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teorema de stokes...

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Teorema de Stokes Uma extens˜ ao importante do teorema de green ´ e o teorema de stokes, que relaciona a integral de linha de ~ ao longo de uma curva fechada um campo vetorial F C no R3 com a integral sobre uma superficie S, onde ∂S = C.

1

Antes, faz-se necess´ ario introduzir as seguintes defini¸ co ˜es. Defini¸ c˜ ao: Uma curva fechada C ´ e chamada de simples se ela n˜ ao tem interse¸ ca ˜o com ela mesma. ~ = (F1, F2, F3) um campo vetorial Defini¸ c˜ ao: Seja F com derivadas parciais definidas num subconjunto aberto ~ , denotado do R3. O campo vetorial rotacional de F ~ ), ´ e definido por: por rot(F ~ rot(F~ ) = ∇ × F =

∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 − , − , − ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x 2

!

Teorema .1 (Stokes) Considerem-se:

• S uma superf´ıcie orient´ avel, parametrizada por: ϕ(u, v ), (u, v) ∈ D com ϕ de classe C 2 num aberto que contenha D ∪ ∂D;

• ∂S uma linha seccionalmente regular que ´ e bordo de S, onde ϕ(∂D )=∂S .

• ~ n um vector unit´ ario normal S com sentido em concordˆ ancia com o sentido do ∂S segundo a “Regra da m˜ ao direita”. 3

~ um campo vetorial de classe C 1 num aberto que • F contenha S ∪ ∂S .

Ent˜ ao: Z

∂S

~ · dr = F

ZZ h S

~) · ~ n rot(F

i

dS

O teorema a seguir, caracteriza os campos vetoriais de R3 que s˜ ao campos gradientes. Teorema .2 (Teorema das quatro equivalencias) Seja ~ = (F1, F2, F3) um campo vetorial de classe C 1 defiF nido em R3, exceto possivelmente em um n´ umero finito de pontos. As seguintes afirma¸ c˜ oes s˜ ao equivalentes:

1.

I

F~ · dr = 0, qualquer que seja a curva fechada C ,

C C 1 por partes, contida em Ω.

~ do ponto A at´ 2. A integral de linha de F e o ponto B independe da curva C 1 por partes , que liga A a B . 4

~ ´ 3. F e um campo gradiente de alguma fun¸ c˜ ao potencial f , isto ´ e, ∇f = F~ . ~) = ~ 0, isto ´ e, 4. rot(F ∂F2 ∂F1 = , ∂x ∂y

∂F1 ∂F3 = , ∂z ∂x

∂F3 ∂F2 . = ∂z ∂y

Exercicios:

1. Verifique o Teorema de Stokes sendo S=

n

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z, z ≤ 4

o

~ (x, y, z ) = (1, 0, 1 − x). e F (Use a parametriza¸ ca ˜o em coordenadas cartesianas e polares.) R:4π

2. Usando o T. Stokes calcule

Z Z

S

~ ) · dS, sendo rot(F

~ (x, y, z) = (x + 1, 0, 0) e S a superf´ıcie F S=

n

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2, 0 ≤ z ≤ 9

o

5

que tem orienta¸ ca ˜o dada pela normal que tem a componente em z negativa. R:0

3. Usando o T. Stokes, calcule o trabalho realizado no deslocamento de um ponto material ao longo do bordo de S, percorrido uma s´ o vez, no sentido ~ direto por ac¸ ca ˜o de G(x, y, z ) = (0, x, 0), sendo S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9, x + y + z = 4 n

4. Sejam S=

n

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0

o

o

e F~ (x, y, z ) = (−y, x, 1). Usando o T. Stokes, cales de S no sentido da cule o fluxo de rot(F~ ), atrav´ normal com a terceira componente positiva. R:2π ~ (x, y, z ) = (z, x, y ) 5. Calcule o fluxo de rot(F~ ) sendo F atrav´ es de

S=

n

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, −1 < z < 2

o

segundo a normal que tem a componente em z negativa. R:0

6. Usando o T. Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo F~ (x, y, z) = (0, 0, x) ao longo da parte da linha n

S=

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z = 1

o

com origem em (1,0,1), extremidade em (0,-1,1) e que passa por (0,1,1). 7. Calcule I

C

xdx + (x + y)dy + (x + y + z)dz

onde C ´ e a curva obtida como interse¸ ca ˜o do plano 2 2 z + y = 2 com o cilindro x + y = 1 8. Calcule I

C

ydx + zdy + xdz

onde C ´ e a curva obtida como interse¸ ca ˜o do plano 2 2 2 x + y = 2 com esfera x + y + z = 2(x + y). 9. Calcule x2 + ez )dz C 2 onde C ´ e a curva obtida como interse¸ ca ˜o do cilindro 2 2 2 x + y = 1, z ≥ 0, com o cone z = x2 + (y − 1)2. I

2xydx + [(1 − y)z + x2 + x]dy + (

10. Considere a superficie S = {(x, y, z) ∈3, z = Calcule: Z Z

S

q

x2 + y 2; 1 ≤ z ≤ 3}

~ ) · ds rot(F

~ (x, y, z) = (yz, −xz, z 3). onde F...