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1) se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas, y doblando los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen? Solución: Sea x el lado del cuadrado que ...

Description

1)

se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas, y doblando los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

Solución: Sea x el lado del cuadrado que se va a cortar; V el volumen de la caja resultante. Luego: V=x (9-2x)(24-2x)=216x66x2+4x3 ósea que se debe maximizar V sobre el intervalo [0,4.5]. Los puntos estacionarios se encuentran igualando a cero la derivada dv/dx y resolviendo la ecuación resultante: V´(x)= 216-132x+12x2 = 12(18-11x+x2) ⇒ v´(x)= 12(9-x)(2-x)= 0 ⇒(9-x)= 0 ⇒X= 9 y (2-x)= 0 ⇒ X= 2 . Como 9 no está en el intervalo solo se toma 2. Luego hay tres puntos críticos que son: 0, 2, 4.5. En los Puntos frontera V(0) = 0 y V (4.5)= 0; en 2 el volumen V= 200. Se concluye que la caja tiene un volumen máximo de 200 pulgadas cubicas cuando X= 2 ósea que la caja tiene 20 pulgadas de larga, 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de alto o profundidad. 2) un volumen debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo, y 2 pulgadas de margen a los lados. ¿Qué dimensiones debe tener el volumen para que gaste menos papel? Solución: Sea X la a hura Y la altura del vola te su área será A= XY. Las dimensiones del texto serán: X-4 de ancho y Y-8 de largo. Como el área es de 50 pulgadas cuadradas, entonces el área será ⇒ despejo Y y queda: Por lo tanto el área será:

. Los valores permitidos serán X>4 ósea ( , ∞). Derivando ⇒

; igualando a cero

X= -1 y X= 9 como x tiene que ser mayor que cuatro (x>4) el valor x= -1 no es

permitido; entonces el área alcanza su mínimo valor cuando X= 9 por lo tanto Y= 18. Así que las dimensiones del volante en que se usara la mínima cantidad de papel son 9x18 pulgadas.

3) se tienen 100 m de tela de alambre con la cual de planea construir dos corrales adyacentes idénticos. Cuáles son las dimensiones del cercado total para el que es máxima el área. Solución: “ea el a ho Y la longitud del cercado total; entonces 2y+3x=100 ⇒

⇒

Como A= xy ⇒

;

además ≤ X ≤

/ hay que maximizar en [0, 100/3] derivando A queda: ⇒

; Luego para X= 0 y dimensiones son

.Los puntos críticos son

el área A= 0; para y

produce A= 416.67 por lo tanto las .

4) se va a cortar una viga rectangular de un tronco de sección transversal circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura; encuentre las dimensiones de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia.

Solución: El diá etro del tro o es a , la a hura de la viga es x la altura y . “e a i iza a S, ósea, la resistencia de la viga que está dada por donde K es una constante de proporcionalidad. La resistencia depende de las dos variables X y Y en donde luego ⇒ . Los valores admisibles de X son:

Como

⇒

√

⇒

⇒

⇒

√

es el único punto crítico de (0, a) es probable que de el máximo de S, al

sustituir a

√

⇒

en

√

√

5) se quiere cercar un lote rectangular de 800 m2 de área. Si uno de los lados está sobre la orilla recta de un rio. ¿Cuáles son las dimensiones del para que la longitud de la cerca sea mínima? Solución: Supongamos que X es el ancho de la cerca. Como ⇒ ⇒

es el largo. La longitud de la . Ésta

cerca total está dada por: se puede expresar: minimiza ⇒

⇒

⇒

y es la que se

ó

⇒

⇒

⇒

,

se

descartan los valores 0 y -20. Para comprobar que X= 20 es valor mínimo relativo se halla la segunda derivada, ósea,

. Si

⇒

.

6) se quiere construir un envase cilíndrico de base circular cuyo volumen es 125 cm3. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada (área total) sea mínima. Solución: R: es el radio de la base en cm H: la altura del cilindro en cm A: material gastado . 1)

,

 Entonces la función que se minimiza es la (1) que tiene variable (R y h); despejamos h de la ecuación del volumen y remplazamos h. 

⇒

⇒

⇒

.

 Se minimiza así: ⇒

√

 Se descarta a

⇒

, ⇒

√

√

⇒

,

.

que se deduce de

7) ¿Cuáles son las dimensiones de un cono área de superficie 10π que encierra el mayor volumen? [Indicación: área de superficie= π r (h2 + r2)1/2; volumen = 1/3 πr2 h]

Solución: La cantidad que se debe maximizar es el volumen ⇒

1). El área de la superficie es:

⁄  ,  Se resuelve para h en términos de r y queda: ⁄

 Luego se remplaza a h en (1) así: ⁄

⁄

 Se deriva y se iguala a cero así:



⁄

⇒ √

⇒

√

⁄ ⁄

⇒

⁄

⇒

√

√

 Luego las dimensiones de r y h son:

⇒

⁄

;

√

√

√

⁄

√

y

⁄

√

⁄

.

√ .

8) Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisférica. Hallar las dimensiones del silo con un volumen fijo de v = 40 π/3 que tiene la menor área de superficie. Inclúyase el piso. Solución: Se toma el volumen del hemisferio y del cilindro y las áreas de cada uno. El volumen de una esfera es: y su área es

.

 El volumen de un cilindro está dado por: cilindro incluyendo su base es:

y el área de la superficie del .

 Luego el volumen del silo está dado por

y su área por:

⇒ .  Hay que minimizar el área y despejar h del volumen que es fijo entonces: ⇒

 Se sustituye en el área: (

)

 Se deriva:

 Luego ⇒

⇒

⇒

;

√

. ⇒

si ⇒

.

⇒

.

. .

Rta: Luego el silo tiene radio 2 y altura 2.

9) Se va a fabricar un recipiente cilíndrico abierto, de volumen de 1 pie3. Hallar las dimensiones que minimizan el área del material usado en su construcción.

.

Solución: El área del material será:  Para hallar h en función de r se tiene que ⇒

⇒

.

 Se deriva A con respecto a r ⇒ ⇒

 Se iguala a cero ⇒

⇒

⇒

⇒

√

pies

 Después remplazo en h y queda [

⁄

[ √

]

]

⁄

√

√

Pies.

10) Hallar las dimensiones del cono circular recto de área máxima de superficie que puede inscribirse en una esfera de radio r= 1. Solución: El área del cono es: do de s es la generatriz => De acuerdo a la figura

√

.

⁄ ⇒ Como la espera tiene radio 1 entonces ⁄

.Aquí hay dos posibilidades: Escoger o o varia le a x o a la variable r. Al remplazar el área en función de r se hace más complejo por lo tanto se remplaza en función de X.  Luego: ⇒

 



⇒ ⇒

⇒

.

 El valor -1 no es válido por lo tanto se toma 

⇒

⁄

√

⇒

⇒

11) Un hombre está en un bote y se encuentra a 24 Km de distancia de una playa recta y desea un punto situado a 20 Km de la playa. Puede viajar a 5 Km por hora en el bote y a 13 Km por hora en tierra. ¿en qué punto deberá atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se requiere para llegar al destino deseado?

Solución: Tómese X el número de Km desde un punto P => la distancia que debe recorrer a 5 Km ⁄

por hora es ósea que el tiempo será:



⁄

⇒

,

 La distancia que recorre a lo largo de la playa es:  Ósea que

⇒

.

 El tiempo total será: ⇒

⁄

. .

 Derivando esta expresión queda:

⁄

 Se iguala a cero ⇒

⇒

⁄

⇒

⇒

⇒

√

⁄

⇒

.

12) Un cartel deberá contener un área impresa de 150 cm2, con márgenes de 3 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm a cada lado. Hallar el área mínima total. Solución: se toma XY a y las di e sio es del área impresa del cartel. Luego el área total está dada por: pero como ⇒ ⇒

luego el área total será:

se

deriva para minimizar y queda: ⇒

Se iguala a cero ⇒

Luego ⇒

⇒

⇒

Luego el cartel medirá: De ancho por

de largo.

13) Se necesita cortar y doblar un pedazo cuadrado de cartón de i metro por cada lado para formar una caja que no tenga parte superior (habrá que recortar pequeños cuadrados en cada esquina). Hallar las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen.

Solución: Se debe maximizar el volumen: donde h y w se relacionan así:

.

⇒

⇒

Se deriva con respecto a w y queda se iguala a cero ⇒ ⇒

máximo que es para ⇒

máximo de

.

⇒

El

⇒ el valor

14) Hallar el punto sobre la gráfica de y=x2+1 que este más cercano al punto (8,3/2)

Solución: Tómese un punto de la parábola . La formula de la distancia entre dos puntos es Pa

√

ósea que de

Se tiene:

[

]

⁄

[

]

⁄

. Esta es

la distancia que se debe minimizar => solo eleva al cuadrado y se deriva así:

√

⇒

⇒

⇒

√ ⇒ el punto p seria:

√

√

√

15) El grosor de un empaque de cartón es el perímetro de un extremo. Las restricciones de embarque requieren que la suma del grosor y la longitud no exceda 100 pulgadas. Hallar las dimensiones del embalaje con un extremo o cuadrado que tenga el mayor volumen. Solución: Se toma un extremo como cuadrado de lado X pulgadas y L pulgadas su longitud, de acuerdo al enunciado debe ser meno o igual a 100. ⇒ . Ósea que X debe ser mayor que cero pero menor que 25. ⇒ Luego el volumen será; ⇒ al derivar se tiene: se iguala a cero ⇒

⇒

luego ⇒

⇒

.

⇒

Pulgadas.

16) Para el embalaje del cartón del problema anterior, suponga que el paquete es cilíndrico (es decir, el extremo es un circulo).

Solución: Se toma un cilindro de radio r y longitud L. El perímetro de la circunferencia es 2πr. ⇒

.

⇒

;

La superficie total del cilindro será: ⇒

Se deriva y se iguala a cero:

⇒

⇒

Pulgadas. Pulgadas.

17) Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que encajaría dentro de un cono de radio 3 y altura 5. Suponer que los ejes del cilindro y del cono coinciden.

Solución: Se debe maximizar el volumen del cilindro . De acuerdo a la figura se toma: El

⇒

Luego

⇒

. Se

Se deriva: iguala a cero

⇒ ⇒

y

⇒

⇒

Si

⇒

.

18) Considere un triángulo rectángulo con sus catetos sobre los ejes coordenados, cuya hipotenusa pasa por (4,3). Hallar el área mínima que pueda encerrar tal triangulo.

Solución: Para hallar el área, primero se obtiene la longitud de la base. La recta que pasa por el punto

, esta

es:

.

recta tiene intersección con X en Luego

el

área

del

triángulo

es ;

la

variable b debe ser mayor o igual a 3 ósea ⇒

.

Se

iguala a cero ⇒ ⇒

⇒

⇒

Rta: El área mínima debe ser 24.

19) Considere círculos que tienen el centro sobre el eje positivo X, y que pasan por el punto (0, a) donde a > 0. Entre tales círculos, ¿Cuál es el centro (x, 0) que maximiza la razón entre X y el área del círculo?

Solución: La razón entre X y el área del pero X y r están

círculo es

relacionados por la ecuación pitagórica . De acuerdo a esta expresión la razón está dada por: se deriva esta razón y queda: se iguala a cero

⇒

⇒

Ósea que X= a produce el máximo valor para la razón R.

⇒

20) ¿Qué numero positivo minimiza la suma entre él y su reciproco? Solución: Sea X el número y es su reciproco  La suma

donde



⇒

. Se deriva y se iguala a cero. ⇒

⇒

21) Hallas las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima que podría inscribirse en un círculo de radio a.

Solución: El área del triángulo es: ⇒ tomando la figura

donde √ queda:

luego el área

y

√ deriva y se tiene: ⇒ ⁄

⇒

⇒

⇒

Ósea que el área máxima del triángulo será cuando ⁄

O sea

√

√

√ ⁄

Se

⁄ ⁄

⇒

√

√

, siendo así

22) Se necesita cortar un alambre de 100 pulgadas de longitud en dos pedazos. Un pedazo deberá doblarse para formar un cuadrado, mientras que el otro formara un círculo. ¿En dónde debería hacerse el corte si la sima de las dos áreas debe ser mínima?

Solución: Se toma un pedazo de alambre con el que se forma el círculo y que llamamos x. Luego el cuadrado se hará con 100-X, o sea el perímetro del circulo será Πr=X y perímetro del cuadrado 4S ósea

ósea

⇒

. El área del círculo

⇒

. El área total es: Se deriva e iguala a cero: ⇒

Ósea que en A, tiene un mínimo en

y área del cuadrado

⇒

.

(

)(

)

23) Una bodega rectangular tendrá dos cuadros rectangulares separados por una pare interior y el piso deberá tener 5000 metros cuadrados de área. El costo de las paredes exteriores es de $150 por m lineal, y el costo de las paredes interiores es de $90 por m lineal. Hallar las dimensiones de la bodega menos costosa.

Solución: Se toma Xm el ancho y largo Ym, ósea.

El área será El costo será

en términos de X será

derivando ⇒

√

⇒

√

Luego

24) Un automóvil va por una autopista hacia el oeste. 90 metros al norte de ella esta estacionada una patrulla de la policía vial. El patrullero observa el radar y ve que el automóvil está a 150 m de distancia de la patrulla y que distancia que los separa está aumentando a razón de 72 m por segundo. Hallar la velocidad del automóvil en ese instante. .

se busca con

respecto

implícitamente (1)

Se deriva al

tiempo

⇒ así

que Y= 120. Debe hallarse

o

⁄ 25) Si

y

durante todo el tiempo t. Hallar

Solución: Se toma la función y se deriva implícitamente como

⇒

cuando

. Al hacer las

y

⇒

t

⇒

Cuando x=150,

sustituimos en ( ) se tiene:

;

,

Solución: Cuando

⇒

. Cuando X=2

;

cuando X = 2. ⇒

. Se deriva de nuevo

;

26) un hombre de 5 pies de estatura se aleja de un poste de alumbrado a razón de 7 pies/seg. El farol del poste está a 20 pies del suelo. Hallar la tasa a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre cuando este se encuentra a 8 pies del poste.

Solución: Tomando la figura y el problema dice que , se pide hallar

.

Para solucionar X y Y se toman la semejanza entre los triángulos de la figura: =

Como

entonces

y

luego (

)

pies/seg.

(

)

27) cada uno de los lados de un estadio de beisbol mide 90 pies. Si la pelota se batea por la línea hacia la tercera base con una velocidad de 100 pies por segundo. ¿Con que rapidez está cambiando la distancia entre la pelota y la primera base cuando la pelota se halla a mitad del camino hacia la tercera base? Solución: El enunciando plantea que

y

pide hallar Cuando X= 45. Por Pitágoras se tiene que Se deriva con respecto al tiempo ; Cuando X= 45 Entonces Así que

√

Entonces 2(45)(100)= 2(

√ )

Entonces X= 45

= 20 √ pies/seg.

28) un aviso rectangular que tiene 24 m de ancho y una profundidad no pertinente, da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro, a razón de 5 revoluciones por minuto. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. ¿con que rapidez está cambiando el ancho del aviso cuando este tiene 12 m de ancho, según lo ve el observador, y su ancho está aumentando? Solución: ω es el ancho del aviso. El enunciado plantea que el aviso gira a razón de 5 Rev/min.

Luego se halla la relación

entre θ y ω según la figura ω=

se θ. Se deriva con respecto al tiempo implícitamente

=

cosθ

cuando ω= se θ= 1/2 dado que el ancho de la viso está aumentando, θ debe estar entre π/2 y 0, así que θ= π/6 en consecuencia =24(cos ) (10π)=120π√ m/min.

29) se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de 20 m3/min. La altura del montón es siempre igual al radio de su base. Cuando el montón tiene 3 metros de altura ¿con que rapidez está aumentando su altura? Solución: el volumen del cono es V= / π h, como r= h. Entonces V= / π Se deriva. Como =π

h= / π

.

=π

=20 cuando h= 3 entonces

=

m/min.

30) considere un triángulo variable en un sistema de coordenadas rectangulares. El vértice A es el origen, el Angulo recto está en el vértice B sobre el eje y el vértice C esta sobre la parábola y = (7/4) x2+1. Si el punto B comienza (0,1) y se mueve hacia arriba a una tasa constante de 2 unidades/seg. ¿Con que rapidez está aumentando el área del triángulo cuando t=7/2 segundos?

Solución: cuando B está en (0, y), C debe estar en e l punto (x, y), en donde es decir: ⟧

⟦

El área del triángulo es ⟦

⟧

derivando con respecto a t se tiene que: ⟦

⟧ ⟧

⟦ ⟦

( )

⟦

)

⟧

⟦ ⟦

⟧

(

⟧

⟧

Como B comienza en (0,1) y se mueve hacia arriba En ese instante [

]

Unidades/seg.

...