Propiedades de los estimadores PDF

Preview

Summary

Propiedades de los estimadores...

Description

Concepto de Estimador  Objetivo de la Inferencia Estadística: Obtención de un valor que pueda asignarse a un parámetro desconocido.  Estimador es una función de los v ariables muestrales, v alores experimentales. Un estimador es una fórmula para generar estimaciones. Por ejemplo la media de la muestra como estimador de la media de la población.  Estimación puntual es un v alor que toma como resultado de la aplicación de una función a una muestra concreta.  Estimaciones son aproximaciones del parámetro desconocido.  Error cuadrático medio del estimador. Es una medida que da una idea de que tan cerca o lejos está el estimador del parámetro.  Otro procedimiento es generar un estimador desarrollando una fórmula que satisfaga ciertas condiciones y asegurando así que se cumplan al menos algunas de las propiedades que resultan deseables.

¿Cuáles son esas propiedades deseables de un buen estimador?

Propiedades de los estimadores ෡ al estimador del parámetro Θ  Llamamos Θ  El estimador es una característica de la distribución de X. Se puede escribir que el estimador se obtiene sustituyendo en una fórmula la observaciones muestrales de X. ෡=Θ ෡ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛  Θ ෡ −𝐸 Θ ෡  𝑉𝑎𝑟 Θ෡ = E Θ

2

෡2 - 𝐸 Θ ෡ =𝐸 Θ

2

෡  Error estándar de Θ෡ = 𝑉𝑎𝑟 Θ ෡−Θ  Error muestral = Θ ෡ −Θ  Sesgo = 𝐸 Θ 2

෡ − Θ Es similar al concepto de  Media del error al cuadrado ECM = 𝐸 Θ varianza. Mide la dispersión en torno al verdadero v alor del parámetro.

Insesgamiento  La propiedad de insesgadez hace referencia a la centralidad de un estimador.  Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución en el muestreo coincide con el parámetro a esti mar. La ausencia de sesgo supone la no existencia del error sistemático.  No debemos confundir media de un estimador con el estimador media.  𝐸 Θ෡ =   Un estimador Θ෡ es asintóticamente insesgado si su posible sesgo tiende a cero al aumentar el tamaño m uestral

Eficiencia  La propiedad de eficiencia puede ser absoluta o relativa. Un estimador es eficiente en sentido absoluto cuando la v arianza del estimador es mínima. No debemos confundir v arianza de un estimador con estimador varianza.  Un estimador es mas eficiente que otro si tiene menor v arianza siendo ambos insesgados ෢1 < 𝑉𝑎𝑟 Θ ෢2  𝑉𝑎𝑟 Θ

 Eficiencia Relativ a ෢1 𝐸𝐶𝑀 Θ ෢2 Θ

෢1, Θ ෢2 )=  Ef(Θ 𝐸𝐶𝑀

 Si son estimadores insesgados ෢1, Θ ෢2 )= 𝑉𝑎𝑟  Ef (Θ 𝑉𝑎𝑟

෢1 Θ ෢2 Θ

 La eficiencia relativ a es siempre mayor que cero, pues o son los errores cuadráticos medios.

෢1 < 𝐸𝐶𝑀 Θ෢2 , esto debemos  Es menor que uno si 𝐸𝐶𝑀 Θ elegir el estimador 1 frente al 2.

Consistencia  El concepto de consistencia va aparejado del tamaño de la muestra y del concepto de límite. En palabras sencillas, viene a decirnos que los estimadores cumplen esta propiedad cuando, en caso de que la muestra sea muy grande, puedan estimar casi sin error.  Un estimador es consistente si converge en probabilidad al parámetro que intenta estimar. ෡ =  lim 𝐸 Θ 𝑛→∞

෡ =0  lim 𝑉 Θ 𝑛→∞

 Si el sesgo y varianza del estimador tienen a cero cuando el tamaño muestral es infinito el estimador es consistente.

Suficiencia  Un estimador es suficiente cuando resume el conjunto de información relevante contenida en la muestra y ningún otro estadístico puede proporcionar información adicional acerca del parámetro desconocido del a población.

Invarianza 

Los estimadores no son invariantes, sino el método de estimación que se utilice es el que ha ser invariante ante cualquier transformación.



Si para estimar la varianza poblacional 𝜎 2 se utiliza como estimador la varianza muestral 𝑠2𝑛 entonces para estimar la desv iación estándar poblacional el método utilizado si es invariante debería proporcionar como resultado que 𝜎ෝ = s la desv iación estándar muestral.



Un ejemplo de propiedad deseable es la de invariante ante cambios de escala. Esta propiedad indica que, en caso de cambiar la unidad de medida, no cambia el valor a estimar. Por ejemplo, si medimos los árboles en centímetros y luego en metros, el v alor medio debe ser el mismo. Con lo cual, podríamos decir que la media es un estimador invariante ante cambios de escala.



Otra propiedad que suelen indicar, es la de invariante ante cambios de origen. Por seguir con el caso anterior, vamos a ver un caso hipotético. Supongamos que tras medir todos los árboles, concluimos que debemos añadir 10 centrímetros a la altura registrada de cada árbol. El listón utilizado estaba mal medido y tenemos que realizar este cambio para ajustar los datos a la realidad. Lo que estamos realizando es un cambio de origen. Y la pregunta es ¿cambiará el resultado de altura media?



Al contrario que en el cambio de escala, aquí el cambio de origen sí que afecta. Si resulta que todos los árboles miden 10 centímetros más, entonces la altura media se elevará.



Por tanto, podemos decir que la media es un estimador invariante ante cambios de escala pero variante ante cambios de origen.

Robustez  Se dice que un estimador es robusto en caso de que, a pesar de que la hipótesis de partida sea incorrecta, los resultados se asemejan mucho a los reales.  Estos aspectos se refieren al alejamiento de la función de distribución atribuida a una v ariable aleatoria respecto de la v erdadera distribución, desconocida....