Quadripoles PDF

Preview

Summary

Download Quadripoles PDF

Description

QUADRIPOLES I. Définition Un quadripôle est un réseau qui communique avec l’extérieur par deux paires de bornes.

On s’intéresse aux quadripôles linéaires : les circuits ne comprennent que des composant linéaires (sources, R,L,C) On distingue les quadripôles passifs et actifs (pour ces derniers, ion suppose que les sources sont liées à des grandeurs internes). CONVENTIONS :

« On compte positivement les courants rentrants ». On va utiliser une représentation matricielle et tout est généralisable au régime permanent sinusoïdal (notation en termes de nombres complexes).

II. Représentation des quadripôles Parmi les 4 grandeurs v 1, v 2, i1 et i2 , deux peuvent être considérées comme des variables indépendantes. On a ainsi 6 (combinaison de 2 parmi 4) possibilités de représenter le comportement du quadripôle. 1) MATRICE Z (impédance) On écrit le système d’équations suivant Système qui peut être écrit sous forme matricielle :      =    +       =        ou  = :    =    +         2) Matrice Y (admittance)

 =  +  On écrit le système d’équations suivant :    =   +        

Système qui peut être écrit sous forme matricielle :        =        ou   = 

Remarque : à partir de  =  →     =    →    =   d’où  =   . (règle d’inversion de matrice….) Rappel : Une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul. Dans le cas d’une matrice   −   2x2 on écrit :  =  .  alors   =  !  −    3) Matrice H (hybride)

 = ℎ   + ℎ   On écrit le système d’équations suivant :     = ℎ   + ℎ 

Système qui peut être écrit sous forme matricielle :   ℎ ℎ      ou    = $      =   ℎ ℎ      4) Matrice Chaîne (Ch) ou ABCD

 =   − %  On écrit le système d’équations suivant :     = &  − '  Système qui peut être écrit sous forme matricielle :   %      =  & ' − 

Cette matrice est très utilisée lors de l’étude de la mise en cascade de quadripôles (voir paragraphe 6) Il existe aussi deux autres types de matrices appelées [G] et [B] qui ne sont que très rarement utilisées….

III. Détermination des paramètres 1) Principe On peut donner une signification « physique » à chaque élément de matrice…. Pour les calculer, la méthode est toujours la même. ) ) Soit une équation quelconque du type : ( =  + , on dit que  =  *+ et  = , + ,-.

*-.

.

Si on remplace x, y ou z par des tensions ou des courants, on voit que faire ces calculs consiste à considérer le circuit constitué par le quadripôle en y mettant un court-circuit (CC) ou un circuitouvert (CO) en entrée ou en sortie et de calculer la relation entre les termes souhaités. Attention : cela n’est pas toujours possible et pour certains circuits certains paramètres n’existent pas (voir exemples) …

  =    +    Considérons la matrice Z : :   =    +   Le paramètre   = 1 0  /

0

12-.

 Impédance d’entrée à sortie ouverte. Le paramètre   =  0 

/ 1 2 1 -. 0

 Réaction sortie-entrée à entrée ouverte. Le paramètre   =  12  /

0

12-.

 Réaction entrée-sortie à sortie ouverte. Le paramètre   =  12  /

2

10-.

 Impédance de sortie à entrée ouverte. 2) Quelques exemples simples Soit le quadripôle suivant (résistance série) :

On va montrer que la matrice admittance existe, la matrice chaine aussi…. Mais pas la matrice impédance. La matrice admittance s’écrit : 

  =   +     =   +  

 =  0 

on a le schéma équivalent suivant :

 =  0 

on a le schéma équivalent suivant :

1 / 0 / -. 2

on écrit : − + 3 = 0 donc

1 / 2 / -. 0

on écrit : 3 +   = 0 donc

10 /2

10 /0

=

 5

=−

 5

On procède de manière équivalente pour les deux autres et on a  = 6  =  − %  Pour la matrice chaine, on écrit :    = & − ' /  =  0+

/2 1 -.

1 & =  0+

/2 1 -. 2

=1

=0

18 3 1 − 83

/ %= 0+

12 / - . 2

car   = 

(car  = 0)

1 & =  0+

12 / - . 2

− 1 83 9 18 3

= 3

= 1

car  = −3 

(car   = − )

1 3 Donc &ℎ =   0 1 En étudiant la matrice admittance, on observe que son déterminant est nul…. Donc cette matrice n’est pas inversible. En conséquence la matrice impédance Z n’existe pas pour ce circuit… Qu’en est-il du circuit :

3 3  et que Y n’existe pas puisque le déterminant de Z est nul… 3 3 1 0 Egalement, on calcule &ℎ =  : 1/3 1< On montre que  = 

Dernier exemple :

On calcule :   =  = = 3 + 3>  1 - . 2

  =  =  1

0 -.

= 3>

 = = 3 + 3>  1 -.

 = 

2

 = = 3 + 3>   1 -.

 = 

0

3 +3 D’où  =   3 > >

3> 3 + 3> 

Si 3 = 3 = 3> = 3 alors 23 3 =  3 23

IV. Correspondance entre grandeurs Un même quadripôle peut être représenté par plusieurs matrices différentes, il est donc nécessaire de pouvoir passer de l’une à l’autre. Il existe donc des formules de passage, voir table téléchargeable sur le cours Moodle, permettant ces transformations… Attention, ces passages peuvent être soumis à condition, notamment en fonction de la valeur du déterminant des matrices….

V. Quadripôles passifs – Règles de simplification Les quadripôles passifs (ne contenant que des éléments passifs de type R, L, C et pas de sources internes) permettent d’établir des règles de simplification et il ne sera pas nécessaire de calculer les 4 éléments de matrice : 3 suffiront grâce au THEOREME DE RECIPROCITE… Rappel : Théorème de réciprocité.

Appliquons ce théorème aux diverses matrices : a) Matrice H Il faut donc étudier les deux circuits suivants :

Source en sortie – Court -circuit en entrée

On a : 

0 = ℎ   + ℎ    = ℎ   + ℎ 

Source à l’entrée – Court- circuit en sortie

On a : 

De la première équation, on extrait : ℎ   = −    ℎ

Le théorème de réciprocité nous impose que : 

On en déduit donc que ℎ  = −ℎ

@ = ℎ @   @ = ℎ @

De ces deux équations, on extrait : @ @ = ℎ  ℎ

 @ =    @ =  

b) Matrice Z (idem pour Y) 

 =    +     =   +   

 

Par réciprocité : 

@ =    @ = 

      

Source sortie – C.C entrée 0 =    +       =   +    Source entrée – C.C sortie  ′ =   ′ +   ′    0 =   ′ +   ′

Donc :

Source sortie – C.C entrée 0 =   − %     = & − '   Source entrée – C.C sortie @ = −% ′  @   = −' ′

Donc :  B' − %&C = −% 

 =    −

Donc :

 @ = −

Donc :  =   (de même :  = )

   ′ +    ′   

c) Matrice Chaîne

 =  − %    = &  − '   





 

Par réciprocité : 

@ =    @ = 

Donc :

Donc : ' − %& = 1

d) Résumé : ℎ  = −ℎ  = Pour un quadripôle passif :D  =     ' − %& = 1

@ = −% ′

REMARQUE : Quadripôles passifs symétriques. On peut obtenir une relation supplémentaire en écrivant que les coefficients des équations ne changent pas lorsque l’on permute les grandeurs d’entrée et de sortie : SYMETRIE Exemple :



Normal : En inversant 1 et 2 : Résumé :



 =   +     =   +     =   +     =   +   

Comme le quadripôle est passif :  =  Pour que les deux systèmes soient identiques, il faut donc en plus :  = 

EF$ = 1 ∗ Si le quadripôle est passif et symétrique, on a en plus : D  =     =   =' *Bℎ ℎ − ℎ ℎ = 1C

VI. Association de quadripôles On peut trouver communément trois types d’association de quadripôles : - En série - En parallèle - En cascade

Attention : on présente souvent l’association série qui permet d’additionner dans certains cas des matrices Z de quadripôles pour trouver la matrice Z d’un quadripôle plus complexe… Néanmoins les conditions d’utilisation de cette règle sont très restrictives et il est DANGEREUX de l’utiliser. Il n’en va pas de même des deux associations suivantes : a) Association parallèle (sur les matrices Y) : Schéma :

On peut écrire :

  @@ + ′′ J  =  =   + ′′ @  +  @@ C  ′ = ′  @ @@  I  =   =  et sachant que :  ′′ = ′′  alors  = B H  @ =  @@ = 

Donc :  = @  +  @@

b) Association en cascade (sur les matrices chaines)

On observe que v 2’ = v 1’’ et que i2 ’ = -i1

Soit &ℎK@ = ′ %′ et &ℎ K@@ = ′′ %′′ &′ '′ &′′ '′′

On peut alors écrire :  ′  ′′  ′  ′′  ′′    = ′ %′    = ′ %′    , or    = ′′ %′′     ′ ′′  ′ −   − ′′ &′ '′ &′ '′  &′′ '′′    ′′

Donc : 

 ′ ′ %′ ′′ %′′   ′′    =  ′ &′ '′ &′′ '′′ − ′′

En appelant Q le quadripôle complet, on a donc : &ℎ K = &ℎ K@ &ℎK@@ ATTENTION :

l’ordre dans lequel on considère les matrices est important car le produit de matrices N’EST PAS COMMUTATIF

VII. Exemple d’un quadripôle chargé En électronique, on est souvent amené à s’intéresser à la notion de QUADRIPÔLE CHARGE… Il s’agit tout simplement de brancher une impédance de charge Z L quelconque en sortie :

On définit alors différentes quantités : / - Gain en tension : / = 2 -

Gain en courant :1 =

/0 12 10

-

/0

Impédance d’entrée L = 1 0 : Impédance de sortie : M =

Gain en puissance O =

O2 O0

/2 Bà = 12

0 et en absence de Z L)

Ces différentes grandeurs peuvent être calculées et le résultat dépend bien évidemment du type de matrice utilisée pour représenter le quadripôle. Prenons comme exemple la représentation en termes de matrice hybride H a) Gain en tension Aux équations classiques de la matrice, se rajoute une troisième équation….  = ℎ  + ℎ  B1C D   = ℎ   + ℎ  B2C (avec P = 1 ⁄ P)   =  −P  B3C (3)  (2) : −P = ℎ  + ℎ  donc :  = − On reporte dans (1) :   = −ℎ  Finalement :  / =

/2 = /0

−

S22 TUV  + S20

S20 WSTS00 U V

S22TU V  S20

ℎ 

(avec Δℎle déterminant de H)

Remarque : dans la pratique, on a souvent ℎ ~ℎ ~0 soit Δℎ~0 donc  /~ − b) Gain en courant

(2)    = ℎ  + ℎ    =  ℎ   + ℎ B−P  C donc  B1 + ℎ   PC = ℎ    Finalement :  1 =

12 10

=

S20 TS 22ZV

Remarque : souvent ℎ  P  ≪ 1 donc  1 ~ℎ c) Impédance d’entrée On utilise (1) et   = −

On obtient alors L =

S22 TUV  S 20

/0 10

pour supprimer   dans (1).

= ℎ −

S02 S20 S22 TUV

Remarque : avec ℎ ~ℎ ~0 alors  L ~ℎ d) Impédance de sortie On coupe le générateur d’entrée (v 1 = 0) et on enlève Z L.

S 20  S 00 P

S 02    + ℎ    d’où   =  − S  0 = ℎ 00 On a donc :   = ℎ  + ℎ 

Alors M =

12 = /2

ℎ  −

S20 S02 S00

Remarque : avec ℎ ~ℎ ~0 alors  M =

  ~ U\ S 22

e) Gain en puissance O =

O2 / 1 = +2 2+ O0 /0 10

= |/ 1 | =

S20 S  20 WSTS00 UV TS 22 ZV

Qui avec les approximations précédentes devient :  ^ ~

S220 S00

P...