Sikterlan - verqklaf PDF

Preview

Summary

verqklaf...

Description

FIIW

LABOVERSLAG MECHANI CA LABO:Tr aaghe i ds mo ment e n Dat um l abo:[ dat um i nvul l en]

Aut e ur s :

[ aut e ur 1] [ aut eur 2] [ aut eur 3]

Gr o ep:

[ Bi j v .A1]

Labobe ge l ei der :

[ doc e nt ]

1 Doel In dit labo wordt gebruik gemaakt van een torsieas. Dit toestel heeft een draaias die via een torsieveer verbonden is met een vast raam. Eerst wordt de torsieconstante van de torsieveer bepaald. Vervolgens wordt een dwarsstang op de torsieas gemonteerd. Uit de periode van de schommelbeweging wordt het traagheidsmoment van de dwarsstang experimenteel bepaald. . Tenslotte wordt de stelling van Steiner aangetoond m.b.v. een excentrisch geplaatste schijf gemonteerd op de torsieas.

2 Theoretische inleiding 2.1 Krachtmoment Het effect van een kracht op de deur is afhankelijk van twee factoren: de grootte van de kracht en de afstand tussen de rotatieas en de werklijn van de kracht (de lijn waarlangs de kracht werkt).

Het krachtmoment of moment van een kracht t.o.v. de rotatieas wordt gedefinieerd als het product van de grootte van de kracht en de loodrechte afstand tussen de rotatieas en de werklijn van de kracht (Figuur 1).

Symbool voor moment: M

M =R⊥ F

(1)

R⊥ : de loodrechte afstand tussen de rotatieas door O en de werklijn van de kracht (momentarm).

SI-eenheid(M) = SI-eenheid(F) x SI-eenheid( R⊥ ) = Nm

2

F rotatieas O

Figuur 1: Kracht en momentarm

R⊥

F hoeft niet steeds loodrecht te staan op de plaatsvector van het aangrijpingspunt van F ten opzichte van de rotatieas O (zie Figuur 2).

De kracht

O

RB

F θ

θ

B

Figuur 2: Kracht staat niet loodrecht op plaatsvector aangrijpingspunt

Uit Figuur 2 volgt dat

M =R F sin θ

(2)

met R de afstand tussen rotatieas en aangrijpingspunt kracht

3

Een krachtmoment kunnen we ook een teken toekennen. In deze labotekst maken we volgende tekenafspraak:

Het krachtmoment is positief als de neiging tot draaien in tegenwijzerzin is. Het krachtmoment is negatief als de neiging tot draaien in wijzerzin is.

Werken er op een lichaam meerdere krachtmomenten, dan definiëren we het nettokrachtmoment als de sommatie van alle krachtmomenten

M tot =∑ M i

(3)

i

2.2 Traagheidsmoment Figuur 3 toont een star (= onvervormbaar) lichaam dat roteert om een as. Een deeltje of massa-element met massa mi van het lichaam bevindt zich op een loodrechte afstand Ri tot de rotatieas.

Het traagheidsmoment (symbool I) definiëren we als de som van de producten van de massa’s van de deeltjes met de kwadraten van hun respectievelijke afstanden tot de rotatieas.

I =∑ m i Ri2

(4)

i

SI-eenheid(I) = kg·m²

4

rotatieas

Ri

mi

Figuur 3: Star lichaam roterend rond een as

Vergelijking (4) leert dat het traagheidsmoment afhangt van de manier waarop de massa verdeeld is t.o.v. de as. Hoe dichter de massa geconcentreerd is bij de as, hoe kleiner het traagheidsmoment.

Voor een lichaam waarvan de massa continu verdeeld is, word de som vervangen door een integraal in vergelijking (4):

❑

I =∫ R❑2 dm

(5)

V

Deze integraal wordt berekend over het totale volume van het lichaam en kan gemakkelijk berekend worden voor lichamen met een eenvoudige symmetrie (cilinder, bol, …).

2.3 Dynamica van de rotatiebeweging Voor een rotatiebeweging kunnen we een bewegingsvergelijking afleiden:

M tot =Iα

(6)

Waarin α de hoekversnelling is. De hoekversnelling is dezelfde voor alle deeltjes van het star lichaam en wordt gedefinieerd als de afgeleide van de hoeksnelheid naar de tijd.

5

α=

dω d 2 θ = 2 dt dt

Het traagheidsmoment I is een maat voor de rotatietraagheid en vervult dezelfde rol als de massa bij de translatiebeweging.

2.4 Stelling van Steiner Deze stelling geeft ons een eenvoudig verband tussen het traagheidsmoment genomen om een as (z’-as) door het massamiddelpunt MMP en een daaraan evenwijdige as (z-as) door een willekeurig punt O (Figuur 4).

Stel

I:

traagheidsmoment om de z-as door O

IMMP : traagheidsmoment om de z’-as door het massamiddelpunt MMP h:

afstand tussen z-as en de z’-as

m:

de massa van het lichaam

De stelling van Steiner luidt:

I =I MMP +m h2

(7)

6

z

z’

O

MMP

h

Figuur 4: Star lichaam met z’-as door MMP en z-as door willekeurig punt O

2.5 De torsieas Het toestel (Figuur 5) heeft een draaias (1) die via een spiraalvormige veer (2) verbonden is met een vast raam. Dwars op de rotatieas kan een horizontale dwarsstang (3) gemonteerd worden. In plaats van de dwarsstang kan op de draaias een cirkelvormige metalen schijf gemonteerd worden. In Figuur 5 valt de x-as samen met de ruststand van de dwarsstang. Wanneer de dwarsstang een hoek θ maakt met de x-as, dan wordt op de dwarsstang door de veer een terugroepend krachtmoment M uitgeoefend waarbij M evenredig is met de hoekuitwijking :

M = - Dθ

(8)

D wordt de torsieconstante genoemd.

SI-eenheid (D) = Nm/rad

7

Figuur 5: Torsieas met dwarsstang

Door de dwarsstang een hoek θ0 uit zijn evenwichtsstand te brengen en daarna los te laten, gaat hij schommelen in een horizontaal vlak om zijn evenwichtsstand tussen de hoekwaarden - θ0 en + θ0. Substitutie van (8) in (6) levert :

2

− Dθ = Iα = I

d θ 2 dt

(9)

of d2 θ D + θ=0 dt 2 I

(10)

Deze differentiaalvergelijking heeft als oplossing :

θ(t )= θ0 sin (Ωt +α )

√

Ω=

D I

(11) (12)

De periode T, de tijd voor één heen- en teruggaande beweging van de schommelbeweging is dan T=

2π Ω

(13)

8

T =2 π Dus :

I D

√

(14)

( )

2

I=

T D 2π

(15)

Uit vergelijking (15) volgt een nauwkeurige methode om traagheidsmomenten te bepalen door meting van T.

3 Beschrijving proefopstelling Figuur 6 is een foto van de proefopstelling. Het belangrijkste onderdeel is de torsieas (zie ook Figuur 5). Een schematische voorstelling (zonder torsieveer) is Error: Reference source not found. Rond het bovenste deel van de draaias is een licht touw gewikkeld. Dit touw loopt over een katrol en is aan het andere uiteinde opgespannen door een gewichtenhouder met een kleine massa. Onder de gewichtenhouder bevindt zich een bewegingsdetector. De bewegingsdetector meet de afstand tot de gewichtenhouder en de snelheid en versnelling van de gewichtenhouder. De absolute zekerheid op de gemeten afstand bedraagt 1 mm. De hoogte h van de gewichtenhouder is is de hoogte van de onderkant van de gewichtenhouder ten opzichte van de bewegingsdetector. Boven de bewegingsdetector wordt een net geplaatst om de bewegingsdetector te beschermen tegen vallende gewichten. De bewegingsdetector is via een USB-linkkabel aangesloten op een USB-poort van de PC. De positie, snelheid en versnelling van het bewegend voorwerp kan gemeten worden in het meetprogramma Logger Pro.

9

Figuur 6: Proefopstelling

We kunnen aantonen dat tussen de hoogte h van de gewichtenhouder en de uitwijkingshoek θ van de dwarsstang een lineair verband bestaat. We stellen dat de uitwijkingshoek θ gelijk is aan 0 als de dwarsstang in evenwicht is. Dus θ in functie van h wordt beschreven door de vergelijking van een rechte met parameters a en b: θ=a h + b

10

(16)

4 Resultaten 4.1 Bepaling traagheidsmoment dwarsstang Vervolgens wordt het traagheidsmoment I bepaalt. Dit gaan we doen door de formule 2 T I 0=( ) 2π Toe te passen, met T = de tijd voor 1 volledige schommelbeweging (één heen- en Teruggaande beweging) en D = de torsieconstante.

In tabel 1 staan de hoogtes genoteerd die gemeten worden bij de hoeken gelijk aan 0 rad en π rad. Tabel 1: De hoogte bij een bepaalde hoek h(m) θ(rad 0 π

0.257 0.283

4.2 Bepalen van de periode van de schommelbeweging m.b.v. Examine De periode die bekomen wordt met de Examine-functie is gelijk aan: T =( 2.541 ± 0.015 ) s

4.3 Bepalen van de periode van de schommelbeweging m.b.v. functiefit We gebruiken onderstaande formule omdat dit een gedempte sinusfunctie is. De amplitude neemt af in de tijd door de wrijving. θ(t)= θ0∗e− yt sin(Ω t+α) Tabel 2 geeft de bekomen waardes weer door de functie functiefit te gebruiken. A

(3.2935 ± 0.0070) rad

B

(0.0210 ± 0.0004) m

C

(2.4869 ± 0.0004) rad/s

D

(1.1708 ± 0.0022) rad

E

(1.1570 ± 0.0024)

11

Uit de parameter C de periode T van de schommelbeweging Parameter bepalen.

T=

2π 2π =2.5265 s = ω 2.4869

Met 0.0004s als absolute onzekerheid.

0.25 0.2

Hoel(rad)

0.15 0.1 0.05 0 03 .4 76 12 49 85 21 57 94 .3 66 03 39 75 12 48 84 .2 57 93 29 66 02 38 75 11 47 83 0. 0 0. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3 3. 4. 4. 4. 5. 5. 5. 6 6. 6. 7. 7. 8. 8. 8. 9. 9. 9.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

tijd(s) Hoogte

Hoek

Die grafiek is fout die hoogtes aan de rechterkant kunnen nooit zoveel zijn Als de h(t)-grafiek een maximum bereikt, bereikt de θ(t)-grafiek een minimum en ook zo omgekeerd. De functie van de hoek vertoont een grotere uitwijking tegen over v/d hoogte. 4.5 Traagheidsmoment van de dwarstang Voor het traagheidsmoment te kunnen berekenen gebruiken we de periode die wel al eerder hebben vermeld in dit verslag, en de formule (1) om het te berekenen. T =( 2.541 ± 0.015 ) s

( )

2

T ∗D 2π Berekeningen: N∗m 2.541 s 2 ∗0.022 I 0= =0.008897 kg∗m 2π rad I 0=

(

)

Absolute onzekerheid: T = 0.015s D = 0.002 Onderstaande is een voorbeeld hoe dat moet.

12

Hoogte(m)

4.4 Grafieken h(t) en θ(t) in Excel

5 Verifcatie van de stelling van Steiner Gemeten waardes: T = (2.4196 ± 0.005) s T(s)

a ( m )

2.419 6 2.321 6 2.090 4 1.822 8 1.575 9

0 0.0 3 0.0 6 0.0 9 0.1 2 m = (10.0 ± 0.1¿ g D=(

Massatraagheidsmoment

I MMP t.o.v. massamiddelpunt bepalen:

13

T 2 ) ∗D 2π Berekening I MMP voor a =0.03 m: I MMP=(

T 2 2.4196 2 ) ∗¿ ) ∗D = ( = 2π 2π Berekening met onzekerheid uitvoeren als D gekend is en invullen in tabel I MMP=(

Gevonden Traagheidsmomenten voor de verschillende waardes van a: I MMP

a ( m ) 0.0 3 0.0 6 0.0 9 0.1 2

Massatraagheidsmoment bepalen: I = I MMP +m∗a2

a(m)

a2 (m)

T (s)

0.03 0.06 0.09 0.12

0.0009 0.0036 0.0081 0.0144

2.3216 2.0904 1.8228 1.5759

I (kg 2 ¿m )

Kolom I invullen na berekening 2 Grafiek met vergelijking I =I MMP +m∗a Maken en lineaire regressie toepassen volgens methode der kleinste kwadraten.

Pas op de meetpunten een lineaire regressie toe volgens de methode der kleinste kwadraten. Bereken de absolute onzekerheid op de rico. Stemt de waarde van de rico overeen met wat je verwacht op basis van de stelling van Steiner? Weeg hiertoe de schijf zonder houder. 14

Voor elke lineaire regressie in Excel voeg je als bijlage bij het verslag een afdruk van het Excel-werkblad met een tabel met x- en y-waarden en de berekende resultaten.

6 Besluit

15...