Raciocínio Lógico PDF

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Resumão Raciocínio Lógico....

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Estruturas Lógicas ✓ Compreensão do processo lógico; ✓ Sentenças, sentenças fechadas, sentenças abertas; ✓ Proposições; ✓ Linguagem lógica e natural, proposições simples e compostas; ✓ Operadores lógicos;

Sentenças Expressão de um pensamento completo, é composta por um sujeito (termo a respeito do qual se declara algo) e por um predicado (o que se declara sobre o sujeito); Exemplos: a) André é uma pessoa que se preocupa com o próximo. (SENTENÇA AFIRMATIVA) b) O estudo de raciocínio lógico não é difícil. (SENTENÇA NEGATIVA) c) Que dia você participará de mais uma reunião de estudos? (SENTENÇA INTERROGATIVA) d) Que matéria mais gostosa de estudar! (SENTENÇA EXCLAMATIVA) e) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você; seja caridoso. (SENTENÇA IMPERATIVA) Quanto à sua interpretação lógica, as sentenças podem ser abertas ou fechadas: I - Sentença abertas: são aquelas em que não é possível determinar o sujeito, sendo assim chamadas por não serem passíveis de interpretação. Uma forma simples de identificar uma sentença aberta é perceber que ela não pode ser nem V (verdadeira) nem F (falsa). Exemplos: a) Ela foi a melhor aluna do curso de Raciocínio Lógico para as carreiras de tribunais. Quem é ela? b) Aquele é juiz do TRT da 1ª Região. Quem é ele? Não podemos definir quem é o sujeito, ou a qual conjunto ele pertence. c) x + 5 = 10 Quem é o x? É número? É objeto? O que é? d) Que prova mais difícil! (SENTENÇA EXCLAMATIVA) Em regra, frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois expressam pensamentos subjetivos para os quais não temos uma interpretação formal. Exceção: uma frase exclamativa pode ser fechada, quando esta pode ser valorada de acordo com o diálogo. e) Você não vai tirar férias este ano de novo? (SENTENÇA INTERROGATIVA) Frases interrogativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las. f) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para o meu conselho. (SENTENÇA IMPERATIVA) Frases imperativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las.

II - Sentenças fechadas: podem ser definidas como pensamentos completos, nos quais é possível determinar o sujeito. As sentenças fechadas possuem valoração lógica, isto é, podem ser verdadeiras ou falsas, porém, nunca serão ambas. Exemplos: a) Mariana foi aprovada em Química Geral. (Pode ser V ou F) b) O vereador Vitor não participou do esquema. (Pode ser V ou F) 3 Leis ou Princípios dos pensamentos fechados (Proposições): I - Princípio da Identidade: afirma que todo o enunciado da forma p ⊃ p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. Quer dizer que se um pensamento (proposição) for verdadeiro, então será sempre verdadeiro. II - Princípio da Não contradição: afirma que todo o enunciado da forma p ∧¬ p é falso, ou seja, todo o enunciado desse tipo é contraditório. Nesse caso, um pensamento (proposição) não pode ser verdadeiro e falso simultaneamente. III - Princípio do Terceiro excluído: afirma que todo o enunciado da forma p ∨ ¬ p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. Esse princípio declara que não há uma terceira valoração, seja qual for a afirmação, e, caso exista, deve ser excluída. Lógica bivalente: suposição de que, sob cada interpretação, toda a proposição é verdadeira ou falsa, encontrando-se na base da lógica clássica, proposicional e quantificacional. Na lógica bivalente, afirmase que uma proposição será verdadeira ou falsa, não admitindo um terceiro valor e devendo este ser excluído caso exista. Lógica trivalente: aborda a possibilidade de um terceiro valor lógico, considerando, num contexto modal, proposições contingentes futuras como, por exemplo: “Amanhã haverá uma batalha naval”, às quais não pode ser atribuído, no momento presente, um valor lógico determinado e sugerem a existência de um terceiro valor lógico, que se trata da Incerteza.

Proposições É uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, à qual se pode atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso). Essa valoração é chamada de valor-lógico ou valor-verdade, assim, inferimos que as sentenças fechadas são denominadas de proposições.

Expressões são frases que não possuem sentido completo, isto é, não têm sujeito nem predicado. Exemplo: dois terços.

Linguagem da Lógica Formal Representação das Proposições: As proposições podem ser representadas por letras, sendo essas maiúsculas ou minúsculas. Exemplo: p: As praias do Rio Grande do Norte trazem uma paz sem limites. q: O mundo precisa de pessoas que se importam com o próximo. r: Alunos dedicados conseguem alcançar seus sonhos. I - Proposições simples ou básicas: são as que expressam apenas um pensamento. Podem também ser entendidas como aquelas que apresentam apenas uma ação, isto é, apenas um sujeito (simples ou composto), um verbo e um predicado. Exemplos: a) Brasília é uma cidade com uma arquitetura admirável. b) João Pedro alcançou uma vaga no concurso dos seus sonhos. II - Proposições compostas: expressam mais de um pensamento e costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. No caso das proposições compostas, teremos mais de uma ação, ou seja, mais de um sujeito (simples ou composto), mais de um verbo e um predicado. Exemplo: A lógica é uma ciência do raciocínio e a matemática nos ensina a entender o universo. Atenção: toda proposição composta precisa de uma ferramenta denominada Operador lógico.

Operadores ou Conectivos Lógicos São elementos que operam as proposições simples para formarem novas proposições, as proposições compostas.

Condicional: “Se…, então…” – pode ser escrito: quando, quem, aquele, como, todo etc. Na verdade, pode ser qualquer termo, desde que expresse a ideia de condição. Atenção: o único operador lógico que não permite trocar de posições suas proposições simples é o conectivo condicional. Dessa forma, podemos inferir que: P → Q ≠ Q → P. A partícula “se” sempre anuncia o antecedente, independentemente da posição que ocupa na sentença, enquanto o termo “então” anuncia o consequente. Conjunção: “e” – podem haver situações em que não apareça o operador, porém, devemos interpretar que está implícito. Exemplos: “Não basta a mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta.” “Não sou traficante, sou usuário.” Ambas se tratam de proposições compostas, operadas por um conectivo de conjunção “e”. Bicondicional: “Se, e somente se” – pode ser interpretado: “assim como”. Hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é, sua força: I – Bicondicional; II – Condicional; III – Conjunção e disjunção/disjunção exclusiva; IV – Negação; Ordem de precedência para os conectivos: ~ depois de ∧, depois de ∨, depois de →, depois de ↔. Essa ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais “fraco” é ~ e o mais “forte” é o ↔. Exemplos: r ∧ p ↔ s → q = Proposição bicondicional, não podendo ser uma condicional ou uma conjunção. Para que se converta o seu sentido em uma Condicional, os parênteses são obrigatórios: ((r ∧ p) ↔ s) → q) Por analogia podemos ter uma Conjunção: r ∧ (p ↔ (s → q))

Símbolos utilizados na Lógica matemática:

Tabela da Verdade Em uma proposição composta formada por n variáveis proposicionais, ou seja, n pensamentos simples, a tabela-verdade possuirá 2n linhas.

Exemplos: 1) Proposição P

2) Proposição composta P^Q

3) Proposição composta (P ˄ Q) ˅ R

4) Proposição composta (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S)

I - Tabela da Verdade na Conjunção – “e/mas” (Símbolo: ˄) Exemplo:

Nas conjunções, só será verdadeiro se os elementos pertencerem à interseção (área pintada). • O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na interseção. Logo, será verdadeiro. • O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será falso. • O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será falso. • O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será falso. Resumindo: na Conjunção, só será V se tudo for V.

II - Tabela da verdade na Disjunção – “ou” (Símbolo: ˅) Exemplo:

Nas disjunções, só será verdadeiro se os elementos pertencerem à união (área pintada). • O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na interseção. Logo, será verdadeiro. • O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será verdadeiro. • O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será verdadeiro. • O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será falso. Resumindo: na Disjunção, será V quando pelo menos uma proposição for V.

III - Tabela da verdade na Disjunção exclusiva – “ou...ou...” (Símbolo: v)

Nas disjunções exclusivas, só será verdadeiro se os elementos não pertencerem à interseção, ou seja, quando forem exclusivos (pertencerem a área pintada). • O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na interseção. Logo, será falso. • O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será verdadeiro. • O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será verdadeiro. • O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção. Logo, será falso

Resumindo: na Disjunção exclusiva, só será V se os valores das proposições forem diferentes.

IV - Tabela da Verdade na Condicional – “se..., então...” (Símbolo: →)

Na Condicional, será verdadeiro se os elementos cumprirem a condição determinada pela inclusão A U B, ou seja, apenas 3 elementos “a, b, c” podem existir, de acordo com o diagrama. • O elemento referente à primeira linha indica que se pertence a A, então pertence a B, ou seja, pode acontecer. No diagrama, é representado pelo elemento a; logo, será verdadeiro. • O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não pertence a B, ou seja, não pode acontecer. No diagrama, não temos elemento representando essa possibilidade; logo, será falso. • O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então pertence a B, ou seja, pode acontecer. No diagrama, é representado pelo elemento b; logo, será verdadeiro. • O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não pertence a B, ou seja, pode acontecer. No diagrama, é representado pelo elemento c; logo, será verdadeiro. Em uma proposição condicional, não existe a possibilidade de termos a primeira V e a segunda F. Então: - Se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda deverá ser considerada verdadeira; se sabemos que a segunda é F, a primeira deverá ser considerada F. - Se sabemos que a primeira é F, não temos como deduzir o valor lógico da segunda; se sabemos que a segunda é V, não temos como deduzir o valor lógico da primeira.

Atenção: p → q ≠ q → p Resumindo: na Condicional, só será F se tivermos V no antecedente e F no consequente

V - Tabela da Verdade na Bicondicional – “se, e somente se” (Símbolo: ↔) Exemplo: A: Gosto de lógica analítica. B: Gosto de estatística inferencial.

Na Bicondicional, será verdadeiro se os elementos cumprirem a condição determinada pela inclusão (A U B) U (B U A). Ou seja, ou conjuntos são iguais, pois o conjunto A está contido em B e,

simultaneamente, B está contido em A. • Se é verdade que “gosto de lógica analítica”, obrigatoriamente é verdade que “gosto de estatística inferencial”. • Se for verdade que “gosto de estatística inferencial”, obrigatoriamente é verdade que “gosto de lógica analítica”. • Se for falso que “gosto de lógica analítica”, obrigatoriamente é falso que “gosto de estatística inferencial”. • Se é falso que “gosto de estatística inferencial”, obrigatoriamente é falso que “gosto de lógica analítica”. Resumindo: na Bicondicional, se a primeira for V a segunda será V ; se a primeira for F a segunda será F.

VI - Tabela da Verdade na Negação ou Modificador lógico (Símbolo: ¬ ou ~) O “não” é chamado de modificador lógico porque, ao ser inserido em uma proposição, muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição.

Maneiras que aparecem nas provas:

Lógica de Argumentação Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz de forma válida a conclusões determinadas.

1) Argumento Lógico Um argumento possui a seguinte estrutura, em que algumas proposições são denominadas premissas

(hipóteses) e outra é denominada de conclusão (tese).

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições (P1, P2, P3, ... Pn), chamadas premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada conclusão (tese) do argumento. Isso significa que para ser um argumento basta ter estrutura.

Os argumentos muitas vezes podem começar pela conclusão para depois apresentar as premissas, porém isso fica claro com a presença de termos que são responsáveis por apresentar as premissas e a conclusão. Termos que anunciam premissas em um argumento: “pois” e “porque”. Termos que anunciam conclusão em um argumento : “logo”, “assim”, “portanto” e “então”.

Regras de Inferência: I – Modus Ponens

II – Generalização Universal

Teoremas: • As premissas estão sempre à esquerda do sinal ∴ anunciando uma conclusão. • Uma vírgula (,) separa duas premissas (hipótese).

• Rec. Significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.

Uma inferência lógica é constituída de premissas verdadeiras para que se deduza uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: “Se as premissas fornecem bases ou provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto”. 2) Formas de Argumentos I – Argumento Dedutivo: ocorre quando sua conclusão trouxer apenas informações obtidas das premissas, ainda que implícitas, sendo um argumento de conclusão não ampliativa. • Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadeiras, a conclusão será NECESSARIAMENTE verdadeira. • Geralmente são estéreis, uma vez que não apresentam nenhum conhecimento novo, visto que a conclusão já está contida nas premissas, nunca indo além destas.

II – Argumento Indutivo: ocorre quando sua conclusão traz mais informações do que as premissas fornecem, sendo um argumento de conclusão ampliativa (mais usado pelas ciências). • Geralmente parte de dados da experiência, e desses dados chega-se a enunciados universais. Com base em dados particulares do presente, as ciências fazem as conjecturas do futuro. • É probabilística, ou seja, a conclusão não decorre necessariamente das premissas, isso é impossível uma vez que ela enumera casos particulares e por probabilidade infere uma verdade universal. A conclusão da indução tem apenas a PROBABILIDADE de ser verdadeira. Silogismo: é uma forma de raciocínio dedutivo. • Em sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. • As premissas são juízos que precedem a conclusão, de modo que em um silogismo, a conclusão é consequência necessária das premissas.

3) Validade de um Argumento Argumento válido ou bem construído: ocorre quando a conclusão é uma consequência obrigatório do seu conjunto de premissas. Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, implica necessariamente que a conclusão será verdadeira. • A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Exemplo: Aqui existe um conectivo de conjunção que opera as premissas, assim, para que a conclusão seja verdadeira, torna-se necessário que as premissas sejam verdadeiras – porque se uma das premissas for falsa, tornará a conclusão falsa. Logo, temos que a verdade das premissas garante a verdade da conclusão do argumento.

Possíveis situações de um argumento quanto a sua validade:

Diagramas Lógicos As proposições categóricas são formadas pelos quantificadores lógicos, que são: todo, algum e nenhum. Esses quantificadores são classificados em Universais e Particulares, sendo, também, subdivididos em Afirmativos ou Negativos.

As vogais {A, E, I, O} que aparecem são denominadas de vogais de quantificação. Através dos quantificadores pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição, onde: “Todo; Qualquer que seja; Para todo” são indicados por ∀. “Algum ou Existe” são indicados por ∃.

I - Universal afirmativo: Todo A é B Outros termos utilizados: Para todo, Qualquer que seja, Tudo;

Simbolicamente, temos a seguinte representação: ∀(x) (A (x) → B(x))

Atenção: ∀x (A(x) → B(x)) ≠ ∀x (B(x) → A(x)) não possui a propriedade comutativa. Exemplo: “Todo aluno dedicado é bem-sucedido” = ∀x (A(x) → B(x)) A(x) = “aluno dedicado” B(x) = “aluno bem-sucedido”

II - Universal negativo: Nenhum A é B Outros termos utilizados: Não existe , Não há, Ninguém;

Simbolicamente, temos a seguinte representação: ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) Atenção: ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ¬∃x (B(x) ∧ A(x)) possui a propriedade comutativa. Exemplo: “Nenhum aluno dedicado é bem-sucedido” = ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) A(x) = “aluno dedicado” B(x) = “aluno bem-sucedido”

III - Particular afirmativo: Algum A é B Outros termos utilizados: Ao menos um, Pelo menos um, Existe, Alguém;

O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente. (A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B} Simbolicamente, temos a seguinte representação: ∃x (A(x) ∧ B(x)) Atenção: ∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ∃x (B(x) ∧ A(x)) possui a propriedade comutativa.

Exemplo: “Algum aluno é dedicado é bem-sucedido” = ∃x (A(x) ∧ B(x)) A(x) = “aluno dedicado” B(x) = “aluno bem-sucedido”

IV - Particular negativo: Algum A não é B Outros termos utilizados: Ao menos um, Pelo menos um, Existe, Alguém;

Em teoria de conjuntos, significa que temos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, isto é, operação de diferença. Simbolicamente, temos a seguinte representação: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X)) Atenção: ∃x (A(x) ∧ ¬ B(x)) ⇔ ∃x (B(x) ∧ ¬A(x)), não possui a propriedade comutativa. Exemplos: Considere-se que: U seja o conjunto de todos os policiais; P(x) seja a propriedade “x é um policial dedicado”; Q(x) seja a propriedade “x tem disposição para trabalhar”; R(x) seja a propriedade “x passa em concurso interno para promoção”; a) Todo policial dedicado passa em concurso interno para promoção.

∀x (P(x) → R(x)) b) Alguns policiais que têm disposição para trabalhar não são dedicados.

∃x (Q(x) ∧ ¬ P(x)) c) Nenhum policial dedicado é disposto para trabalhar.

¬ ∃x (P(x) ∧ Q(x)) d) Todo policial que tem disposição para trabalhar não passa em concurso interno para promoção.

∀x (Q(x) → ¬ R(x)) e) Existem policiais que passam em concurso interno para promoção que são dedicados.

∃x (R(x) ∧ P(x))

f) Todos os policiais que são dedicados e têm disposição para trabalhar passam em concurso interno para promoção.

∀x [(P(x) ∧ Q(x)) → R(x)] Negação dos Quantificadores Lógicos Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado serão sempre opostas quando negarmos pela contradição, ou seja, Proposições contraditórias: cada uma delas é a negação lógica da outra (A – O e E – I).

Negação de Proposições Compostas Uma proposição é a negação da outra quando: são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das Tabelas-verdade são contrários. Atenção: o referencial para que 2 proposições sejam oposta...