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Rappel de cours...

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Rappel sur la notion de taux marginal de substitution Supposons un individu A qui souhaite avoir à la fois du temps libre et une bonne note à l’examen final. De manière générale, les préférences des individus peuvent être représentées mathématiquement par une fonction d’utilité, qui nous dit de quelle manière l’utilité (c’està-dire le niveau de satisfaction) d’une personne dépendent des biens disponibles. Dans notre exemple, l’individu A ne s’intéresse qu’à deux biens : ses heures de temps libre et sa note à l’examen. S’il a 𝑡 unités de temps libre et 𝑦 points de note, son utilité est donnée par une fonction : 𝑈(𝑡, 𝑦) Comme la note et le temps libre sont tous les deux des biens (A voudrait avoir le plus possible des deux), la fonction d’utilité est croissante à la fois en t et en y. Une courbe d’indifférence trace tous les points qui indiquent toutes les combinaisons de biens qui donnent le même niveau d’utilité à un individu. Dans notre exemple, une courbe d’indifférence montre toutes les combinaisons de temps libre et de note à l’examen qui lui procurent le même niveau d’utilité. L’équation d’une courbe d’indifférence typique est 𝑈(𝑡, 𝑦)= C Où C représente le niveau d’utilité de l’individu. Bien-sûr, la valeur C peut augmenter : dans ce cas, le niveau de satisfaction de l’individu augmente. On passe à une autre courbe d’indifférence qui représente un niveau d’utilité plus grand. Le graphique ci-dessous représente trois courbes d’indifférences, représentant trois niveaux d’utilités différentes.

En un point donné, un taux marginal de substitution est la disposition à échanger un bien contre une unité supplémentaire d’un autre bien. Ici, il s’agira de la disposition à échanger des points de note contre une heure supplémentaire de temps libre. Ce taux est donné par la pente de la courbe d’indifférence 𝑈(𝑡, 𝑦)=𝑐 en ce point. Comment pouvons-nous calculer la pente de la courbe d’indifférence 𝑈(𝑡, 𝑦)=𝑐? Pour ce faire, nous devons utiliser les dérivées partielles de la fonction d’utilité. Par exemple, ∂𝑈/∂𝑡 montre comment l’utilité change quand (𝑡) augmente et que 𝑦 est maintenu constant. En économie, la dérivée partielle ∂𝑈/∂𝑡 est appelée l’utilité marginale du bien t (ici utilité marginale du temps libre). De manière similaire, ∂U/∂y correspond à l’utilité marginale des points de note. Nous avons déjà remarqué que l’utilité dépendait positivement de 𝑡 et de 𝑦. Autrement dit, les utilités marginales de l’individu A sont toutes les deux positives. Supposez que 𝑡 et 𝑦 varient en petites quantités Δ𝑡 et Δy. La formule des petites variations pour les fonctions à deux variables donne une approximation de la variation de l’utilité Δ𝑈, en l’exprimant comme une somme d’un « effet temps libre » et d’un « effet note » : Δ𝑈=

∂U ∂t

∂U

Δ𝑡+ ∂y Δ𝑦

Si les changements Δt et Δ𝑦 sont tels que l’individu A reste sur la même courbe d’indifférence, son utilité ne change pas. On a donc Δ𝑈=0, ce qui implique que : ∂U ∂t

∂U

Δ𝑡+ ∂y Δ𝑦 =0

En réarrangeant,

[Δ𝑦/Δ𝑡] = -

∂U ∂U / ∂t ∂y

Les changements Δ𝑡 et Δ𝑦, ensemble, créent un petit mouvement le long d’une courbe d’indifférence. Si l’on prend maintenant la limite quand Δ𝑡→0, l’expression à gauche s’approche de la valeur de la pente de la courbe et l’approximation devient une équation. Ainsi, la pente de la courbe d’indifférence à travers tout point (𝑡, 𝑦) est donnée par la formule :

𝑑𝑦

∂U

𝑑𝑡

∂t

=-

∂U

/ ∂y

Pour résumer, le TMS représente donc le compromis qu’une personne est prête à faire entre deux biens. En tout point, c’est la pente de la courbe d’indifférence. Le TMS est souvent exprimé en valeur absolue de la pente : TMS =|

𝜕𝑈 𝜕𝑡

/

𝜕𝑈 𝜕𝑦

|

C’est donc le rapport entre l’utilité marginale de l’individu par rapport au bien t et l’utilité marginale de cet individu par rapport au bien y....