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Escuela Politécnica NacionalCarrera Matemática AplicadaCálculo en una VariableOptimizaciónGR-Integrantes:Cristian Alejandro Calle LópezAndrea Barahona CevallosJessica Patricia Mañay ChusinStalyn Israel Pachacama PaucarMelany Estefanía Rivera VillagranAlisson Vanessa Robalino SigchaVíctor Daniel Rose...

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Escuela Politécnica Nacional Carrera Matemática Aplicada Cálculo en una Variable

Optimización GR-15 Integrantes: Cristian Alejandro Calle López Andrea Barahona Cevallos Jessica Patricia Mañay Chusin Stalyn Israel Pachacama Paucar Melany Estefanía Rivera Villagran Alisson Vanessa Robalino Sigcha Víctor Daniel Rosero Sánchez Tayna Lisset Ruiz Hidalgo Ariel Alexander Saltos Macías Diana Carolina Vasquez Panata Javier Alexander Villegas Herrera

1 Problema Un integrante de una familia numerosa quiere construir una piscina en el patio trasero de su casa. Para ello se comunica con PISCINASBARAHONA.S.A. para ordenar la misma, especificando que quiere una piscina donde haya una sección para adultos y otra para niños.La persona quiere que la piscina tenga tres desniveles de tal manera que la profundidad del área de los niños sea de 1 metro y el área de los adultos se divida en dos partes; la primera con una profundidad de 0.5 metros respecto al área de los niños y la segunda de 0.5 metros √ respecto a la anterior. Se menciona que el perímetro 70 6 dado en fracción). del patio es aproximadamente 57.154 metros( 3 La piscina debe mantener cierta distancia respecto a las paredes del patio y la casa tales que: el área de los adultos se encuentre a un bloque respecto a las paredes y a dos bloques de la entrada al patio trasero; la sección de los niños debe estar en la parte inferior izquierda de la sección de los adultos justo del lado de la pared izquierda y a un bloque con respecto a la entrada del patio trasero. Se piden divisiones uniformes para 49 bloques de tal forma que se requiere saber la superficie destinada a la piscina aprovechando el área máxima del terreno y adicionalmente el cliente no quiere excederse en el uso del agua, para ello también necesita saber la capacidad máxima de la piscina para que el agua no se desborde considerando que no hay gente en la misma.

Figura 1: Vista superior Donde B y W correponden a las variables del área del terreno(patio trasero) donde se pretende construir la piscina.

2 Variables del problema: Para este problema captamos a nuestras variables las cuales serian el largo y ancho del patio. *A nuestra variable (b) le daremos el nombre de W ya que sera el largo del patio. *A nuestra variable (a) le daremos el nombre de B ya que sera el ancho del patio.

Figura 2: Variables del problema

Datos conocidos: En el problema nos da a conocer la profundidad que va a tener la piscina de los niños la cual va a ser de 1 metro.

Figura 3: Datos conocidos

Por otro lado la parte de la piscina de los adultos de dividira en dos áreas: 1. Área 1: poseerá una profundidad de 0.5m respecto al área de los niños. 2. Área 2: poseerá una profundidad de 0.5m respecto al área 1.

De igual manera conocemos el perímetro que posee el patio, el cual es el siguiente:

3

Figura 4:Perímetro Datos por conocer: Las dimensiones que debera tener cada bloque que es situado en la piscina.

Figura 5 La superficie máxima que podría abarcar la piscina sobre el área del patio.

Figura 6: Superficie El volumen máximo que puede tener la piscina sin que llegue a sobresalir el agua en ella. Ecuaciones Involucradas en el problema 1. Ecuación del perímetro: a partir de esta ecuación podemos determinar datos de gran ayuda para la resolución del problema de donde:

B es el ancho de la piscina W es el largo de la piscina

4

Figura 7 2. Ecuación del área: la misma hace énfasis al área que posee el patio, hay que conocerlo para que posteriormente podamos determinar los datos por conocer, en si se ocupan las mismas variables para la fórmula del perímetro anteriormente mencionada.

Figura 8 Función objetivo La función que debe ser maximizada es la del área del terreno, pues es a partir de la misma que se busca aprovechar el espacio y de esta manera obtener mejores resultados y beneficios en la construcción de la piscina. Es por esto que la misma es la función objetivo, y es en la cual centraremos nuestra atención para la resolución del problema. Sea A el área del terreno, tenemos su ecuación: A = B ·W Luego, sabemos que el perímetro del terreno es el siguiente: √ 70 6 2B + 2W = 3 Nos ayudamos de la ecuación del perímetro para poder expresar la función objetivo en función de una sola variable. Es por esto que despejamos la variable B en la ecuación mencionada: √ 70 6 B= −W 6 Posteriormente, reemplazamos "B.en la función objetivo, es decir en la ecuación del área. Y como anteriormente se mencionó la misma queda en función de "W", lo que posteriormente nos ayudará para la resolución del problema. Del proceso mencionado, obtenemos: √ 70 6 −W ) ·W A=( 6 √ 70 6 A= ·W −W 2 6

5 La cual es nuestra función objetivo expresada en función de la variable "W". Ahora, realizaremos un análisis de la función obtenida: 1. Dominio de la función:Si bien es cierto, al ser esta una función cuadrática su dominio es R . Sin embargo, para este problema es necesario establecer un dominio factible, el cual se ajuste a los requerimientos dados. Es por esto que el dominio que tomaremos de la función es el de los R + . Esto se debe a que estamos buscando un valor máximo, por lo que "W"no podría ser 0. Y, se descartan un dominio en R − ya que tanto la variable "Wçomo la variable "Brepresentan longitudes y como sabemos, no existen longitudes de valores negativos. 2. Puntos de corte con el eje x: Para obtener estos puntos, debemos igualar la función objetivo a o, obteniendo: √ 70 6 ·W −W 2 0= 6 de donde, √ 70 6 W =0oW = = 28, 589 6 Por lo tanto, los puntos de corte de la función con el eje x, son: P1 = (0, 0) P2 = (28, 589; 0) Analizando estos resultados y su significado en el problema, tenemos que en el punto de corte 1 con el eje x, el área del terreno sería 0, es decir no existiría. Esto se debe a que en ese caso ambos lados son 0 Por otro lado, cuando analizamos el punto de corte 2 con el eje x, un lado del terreno sería 0 y el otro 28,589. Por lo que el terreno sería una línea recta y su área sería de igual forma 0. Es por esto que estos puntos no aportan en la resolución del problema, pues el objetivo para su resolución es encontrar el máximo valor que debería tener el área el terreno, para que así el mismo sea aprovechado de la mejor manera.

Figura 9: Gráfica de la función objetivo

6 Ahora, haciendo uso del criterio de la primera derivada,√vamos a encontrar los puntos críticos de nuestra función objetivo. Para ello, derivemos A = W 706 6 −W 2 respecto a W , por tanto: √ 70 6 A (W ) = − 2W 6 ′

Igualando A′ (W ) a 0, tenemos que: √ √ 70 6 70 6 − 2W = 0 ≡ W = 6 12 √ 35 6 ≡W = 6 Por tanto, tenemos un punto crítico en W =

√ 35 6 6

≈ 14,2887m

Ahora vamos a deducir si éste punto W es un punto máximo o mínimo. Con tal objetivo, analizemos la monotoía de A mediante su derivada. √ 70 6 A (W ) > 0 ≡ − 2W > 0 6√ 70 6 ≡ > 2W 6√ 35 6 ≡ >W 6 ′

√

De donde, A es creciente en ] − ∞, 356 6] √ 70 6 A (W ) < 0 ≡ − 2W < 0 6√ 70 6 ≡ < 2W 6√ 35 6 ≡...