Régime sinusoïdal forcé PDF

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Cours de maths sur le régime sinusoïdal forcé....

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Régime sinusoïdal forcé

Introduction : Les systèmes électriques et électroniques fonctionnent tous en général à l’aide d’un courant alternatif. Ce genre de régime permet de simplifier les calculs des grandeurs électriques dans un circuit. Ce court chapitre est une introduction à la compréhension des phénomènes se déroulant dans les circuits électroniques sous un régime sinusoïdal forcé.

Table des matières 1 Passage du régime transitoire au régime sinusoïdal forcé 1.1 Exemple du circuit RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemple du dipôle RLC en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3

2 Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale 2.1 Rappel sur les fonctions sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Notation complexe d’une grandeur sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Intérêt de la représentation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Dérivée et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Exemple d’application : détermination de la tension aux borne du condensateur d’un dipôle RLC en régime sinusoïdal forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Diagramme de Fresnel : représentation vectorielle dans le plan complexe . . . . . . .

3 3 4 5 5 5 5 8

3 Dipôles linéaires et notation complexe 3.1 Impédance et admittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Association de dipôles passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 10

4 Résonance d’un circuit RLC en série 4.1 Résonance en intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Pulsation propre, pulsation réduite et facteur de qualité 4.1.2 Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Bande passante en pulsation réduite . . . . . . . . . . . 4.2 Résonance en tension aux bornes de C . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 13 14 14 16

5 Puissance en régime sinusoïdal forcé 5.1 Puissance instantanée reçue par un dipôle 5.2 Puissance moyenne reçue sur une période 5.3 Grandeurs efficaces . . . . . . . . . . . . . 5.4 Facteur de puissance . . . . . . . . . . . .

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17 17 17 17 18

1

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1

Passage du régime transitoire au régime sinusoïdal forcé

1.1

Exemple du circuit RC uC

uR

C

R On a u(t) = Um cos(ωt). À t = 0 on ferme K , on va déterminer l’expression de uC (t).

i

~

K

GBF u(t)

Par la loi des mailles, uC (t) = u(t) − uR (t). uC (t) = u(t) − Ri(t). u(t) = uC + RC

duC . dt

D’où, duC uC Um cos(ωt) avec τ = RC. + = RC dt τ La forme de la solution est de la forme : uC (t) =

uparticulière | {z }

A cos(ωt)+B sin(ωt)

+ uéquation homogène . | {z } ke−t/τ

On va déterminer la solution particulière en l’insérant dans l’équation différentielle. A B Um −Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt) + cos(ωt) + sin(ωt) = cos(ωt). τ τ τ ! ! A B Um − Aω sin(ωt) = + Bω cos(ωt) + cos(ωt). τ τ τ Ce qui implique donc,  !  B    = 0  τ − Aω !  Um A   =   τ + Bω τ

⇐⇒

  

  A

B ! = Aωτ 1 Um = + τ ω2 τ τ

⇐⇒

   B =   A =

ωτ Um 1 + ω2τ 2 . Um 1 + τ 2ω2

Détermination de k. À t < 0, on a uC = 0 (condensateur déchargé). Or, uC est continue aux bornes de uC , d’où uC (0+ ) = uC (0− ) = uC (0) = 0. Ce qui implique que A cos(0) + B sin(0) = ke0 , d’où k = −A. On en déduit alors facilement l’expression de uC (t) avec les valeurs de A, B, k et τ que l’on connaît dorénavant. Au bout de 5τ , on atteint un régime permanent sinusoïdal dans lequel uC (t) est une tension sinusoïdale.

2

1.2

Exemple du dipôle RLC en série uC

uR R

uL L

C

i

À t = 0, on ferme K .

K

~ GBF u(t) = Um cos(ωt)

Par la loi des mailles : uC + uR + uL = u(t). di = u(t). dt duC d2 uC uC + RC = Um cos(ωt). + LC dt2 dt Um cos(ωt) d2 uC R duC uC . + + = 2 L LC dt dt LC uC + Ri + L

La solution uC (t) est de la forme suivante : uC (t) = uparticulière + usolution homogène . La solution particulière est une tension sinusoïdale, la solution homogène correspond au régime pseudopériodique ou au régime apériodique (elle s’annule assez rapidement). Cela implique que l’on atteint un régime permanent sinusoïdal forcé.

2 2.1

Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale Rappel sur les fonctions sinusoïdales x

On a x(t) = xm cos(ωt + ϕ). xm est l’amplitude (toujours supérieure à 0). ϕ est la phase à l"origine (en radian, comprise entre −π et π). ω est la pulsation propre ou fréquence angulaire ω (rad.s−1 ). La fréquence a pour expression 2π 2π (Hz), la période a pour expression (s). ω

xm

t xm cos(ϕ) - xm

La valeur moyenne de x est donnée par l’expression suivante : 1 x= T Elle est égale à 0 pour cosinus et sinus.

Z

T

x(t) dt. 0

3

x

Prenons deux fonctions synchrones U1 = U1m cos(ωt + ϕ1 ) et U2 = U2m cos(ωt + ϕ2 ). Le déphasage de U2 par rapport à U1 est :

u1m

∆t ∆t

ϕ = ϕ2 − ϕ1 .

t

Ci-contre, en vert, U2 est en avance sur U1 . Dans le cas en orange, U2 est en retard sur U1 . 2π|∆t| 2π ←→ T . ⇒ |ϕ| = |ϕ| ←→ |∆t| T

2.2

Nombres complexes

En raison de la notation i pour l’intensité en électricité, on définit le nombre de Hamilton j, qui correspond tout simplement à l’imaginaire i en mathématique : j 2 = −1.

Tout nombre complexe z = a + jb se décompose en une partie réelle (a) et une partie imaginaire (jb). En passant à la forme trigonométrique puis exponentielle : z = a + jb = r(cos(θ) + j sin(θ)) = rejθ . r est le module et θ l’argument. On a alors, 

r = a = r cos(θ ) et b = r sin(θ)  tan(θ) =

! b avec cos(θ) du signe de a. a

Soit θ = arctan

 

y

−−→ À z, on associe un vecteur OM telle que  −−→ −−→  OM  = r et (Ox ; OM ) = θ.

M r θ

O

√ a2 + b2 . b a

x 

a1 = a2 z1 = z2 ⇐⇒ b1 = b2  θ z1 z2 = z ⇐⇒ r   θ z1 ⇐⇒ z= z2  r

⇐⇒



r1 = r2 . θ1 = θ2

= θ1 + θ2 . = r1 × r2

= θ1 − θ2 . r1 = r2 Dans le cas de z = z1 + z2 , il n’y a pas de relation simple. On définit également le conjugué de z :

Et,

z ∗ = a − jb = re−j θ . zz∗ = r 2 = |z|2 .

SI z est réel, alors z ∗ = z, θ = 0 ou π. Si z est imaginaire pur, z ∗ = −z, θ = ± 4

π . 2

2.3

Notation complexe d’une grandeur sinusoïdale

À x(t) = xm cos(ωt + ϕ) on associe la grandeur complexe : x(t) = xm ej (ωt+ϕ) . On a donc x(t) = ℜ(x(t)). On définit l’amplitude complexe xm = xm ejϕ on a alors x(t) = xm ej ωt. Au niveau des propriétés, |xm | = xm = amplitude de x, cela signifie que xm ejϕ est la valeur maximale complexe que peut prendre x (qui représente i ou u). arg(xm ) = ϕ = phase à l’origine (déphasage). En notation complexe, on a u = Um cos(ωt) et i = Im cos(ωt + ϕ)

2.4

Intérêt de la représentation complexe

2.4.1

Dérivée et primitive

x(t) = xm cos(ωt) ⇐⇒ x(t) = xm ej (ωt+ϕ) . En notation réelle, on a : dx (t) = −xm ω sin(ωt). dt En notation complexe : dx (t) = jωxm ej (ωt+ϕ) . dt = jωx(t). Et de cette expression on peut retourner à la notation réelle : dx (t) = jωxm (cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)) = jωxm cos(ωt + ϕ) − ωxm sin(ωt + ϕ). dt Et en prenant la partie réelle de cette dernière expression, on retombe bien sur l’expression −ωxm sin(ωt+ ϕ). Au niveau de l’intégration : Z

Et en notation complexe : Z

x(t)dt =

x(t) dt =

xm sin(ωt + ϕ). ω

1 x xm ej (ωt+ϕ) = . jω jω

Au final, dériver revient à multiplier par jω, primitiver à diviser par jω . 2.4.2

Exemple d’application : détermination de la tension aux borne du condensateur d’un dipôle RLC en régime sinusoïdal forcé

uC

uR

Par la loi des mailles :

R

uR + uC + uL = Um cos(ωt).

L

C

i

di duC , on Avec uR = Ri, uL = L et i = C dt dt trouve,

K RC

uL

d2 uC duC = Um cos(ωt). + uC + LC dt2 dt

~ GBF u(t) = Um cos(ωt)

5

En complexe, on utilise uC . On obtient : RC (jωuC ) + uC + LC (−ω 2 uC ) = Um ejωt. uC (1 − ω 2 LC + jRCω) = Um ej ωt. uC =

Um ej ωt. 1 − ω 2 LC + jωRC

Au vu de la dernière expression, on peut directement écrire l’amplitude complexe : UCm = UC m ejϕ =

1

Um . 2 − ω LC + jωRC

Deux nombres complexes sont égaux si leur partie réelle sont égales et que leur partie imaginaire le sont aussi. UC (t) = |UCm | cos(ωt + ϕ). Avec ϕ = arg(UCm ). En cherchant l’amplitude réelle (valeur maximale en réel) on obtient pour l’égalité entre modules :

En déterminant ϕ, on a : ϕ = arg(UC m ) = arg

|UCm | = p

Um (1 −

ω 2 LC )2

Um 2 1 − ω LC + jωRC

!

D’où,

+ (ωRC )2

.

= arg(Um ) − arg(1 − ω 2 LC + jωRC ). | {z } 0, ∈R

ωRC − arg(1 − ω 2 LC + jωRC) = − arctan 1 − ω 2 LC

!

.

Au numérateur on met la partie imaginaire, au dénominateur la partie réelle. ϕ est définie à π près par le arctan, on peut connaître cette valeur précisément en connaissant le signe de sin(ϕ) ou de cos(ϕ). En repartant de l’expression de UCm , on a pour l’égalité des parties imaginaires : UCm

1 − ω 2 LC + jωRC Um (1 − ω 2 LC) − jωRC . × = = U × m 2 (1 − ω 2 LC )2 + (RCω )2 1 − ω LC + jωRC 1 − ω 2 LC + jωRC | {z } conjugué

On isole alors la partie imaginaire de l’expression, qui est inférieure à 0 : ℑ(UCm ) = −

ωRCUm . (1 − ω 2 LC )2 + (RCω )2

La partie imaginaire étant inférieure à 0, dans la notation complexe, cela implique que sin(ϕ) est aussi inférieure à 0. Point méthode. Il faut imaginer la fonction x 7→ tan(x). Celle-ci est périodique de π, tout comme sa bijection réciproque arctan(x). On a : ! b b . tan(ϕ) = ⇐⇒ ϕ = arctan a a Et comme on est en notation complexe, a est du signe de sin(ϕ) et b est du signe de cos(ϕ).

6

•

b > 0 si : a ⋆ cos(ϕ) > et sin(ϕ) > 0 (donc a > 0 et b > 0). En regardant dans le cercle trigonoméπ et on a bien : trique, on se place entre 0 et 2 " ! " b π ϕ = arctan . ∈ 0; 2 a ⋆ cos(ϕ) < 0 et sin(ϕ) < 0 (donc a < 0 et b < 0). Ce cas se passe si on est entre −π et π − . En observant les courbes de arctan(x) et en se plaçant dans ce domaine, on prend : 2 ! # " b π ϕ = arctan − π ∈ −π ; − . a 2

•

b < 0 si : a ⋆ cos(ϕ) > 0 et sin(ϕ) < 0 (donc si a > 0 et b < 0). On se place donc entre −π/2 et 0, en projetant cet intervalle sur le graphique des courbes de arctan(x), on a : # ! # π b ∈ − ;0 . ϕ = arctan 2 a ⋆ cos(ϕ) < 0 et sin(ϕ) > 0 (donc si a < 0 et b > 0). De la même manière que précédemment on prouve : # ! # b π ϕ = arctan ;π . +π ∈ 2 a

Enfin, si a = 0, alors ϕ = π/2 si b > 0 et ϕ = −π/2 si b < 0. En résumé sur le cercle trigonométrique :

sin(ϕ) ϕ = arctan

b a

+π

ϕ = arctan

b a

cos(ϕ)

ϕ = arctan

b a

−π

Remarque : dans notre cas, la partie réelle n’a pas de signe sûr. En effet, suivant les valeurs de ω, L et C on se placerait normalement dans le cas où cos(ϕ) < 0 et donc ϕ se placerait dans le cas verre ci-dessus.

7

2.5

Diagramme de Fresnel : représentation vectorielle dans le plan complexe y

Pour les mathématiques, z = a + ib :   −−→ a OM . b

M |z|

O

ϕ

x

y

Pour la physique, u(t) = Um cos(ωt + ϕ) et en notation complexe, u(t) = Um ej (ωt+ϕ) avec l’amplitude complexe Um = Um ejϕ .

M Um ϕ + ωt

O

x

Utilisations : • Addition de deux grandeurs sinusoïdales synchrones. u1 = U1m cos(ωt + ϕ1 ) u2 = U2m cos(ωt + ϕ2 ). D’où, u = u1 + u2 = Um cos(ωt + ϕ).

y u1m

M Um

ωt

+

ϕ1 ωt +

O • Dérivation : Car i = eiπ/2 . • Primitive :

ϕ u2m ωt + ϕ2

x

du = jωu = jωUm ej (ωt+ϕ) = ωUm ej (ωt+ϕ+π/2) . dt

Z

u dt =

Um j (ωt+ϕ−π/2) Um ej (ωt+ϕ) u = = e . jω jω ω

On dit que la dérivée est en avance de π/2, elle est en quadrature avance. La primitive est en retard de π/2, elle est en quadrature retard. y

du dt

u

O

x u dt

3 3.1

Dipôles linéaires et notation complexe Impédance et admittance

En notation complexe, u et i sont proportionnelles. 8

u = Zi ou i = Y u (Z ; Y ) ∈ C2 .

Z est l’impédance complexe du dipôle et Y est l’admittance complexe du dipôle. On a alors la relation naturelle : Z=

1 . Y

u = Um cos(ωt + ϕ)

u

i = Im cos(ωt + ϕ)

⇐⇒

dipôle linéaire

i = Y u i = Im ej (ωt+ϕ) Im = Y Um

i

en complexe

Im = Im ejϕ .

u = Um ejωt

Um = Um .

L’intensité est déphasé par rapport à la tension. Cas d’une résistance. On sait qu’en réel, la loi d’Ohm relie tension et intensité : U = Ri. En notation complexe : U = Ri. 1 Um . . Donc, si u = Um cos(ωt) et i = Im cos(ωt + ϕ), avec Im = |Im | = |Y |Um = R R On a ϕ = arg(Im ) = arg(Y ) = 0. On obtient donc : D’où Z = R et Y =

i=

Um cos(ωt) . R

di di = jωLi. On a donc Cas d’une bobine. En réel, on a u = L . En notation complexe, u = L dt dt 1 . Donc dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé où U = Um cos(ωt) et Z = jωL, d’où Y = jωL i = Im cos(ωt + ϕ),    1  Um   .  Um = Im = |Im | = |Y |Um =  ωL  jωL  Pour le déphasage :

ϕ = arg(Im ) = arg(Y ) = arg

1 jωL

!

π = − arg(jωL) = − . 2

En effet les imaginaires purs se trouvent sur l’axe des ordonnées, donc pour un angle de π/2. On trouve alors : π Um i= cos ωt − 2 Lω

!

.

i est en retard de π/2 par rapport à u. Cas d’un condensateur. En réel on a i = C

duC . Avec un même raisonnement on obtient : dt 9

i = CωUm cos ωt +

π! 2

.

i est en avance de π/2 sur u. Remarque : on pourrait vérifier les unités pour vérifier qu’elles sont conservées. Comportement de L et C pour des valeurs extrêmes de ω.

L

u = jωLi

C

u=

fréquence faible Z =0 fil ou court-circuit

fréquence élevée Z → +∞ coupe-circuit

Z → +∞

Z =0

i jCω

coupe-circuit

3.2

interrupteur fermé

Association de dipôles passifs

En série.

u1 i

u2

u Z2

Z1

Zeq

i

⇐⇒

u u = Zeq i. De même u1 = Z1 i et u2 = Z2 i. Par la loi des mailles : u = u1 + u2 = (Z1 + Z2 )i. D’où, Zeq = Z1 + Z2 . En parallèle.

Z1

i1

u

i

⇐⇒ i2

i

Z2 u

i = Yeq u. De même, i1 = Y1 u et i2 = Y2 u. D’où, par la loi des noeuds : i = (Y1 + Y2 )u. D’où, Yeq = Y1 + Y2 ⇐⇒ Exemple du dipôle RLC série. 10

1 1 1 . + = Zeq Z1 Z2

Zeq

i

R

L

C

u = Um cos(ωt) On cherche à déterminer i sachant que son expression réelle est i = Im cos(ωt + ϕ). • Première méthode : impédance équivalente. On passe en notation complexe : 1 jωC u jωL i i R ⇐⇒

u Zeq Car mathématiquement,

1 + jωL = R + j =R+ jωC

1 Lω − Cω

!

Zeq

.

1 = −j. Cherchant i, on a en notation complexe : j i = Yeq u ⇐⇒ i =

U . Zeq

D’où, Im =

Um . Zeq

Par égalité des complexes, déterminons le module et l’argument. Pour le module :   U  Um Um Um  m  = q  |Im | =  . =  = 1   Zeq  |Zeq | 1 2 R + j Lω − Cω  2 R + Lω − Cω

Et pour l’argument :

ϕ = arg(Im ) = arg

Um Zeq

!

1 Lω − Cω

= − arg(Zeq ) = − arg R + j

!!

.

On a alors :

1 Lω − Cω . R cos(ϕ) est positif (car du signe de R), donc la partie au numérateur est négative (donc sin(ϕ) est négative). Pour ces signes de cos et sin, on a : ! 1 − Lω + Cω . ϕ = arctan R

tan(ϕ) = −

• Deuxième méthode : avec Zeq et Fresnel.

i

Lω −

1 Cω

R

−ϕ

RIm u

11

i

u = u1 + u2

1 Cω

jωL

Lω −

1 jωC

Im

u2 = j

u1 = Ri

axe de référence i

u = Ri +

1

i + jωLi. ! 1 i = Ri +j Lω − |{z} Cω u1 | {z } jωC

u2

On détermine facilement ϕ par les propriétés du cercle trigonométrique : !   1 1 1 Lω − Cω − Lω − Cω Im Lω − Cω =− tan(ϕ) = − ⇐⇒ ϕ = arctan − . RIm R R cos(ϕ) est du signe de R, donc positif. Par Pythagore : U 2m

On trouve alors : I 2m =

! !2 1 = (RIm ) + Lω − Im . Cω  !2  1  I 2m . = R 2 + Lω − Cω 2

2 Um

R2



+ Lω −

Prenons un autre exemple en dérivation.

 1 2 Cω

⇐⇒ Im = q

Um .  1 2 R 2 + Lω − Cω

R L

i C

u = Um cos(ωt)

Yeq = =

1 1 + jCω. + R jLω 1 R

+j

1 Cω − Lω

!

.

On a i = Im cos(ωt + ϕ). Or, Im = Yeq Um donc |Im | = |Yeq ||Um |. D’où, v  ! ! !2 u  1 u 1 2 1  1  Um . |Im | =  + j Cω − + Cω −  Um = t Lω  R Lω R

Et,

ϕ = arg(Im ) = arg(Yeq ) + arg(Um ). = arg(Yeq ). = arg

1 +j R 12

1 Cω − Lω

!!

.

Soit tan(ϕ) =

Cω −

1 Lω

1/R

a alors :

! 1 = R Cω − . Comme cos(ϕ) est du signe de 1/R, donc c...