⎨ (J b − J a ) R2 + J b R3 − Vi1 = 0 + ⎪ ⎪⎩ J b = I1 b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑗𝑎 + 𝑥12 𝑉𝑖1 = 𝑉1 + 𝑦 + 𝑥21 𝑗𝑎 + 𝑥22 𝑉𝑖1 = 𝑧

x11 = ( R1 + R2 ) x12 = 0 ⎧ J ( R + R ) + V ( 0) = V + I R 2 i1 1 1 2 ⎪ a 1 +logo, x21 = −R2 x22 = −1 ⎨ ⎪⎩ J a ( −R2 ) + Vi1 ( −1) = −I1 ( R2 + R3 ) y = I1 R2

+

c) Resolva+o+sistema+obtido+em+b)++ + Problema)8) Considere+o+circuito+da+figura+8+,+em+que+estão+definidas+correntes+de+malha+,ja,+jb+e+jc.+

Figura+8+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+das+malhas.+

⎧ −V + ( J − J ) R = 0 1 1 a b ⎪⎪ ⎨ (J b − J a ) R1 + J b R3 + ( J b − J c ) R2 + V2 = 0 + ⎪ ⎪⎩ −V2 + ( J c − J b ) R2 + J c R4 = 0 b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑗𝑎 + 𝑥12 𝑗𝑏 + 𝑥13 𝑗𝑐 = 𝑉1 𝑥21 𝑗𝑎 + 𝑥22 𝑗𝑏 + 𝑥23 𝑗𝑐 = −𝑉2+ 𝑥31 𝑗𝑎 + 𝑥32 𝑗𝑏 + 𝑥33 𝑗𝑐 = 𝑉2 +

x11 = R1 x12 = −R1 ⎧ J a R1 + J b ( −R1 ) = V x13 = 0 x21 = −R1 1 ⎪⎪ x22 = R1 + R2 + R3 + ⎨ J a ( −R1 ) + J b ( R1 + R2 + R3 ) + J c (−R2 ) = −V2 ⎪ x23 = −R2 x31 = 0 ⎪⎩ J b ( −R2 ) + J c (R2 + R4 ) = V2 logo,+ x32 = −R2 x33 = R2 + R4 c) Resolva+o+sistema+obtido+em+b)++ d) Considere+as+tensões+e+correntes+representadas+na+figura+8.2,+e+determine+os+seus+ valores+ + + +

+ + + Figura+8.2+

TCE-%2015-6% I R1 = J b − J a VR3 = −R3 J b

IV2 = J b − J c ++

e) Determine+o+valor+da+energia+consumida+pela+resistência+R2+durante+30s+ ^2

ER2 = 30R2 ( Jb − J c ) ++ + Problema)9) Considere+o+circuito+da+figura+9+,+em+que+estão+definidas+correntes+de+malha+,Ja+e+jb.+

Figura+9+ a) Escreva+o+sistema+de+equações+resultante+da+aplicação+do+método+das+malhas.+

⎧ −V + J R + ( J − J ) R = 0 2 1 a 1 a b ⎪⎪ ⎨ (J b − J a ) R2 + J b R3 + Vd = 0 + ⎪ ⎪⎩ Vd = 5( −J a ) b) Simplifique+o+sistema+obtido+em+a)+de+forma+a+obter+um+sistema+na+forma+

𝑥11 𝑗𝑎 + 𝑥12 𝑗𝑏 = 𝑉1 + 𝑥21 𝑗𝑎 + 𝑥22 𝑗𝑏 = 𝑦 +

⎧ J ( R + R ) + J (−R ) = V b 2 2 1 ⎪ a 1 ⎨ ⎪⎩ J a ( −R2 − 5 ) + J b ( R2 + R3 ) = 0

x11 = R1 + R2 x21 = − ( R2 + 5)

x12 = −R2 x22 = R2 + R3

+

+logo,+ c) Resolva+o+sistema+obtido+em+b)++ d) Considerando+os+valores+das+correntes+de+malha+determine+os+valores+das+seguintes+ grandezas+ + I R1 = −J a Vd = −5J a Pv1 = −V1 J a ++ +...