Przykład 1gfp PDF

Preview

Summary

Przykład...

Description

Przykład Dany jest złożony przekrój powstały z zestawienia dwóch kształtowników, w przekroju wykonany jest otwór o średnicy 2 cm. Wyznaczyć położenie głównych środkowych osi bezwładności oraz obliczyć momenty bezwładności względem tych osi.

C140 figura I

20

30

L120x80x12 figura II

otwór figura III Dane dotyczące kształtowników przyjęto z Tablic do projektowania konstrukcji metalowych, W. Bugucki, M. Żyburtowicz. Figura I – Ceownik C 140

x

h

x

tf

e

h = 140mm bf = 60mm e = 1,75cm tf = 10mm A = 20,4cm2 Ix = 605cm4 Iy = 62,7cm4 Moment odśrodkowy ceownika względem własnych osi środkowych: Ixy = 0,0cm4 (ponieważ oś x jest osią symetrii przekroju).

bf

t

ey

b

Figura II – Kątownik nierównoramienny L 120x80x12 y a = 80mm b = 120mm t = 12mm t ex = 4,00cm ey = 2,03cm ex x x A = 22,7cm2 Ix = 323cm4 Iy = 114,3cm4 Iξ = 371cm4 a Iη = 66,6cm4

20

Figura III – otwór 12

10

A = (tf+t)·20 = (10+12)·20 = 440mm2 = 4,40cm2

7,00

7,00

3,00

y0II

y0III

z0II

z0III

0,10

y

1,75

4,00 2,03

8,00

y0I z0I

z Przyjęto początkowy układ osi współrzędnych y, z oraz dla wszystkich figur składowych określono położenie środków ciężkości i zaznaczono własne osie środkowe. Wyznaczenie położenia środka ciężkości całej figury złożonej. 𝑦0 =

𝑆𝑦 𝑆𝑧 , 𝑧0 = 𝐴 𝐴

𝐴 = 𝐴𝐼 + 𝐴𝐼𝐼 − 𝐴𝐼𝐼𝐼 = 20,4 + 22,7 − 4,40 = 38,70𝑐𝑚2 𝑆𝑦 = 𝑆𝑦𝐼 + 𝑆𝑦𝐼𝐼 − 𝑆𝑦𝐼𝐼𝐼 = 20,4 ∙ 1,75 + 22,7 ∙ 2,03 − 4,40 ∙ 3,0 = 68,58𝑐𝑚 3 𝑆𝑧 = 𝑆𝑧𝐼 + 𝑆𝑧𝐼𝐼 − 𝑆𝑧𝐼𝐼𝐼 = 20,4 ∙ 7,0 + 22 ,7 ∙ −4,0 − 4,40 ∙ −0,1 = 52,44𝑐𝑚 3 𝑆𝑧 52,44 𝑦0 = = = 1,36𝑐𝑚 38,70 𝐴 𝑆𝑦 68,58 𝑧0 = = = 1,77𝑐𝑚 𝐴 38,70

Przyjęcie nowego układu współrzędnych (0y0z0), którego początek znajduje się w środku ciężkości figury złożonej (układ osi środkowych).

3,00

y0II

y0III

z0II 0,10

z0III

z z0

7,00 1,75

4,00 2,03

1,77=z0

8,00

1,36 =y0 7,00

y0I z0I

y y0

Obliczenie osiowych momentów bezwładności Iy0, Iz0 oraz odśrodkowego (dewiacyjnego) momentu bezwładności Iy0z0 względem układu osi środkowych. 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼 + 𝐼𝑦0 − 𝐼𝑦0 = 𝐼𝑦0𝐼 𝐼𝑦0 = 𝐼𝑦0 + 𝐴𝐼 ∙ 𝑧0𝐼

= 62,7 + 20,4 ∙ −0,02

2

𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐼𝐼 ∙ 𝑧0𝐼𝐼 2 − 𝐼𝑦0𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 ∙ 𝑧0𝐼𝐼𝐼 2 = + 𝐼𝑦0𝐼𝐼 2,2 ∙ 2,03 + 4,4 ∙ 1,232 = 170,42𝑐𝑚4 + 114,3 + 22,7 ∙ 0,262 − 12

𝐼 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐼 ∙ 𝑦0𝐼 + 𝐼𝑧0 − 𝐼𝑧0 = 𝐼𝑧0𝐼 𝐼𝑧0 = 𝐼𝑧0

2

𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 ∙ 𝑦0𝐼𝐼𝐼 2 = + 𝐼𝑧0𝐼𝐼 + 𝐴𝐼𝐼 ∙ 𝑦0𝐼𝐼 2 − 𝐼𝑧0𝐼𝐼𝐼 2,0 ∙ 2,23 + 4,4 ∙ −1,46 2 = 2217 ,92𝑐𝑚4 = 605 + 20,4 ∙ 5,642 + 323 + 22,7 ∙ −5,36 2 − 12 2

𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 + 𝐼𝑦0𝑧0 − 𝐼𝑦0𝑧𝑜 = 𝐼𝑦0𝐼𝑧0𝐼 + 𝐴𝐼 ∙ 𝑧0𝐼 ∙ 𝑦0𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 ∙ 𝑧0𝐼𝐼𝐼 ∙ 𝑦0𝐼𝐼𝐼 𝐼𝑦0𝑧0 = 𝐼𝑦0𝑧0 𝑦0𝐼𝐼𝑧 0𝐼𝐼 + 𝐴 ∙ 𝑧0𝐼𝐼 ∙ 𝑦0𝐼𝐼 − 𝐼𝑦0 𝐼𝐼𝐼𝑧 0 𝐼𝐼𝐼 + 𝐴

Wyznaczenie momentu dewiacyjnego kątownika nierównoramiennego L 120x80x12. Korzystając ze wzorów na główne środkowe momenty bezwładności: 𝐼1 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼2 = 𝐼𝑚𝑖𝑛 =

𝐼𝑦0𝐼𝐼 + 𝐼𝑧0𝐼𝐼 𝐼𝑦0𝐼𝐼 − 𝐼𝑧0𝐼𝐼 + 2 2

𝐼𝑦0𝐼𝐼 + 𝐼𝑧0𝐼𝐼 𝐼𝑦0𝐼𝐼 − 𝐼𝑧0𝐼𝐼 − 2 2

i odejmując je stronami otrzymano:

𝐼1 − 𝐼2

𝐼𝑦0 𝐼𝐼𝑧 0 𝐼𝐼 = ±

2

2

−

2

+ 𝐼𝑦0 𝐼𝐼𝑧 0 𝐼𝐼 2

2

+ 𝐼𝑦0 𝐼𝐼𝑧 0 𝐼𝐼 2

𝐼𝑦0𝐼𝐼 − 𝐼𝑧0𝐼𝐼 2

2

Uwzględniając, że kierunek maksymalnego środkowego momentu bezwładności oznaczany jest przez ξ, a kierunek minimalnego środkowego momentu bezwładności oznaczany jest przez η wzór na moment dewiacyjny kątownika względem własnych środkowych osi bezwładności przyjmie postać: 𝐼𝑦0𝐼𝐼𝑧0𝐼𝐼 = ±

𝐼𝑦𝐼𝐼𝑧𝐼𝐼 = ±

𝐼𝜉 − 𝐼𝜂 2

371 −66,6 2

2

−

2

−

𝐼𝑦0𝐼𝐼 − 𝐼𝑧0𝐼𝐼

2

2

323 −114 ,3 2 2

= ±110,80 cm4

Znak momentu dewiacyjnego zależy od położenia kątownika w stosunku do układu własnych środkowych osi bezwładności y0II, z0II (położenie kątownika wg przekroju).

y0II z0II Większa część pola kątownika znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, w których iloczyn współrzędnych y, z jest dodatni, więc przyjmuje się, że moment dewiacyjny kątownika jest dodatni. 𝐼𝐼 = 110,80 cm4 𝐼𝑦0𝐼𝐼𝑧0𝐼𝐼

Uwaga! W przypadku kątowników równoramiennych momenty bezwładności Ix = Iy, a więc wzór na moment dewiacyjny uprości się do postaci: 𝐼𝑦𝑧 = ±

𝐼𝜉 − 𝐼𝜂 2

𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝑦0𝑧0 = 𝐼𝑦0𝑧0 + 𝐼𝑦0𝑧0 − 𝐼𝑦0𝑧𝑜 = 𝐼𝑦0𝐼𝑧0𝐼 + 𝐴 ∙ 𝑧0𝐼 ∙ 𝑦0𝐼 + 𝐼𝑦0𝐼𝐼𝑧 0𝐼𝐼 + 𝐴 ∙ 𝑧0𝐼𝐼 ∙ 𝑦0𝐼𝐼 − 𝐼𝑦0 𝐼𝐼𝐼𝑧 0 𝐼𝐼𝐼 + 𝐴 ∙ 𝑧0𝐼𝐼𝐼 ∙ 𝑦0𝐼𝐼𝐼 = = 0 + 20,4 ∙ −0,02 ∙ 5,64 + 110,80 + 22,7 ∙ 0,26 ∙ −5,36 − 0 + 4,4 ∙ 1,23 ∙ −1,46 = 84,77𝑐𝑚 4

Wyznaczenie położenia głównych środkowych osi bezwładności. 𝑡𝑔2𝜑 =

2 ∙ 𝐼𝑦0𝑧0 𝐼𝑧0 − 𝐼𝑦0 2 ∙ 84,77

𝑡𝑔2𝜑 =

= 0,08280 2217,92 − 170,42 2𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,08280 = 4,7335°/: 2 𝜑 = 2,367°

1,36 =y0

1,77=z0

y y0 y0g

z z0g

z0

Obliczenie wartości głównych środkowych momentów bezwładności. 𝐼𝑧0𝑔 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 =

𝐼𝑦0 − 𝐼𝑧0 𝐼𝑦0 + 𝐼𝑧0 + 2 2

2

+ 𝐼𝑦0𝑧02 =

170,42 − 2217,92 170,42 + 2217,92 + 2 2

= 1194,17 + 1027,25 = 2221,42𝑐𝑚 4 𝐼𝑦0𝑔 = 𝐼𝑚𝑖𝑛 =

𝐼𝑦0 + 𝐼𝑧0 𝐼𝑦0 − 𝐼𝑧0 − 2 2

2

+ 𝐼𝑦0𝑧02 = 1194,17 − 1027,25 = 166,92𝑐𝑚 4

2

+ 84,772 =...