Skręcanie wałów okrągłych PDF

Preview

Summary

Skręcanie wałów okrągłych...

Description

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH Skręcanie występuje wówczas, gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego, zwanego wałem. Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami sił oraz różne sposoby przedstawiania momentów skręcających ten wał. Na kolejnym rysunku pokazano niejednoznaczne oznaczania kierunków momentów, przyczyniać się do błędnej interpretacji.

Momenty skręcające wał. Różne metody zaznaczania momentów skręcających.

Niejednoznaczne określanie momentów

Równanie równowagi: suma momentów względem osi wału. Hipoteza płaskich przekrojów: potwierdzona doświadczalnie hipoteza, zakładająca, że okrągłe przekroje poprzeczne wału pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół osi wału o niewielki kąt. Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie mechanizmu odkształceń wału. W oparciu o tą hipotezę wyprowadzono wzory pozwalające na obliczanie naprężeń stycznych w wale oraz kąta skręcenia wału.

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

123

Naprężenia w skręcanym wale: – dla dowolnego promienia  M    s , J0 – dla promienia  = r Mr M max  r  s  s . J0 W0 J0 – biegunowy moment bezwładności. Liniowe rozkłady naprężeń W0 – wskaźnik wytrzymałości przekro- stycznych przy skręcaniu dla waju na skręcanie. łu pełnego i wydrążonego

Definicja wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie: W0 – iloraz biegunowego momentu bezwładności J0 J0 1 . i odległości skrajnego włókna od środka ciężkości W0  r d 2 przekroju:

  4  J0  2Jx  d .  32    d4z  d4w J J0  , W0  1 0 . 32 d 2 z d3 W0  16

– Dla wału pełnego – Dla wału wydrążonego: Kąt skręcenia wału o długości L:







MSL rad,   MS L 180   , GJ0 GJ0   

Względny kąt skręcenia wału:     M SL rad / m ,   MS 180   / m,  L GJ 0 GJ0  

Iloczyn GJ0 nosi nazwę sztywności przekroju na skręcanie (por. EA przy rozciąganiu).

E G – moduł odkształcenia postaciowego, G  [MPa] moduł ścinania, moduł Kirchhoffa: 2(1   ) Warunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać: M max  S  dop . W0

W praktycznych obliczeniach na skręcanie bardzo często jest wykorzystywany warunek na sztywność:    dop .

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

124

PRZYKŁAD Wał o średnicy d wykonuje n = 1000 obr/min i przenosi moc N = 60 kW. Korzystając z warunków wytrzymałościowego i sztywnościowego, wyznaczyć średnicę wału. Przyjąć dop = 35 MPa, dop = 2/m, G = 8.104 MPa. Warunek wytrzymałościowy: max 

MS 16MS d 3 MS ,d  3 .   dop  W0   W0 16 dop dop

Dla wału przenoszącego moc z zależności N = MS można określić wartość momentu skręcającego N  MS   MS

2 n N  MS  9550 N  m , 60 n

N  kW, n  obr . min

W powyższym wzorze liczba 9550 (dokładnie: 9549,3) to przelicznik jednostek, obliczony w przykładzie 1.4. Po wykorzystaniu tego wzoru średnicę wału oblicza się z zależności d

3

16  9550  N  36,5 n dop

3

N cm. n dop

Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału d  36,53

60  4,39cm. 1000  35

Warunek sztywnościowy:  

d 4

4 MS 180   J  d  MS 180 .  dop 0 GJ0  32 G dop 

N 32  180  9550  100N 32 180  MS  153,65 4  100  4 nG   2nG   2nG   dop

dop

cm.

dop

Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału z warunku sztywnościowego d  153,65

4

60  3,80 cm. 1000  8  104  2

Dla spełnienia obu warunków należy przyjąć d = 4,39 cm. Warto zwrócić uwagę, że dla dop = 1 /m średnica wału d = 4,52 cm, natomiast dla dop = 3/m średnica d = 3,44 cm.

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

125

PRZYKŁAD Wał pokazany na rysunku jest skręcany momentami M1 = 250 Nm i M2 = 50 Nm. Wykonać wykresy: momentów skręcających, naprężeń stycznych oraz kątów obrotów poprzecznych przekrojów wału. Przyjąć G = 8104 MPa. Lewy koniec wału jest utwierdzony, prawy jest swobodny. Zadanie jest statycznie wyznaczalne. Równanie równowagi (suma rzutów momentów na oś wału) ma postać:

 MA  M2  M1  0  MA  M2  M1  200N  m. Siły wewnętrzne w poszczególnych odcinkach wału wyznacza się, korzystając z metody myślowych przekrojów. Zasady tworzenia granic przedziału, w którym można dokonać myślowego przekroju, są takie s ame jak w układach prętowych, a więc granicami tymi są punkty przyłożenia obciążenia oraz miejsca zmiany wielkości przekroju poprzecznego. W rozpatrywanym wale należy uwzględnić dwa myślowe przekroje.

Przekrój 1–1:

Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem I–I z warunku równowagi otrzymuje się: MS1  MA  200 N  m.

Przekrój 2–2: Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem II–II równanie równowagi ma postać: MS 2  MA  M1  200  250   50 N m.

Przekrój 2’–2’:

W celu kontroli poprawności obliczeń należy rozpatrzyć pozostałą część wału:  MS2  M2  50 N  m.

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

126

W powyższych równaniach równowagi przyjęto znak momentu skręcającego według rys. b. Dla ułatwienia obliczeń we wszystkich myślowych przekrojach korzystnie jest przyjmować ten sam kierunek siły wewnętrznej. Uskoki na wykresie odpowiadają wartościom sił zewnętrznych – biernych (reakcja w utwierdzeniu) i czynnych (momenty obciążające). Biegunowe momenty bezwładności wynoszą:

J1 



 



 d14z  d14w  44  34 d4 34   17,18 cm4, J2  2   7,95 cm 4. 32 32 32 32

Wskaźniki wytrzymałości przekroju na skręcanie:

W01 

J1 17,18  2   8,59 cm3 , 1 4 2 d1z

W02 

d32 33  5,3 cm3.  16 16

Maksymalne naprężenia styczne na odcinku AB oraz BC wału:

 AB 

MS1 200   23,283 MPa, W01 8,59

 BC 

MS2 50   9,434 MPa, W 02 5,3

przy czym przelicznik jednostek jest tutaj równy 1. Naprężenia styczne na wewnętrznej powierzchni wału na odcinku AB

W AB 

MS1 d1w 200 3   17,462 MPa. J1 2 17,18 2

Kąt skręcenia odcinka AB oraz BC wału

MS1L1 180 200  3 180  100  2,5 , GJ1  8 10 4 17,18  M L 180  50  2 180  S2 2  100  0,9 . 4 GJ2  8 10  7,95 

BA  CB

Całkowity kąt skręcenia swobodnego końca wału

 CA   BA   CB  2,5  0,9  1,6 . Wykres naprężeń stycznych i kątów skręcenia pokazano na rysunku.

PRZYKŁAD Dla wału przedstawionego na rysunku wykonać wykresy momentów, naprężeń oraz kątów skręcenia przekrojów poprzecznych. Przyjąć: M1 = 10 kNm, M2 = 5 kNm, L = 1 m, d = 10 cm, G = 8104 MPa. Wał w tym przykładzie jest utwierdzony na obu końcach – zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Po uwolnieniu wału z więzów równanie równowagi momentów względem osi wału ma postać:

MA  MB  M1  M2  0 MA  MB  M1  M2  5kN m. Zadanie zostanie rozwiązane metodą myślowych przekrojów oraz metodą wykorzystującą zasadę superpozycji.

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

127

Metoda myślowych przekrojów Zgodnie z regułami określania myślowych przekrojów, w odniesieniu do wału pokazanego na rys. a należy rozpatrzyć cztery myślowe przekroje. Dla pierwszego przekroju od lewej strony wału (rys. b) z równania równowagi otrzymuje się

MS1  MA .

Dla kolejnych przekrojów (rys. c, d, e):

MS2  MA ,

MS3  MA  M1,

MS4  MA  M1  M2 .

Równanie równowagi dla brakującego odcinka wału pozwala na sprawdzenie poprawności obliczeń (rys. f): MS4 = MB. Do rozwiązania zadania konieczne jest drugie równanie, określane jako równanie geometryczne, mówiące, że kąt skręcenia wału w utwierdzeniu jest równy zeru. Dla utwierdzenia B równanie kąta skręcenia przekroju B względem A ma postać:

BA  0  1   2  3   3  0, MS1L MS2L MS1 2L MS1L     0. 2GJ1 2GJ 2 3GJ 3 3GJ3 Po określeniu biegunowych momentów bezwładności:

J1 





 d 4  0,8d d 4 d4 0,6d d4 , J2  , J3   0,5904  0,1296 32 32 32 32 32 4

4

oraz po uproszczeniu równania geometrycznego

9,0623MA  64,3  0



MA  7,095 kN m.

Z równania statyki określa się drugi moment oporowy: MB = 5 – MA = –2,095 kNm. Znak „–” oznacza, że na rys. a przyjęto niewłaściwy kierunek reakcji MB.

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

128

Zasada superpozycji Według zasady superpozycji każde obciążenie działające na wał może być rozpatrywane oddzielnie, a ich skutki można sumować. Zgodnie z tym oblicza się kąty skręcenia przekroju B wału wywołane działaniem momentów M1, M2 oraz MB, przy czym moment oporowy MB jest traktowany tutaj równoważnie z pozostałymi momentami (rys. g, h, i). Równanie geometryczne ma wówczas postać

B  B1  B2  BB  0,

B1  

M1L ML  1 , 2GJ1 2GJ2

B2 

M 2L M L M 2L M L M L M L  2  2 , BB  B  B  B , 2GJ1 2GJ 2 3GJ3 2GJ1 2GJ 2 GJ 3 MB  2,095 kN  m.

Moment MA wyznacza się z równania statyki. Metoda superpozycji jako narzędzie do napisania równania geometrycznego jest pod względem pracochłonności porównywalna z metodą myślowych przekrojów. W celu wykonania wykresów należy zastosować metodę przekrojów, pozwalająca wyznaczyć MSi. Po obliczeniu Ji oraz Wi można wykonać odpowiednie wykresy.

10 4  10 4 4  981,75 cm 4,  579,62 cm , J 2  J 1  0,5904 32 32 4  10 J 3  0,1296   127,235 cm4 , 32

W01 

 10 3 J1  196,35 cm 3,  115,925 cm3, W02  0,5d 16 3 0,6  10 W03   42,41cm3, 16

7,095 7,095  103  61,20 MPa, CD  10 3  36,13 MPa, 115,925 196,35 2,095  2,905  10 3  68,50 MPa, EB  10 3  49,40 MPa, 42,41 42,41

AC  DE

7,095  0,5 180  10 5  0,438 , 4 8 10  579,62  7,095  0,5 180   105  0,259 , 4 8  10  981,75 

 AC  CD

 2,905  2  1 180  105   1,090 , 4 3  8 10 127,235  2,095  1 180  105  0,393 . 4 3  8 10  127,235 

DE  EB

Poprawność obliczeń można sprawdzić za pomocą poniższego równania geometrycznego  AC   CD   DE   EB  0. Wszystkie wykresy pokazano na rys. a.

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

129

SKRĘCANIE SWOBODNE PRĘTÓW O PRZEKROJU NIEOKRĄGŁYM  max 

MS M l * ,   S ,    3  max WS GJS

WS  1b2h, JS  2b 3h,

Współczynniki  określa się z tabeli dla stosunku h/b (h > b). Przykładowe wartości : h/b

1

1,5

2

2,5

3

10



μ1 μ2

0,208 0,140

0,231 0,196

0,246 0,229

0,256 0,249

0,267 0,263

0,313 0,313

0,333 0,333

μ3

1,000

0,859

0,795

0,766

0,753

0,742

0,333

Dla h /  > 10  max 

MS 1 1 , W S   2h, JS   3 h. 3 3 WS

Pręt cienkościenny o profilu otwartym: WS 

n M J  JS , JS   J Si , max  S  Si  . i 1 JS  W Si max  JSi     W Si  max

Maksymalne  występuje w tej części pręta, dla której JSi / WSi osiąga maksymalną wartość. Pręt cienkościenny o przekroju zamkniętym:



MS , W S  2A 0 min, WS



(wzory Bredta)

2 0

MS L 4A , , JS  ds GJS  

A0 – pole powierzchni ograniczone linią środkową,  – grubość ścianki w miejscu obliczania  . 1 n M J   hi 3i,  max  S max, I 1  3 J

Wyroby hutnicze: max – największa szerokość prostokątnej części kątowniki, ceowniki, teowniki, składowej przekroju, dwuteowniki  – współczynnik korygujący wg tabeli:

11 Skręcanie wałów okrągłych.doc

130...