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Warning: TT: undefined function: 32EJERCICIOS PARA CLASETEMA 3: Equilibrio general1.- En una economía de intercambio puro habitan dos consumidores con unas funciones de utilidad: UA = XAYA y UB = XBYB . Las dotaciones iniciales son: el consumidor A tiene 2 unidades de X y 8 del bien Y, mientras que ...

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EJERCICIOS PARA CLASE

TEMA 3: Equilibrio general 1.- En una economía de intercambio puro habitan dos consumidores con unas funciones de utilidad: UA = XAYA y UB = XBYB . Las dotaciones iniciales son: el consumidor A tiene 2 unidades de X y 8 del bien Y, mientras que el consumidor B posee 8 unidades de cada bien. Se trata de un ejercicio sobre intercambio puro (consumo) con 2 individuos cuyas funciones de utilidad son simétricas (idénticas) de tipo Cobb-Douglas y donde los bienes (X e Y) son igual de útiles para ambos individuos (coeficientes de las Cobb-Douglas iguales para X e Y en ambos, en este caso iguales a 1)

a) Dibuje la caja de Edgeworth para esta economía La caja de Edgeworth es la representación gráfica de TODAS las combinaciones o asignaciones POSIBLES de reparto de ambos bienes (X e Y) entre los 2 individuos de esta economía. Se construye situando a cada individuo en uno de los dos vértices (inferior izquierda y superior derecha) y a cada bien en uno de los ejes (en nuestro caso, X en el eje horizontal e Y en el vertical, pero esto es subjetivo a la hora de resolver estos ejercicios). Por lo tanto, la base de esta caja será la dotación TOTAL del bien X (en este caso, XA + XB = 2 + 8 = 10) mientras que la altura de la caja será la dotación TOTAL del bien Y (en este caso, YA + YB = 8 + 8 = 16) Dentro de la caja de Edgeworth se puede representar, por lo tanto, la dotación inicial para cada individuo. En este caso, XA0 = 2 e YA0 = 8, mientras que XB0 = 8 e YB0 = 8. Finalmente, también se pueden representar las preferencias de ambos individuos, a través del mapa de curvas de indiferencia de ambos, para saber la utilidad que reciben de cada una de las reparticiones de bienes, así como los costes de oportunidad para ambos individuos (RMS o pendiente de cada curva de indiferencia) b) Calcule y dibuje la curva de contrato La curva de contrato es la representación gráfica de TODAS las asignaciones EFICIENTES desde el punto de vista de Pareto de esta economía de intercambio. Es decir, todas aquellas (infinitas) combinaciones en las que ninguno de los dos individuos puede aumentar su utilidad sin que disminuya la del otro.

Para calcular la curva de contrato hay que usar la condición de EFICIENCIA de Pareto, es decir, que las RMS (costes de oportunidad) de todos los individuos coincidan. Gráficamente, supone que las curvas de indiferencia de ambos individuos deben ser tangentes (mismas pendientes). En este caso: RMSXYA = RMSXYB RMSXYA = UMgxA/UMgyA = YA/XA RMSXYB = UMgxB/UMgyB = YB/XB Utilizando el dato del tamaño de esta economía (tamaño de la Caja de Edgeworth) se obtiene la ecuación matemática de la curva de contrato de intercambio de esta economía: YA/XA = YB/XB  YA/XA = (10 – YA) / (16 – XA)  YA = 1.6 XA, que es la bisectriz de la caja de Edgeworth (o YB = 1.6XB) Podéis comprobar que, efectivamente, la dotación inicial no era eficiente ya que no cumple con la ecuación de la curva de contrato recién calculada (para A: 8 no es igual a 1.6*2 = 3.2; mientras que para B: 8 no es igual a 1.6*8 = 12.5). Esto sugiere que ambos pueden intercambiar bienes y llegar a una situación mejor para ambos (que será el equilibrio competitivo del apartado siguiente) c) Calcule el equilibrio competitivo y compruebe que la asignación final es eficiente. Para calcular el equilibrio hay que resolver los dos problemas de optimización (maximización de la función de utilidad) de ambos individuos, sujeto a que ambos tienen una restricción presupuestaria (lo que gastan con la dotación inicial de bienes DEBE SER IGUAL en todo momento, ni se crea ni se destruye la renta del individuo) 1. Max UA = XAYA s.a. 2Px + 8Py = XAPx + YAPy 2. Max UB = XBYB s.a. 8Px + 8Py = XBPx + YBPy Para resolver estos problemas de optimización con una restricción, matemáticamente habría que construir el lagrangiano e igualar a cero sus derivadas primeras. Sin embargo, también se puede usar la lógica y el razonamiento económico aprendido hasta el momento.

Por ejemplo, para ambos individuos se tiene que cumplir la condición de óptimo de consumo individual, es decir, sus RMS deben ser iguales al coste de oportunidad del mercado o precio relativo (Px/Py): RMSXYA = YA/XA = Px/Py  XAPx = YAPy RMSXYB = YB/XB = Px/Py  XBPx = YBPy Estas ecuaciones se interpretan como que el gasto de cada individuo en cada uno de los dos bienes tiene que ser el mismo (porque son indiferentes ante ambos consumos según las funciones iniciales de utilidad). Sustituyendo estas condiciones en las dos restricciones presupuestarias, se obtiene: 2Px + 8Py = XAPx + YAPy = 2XAPx = 2YAPy 8Px + 8Py = XBPx + YBPy = 2XBPx = 2YBPy De las ecuaciones anteriores se obtienen las funciones de demanda de cada uno de los dos bienes para ambos individuos (XAD, XBD, YAD, YBD). En este ejercicio: XAD = (Px + 4Py) / Px YAD = (Px + 4Py) / Py XBD = (4Px + 4Py) / Px YBD = (4Px + 4Py) / Py Comprobad que estas funciones ÚNICAMENTE de los precios de ambos bienes. Normalizamos uno de los dos precios, por ejemplo, Py = 1, y sabiendo que la demanda total de ambos individuos debe coincidir con la dotación total de bienes de la economía (X = 10 e Y = 16) podemos obtener el Px, y por lo tanto, el precio relativo del equilibrio competitivo: XAD + XBD = 10 (Px + 4Py) / Px + (4Px + 4Py) / Px = (Px + 4) / Px + (4Px + 4) / Px = 10 (5Px + 8) / Px = 10  Px = 1.6 Obsérvese que el precio relativo Px/Py = 1.6 debe ser igual a la proporción relativa de bienes de la economía, es decir, 16/10 = 1.6 Finalmente, si sustituimos estos precios en las funciones de demanda individual anteriores se obtienen los consumos de cada individuo en el equilibrio competitivo. En este caso: XA* = 3.5

XB*= 6.5

YA* = 5.6

YB* = 10.4

Este equilibrio debe cumplir que la suma de bienes de ambos individuos sea igual a la dotación total de bienes de la economía, y además, cumplir la ecuación de la curva de contrato (es decir, que sea eficiente desde el punto de vista de Pareto)

Representación gráfica:

YA

XB

B

16

14

12

10

CURVA DE CONTRATO

UA0 UA* UB0 UB*

8

A0 / B0 6

A* / B*

4

2

YB

0

A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

XA

10

2.- En una economía de intercambio puro habitan dos consumidores con unas funciones de utilidad: UA = min (XA ,YA ) y UB = XBYB y Las dotaciones iniciales son: el consumidor A tiene 20 unidades del bien X y 10 del bien Y, mientras que el consumidor B posee 50 unidades de X y 60 unidades de Y. Se trata de un ejercicio similar al anterior, una economía pura de intercambio (consumo) con dos individuos. La única diferencia es que ahora uno de ellos (A) tiene unas preferencias marcadas por un consumo complementario perfecto; mientras que B vuelve a tener una utilidad Cobb-Douglas con indiferencia entre ambos consumos. a) Dibuje la caja de Edgeworth para esta economía (al final) b) Calcule y dibuje la curva de contrato RMSXYA = RMSXYB RMSXYA = UMgxA/UMgyA = 1 (en este caso la complementariedad perfecta de ambos consumos domina y determinará la forma de la curva de contrato) RMSXYB = UMgxB/UMgyB = YB/XB Luego la curva de contrato será la ecuación YA = XA  YB = XB Podéis comprobar que, efectivamente, la dotación inicial no era eficiente ya que no cumple con la ecuación de la curva de contrato recién calculada (para A: 10 no es igual a 20; mientras que para B: 60 no es igual a 50). Esto sugiere que ambos pueden intercambiar bienes y llegar a una situación mejor para ambos (que será el equilibrio competitivo del apartado siguiente) c) Calcule el equilibrio competitivo y compruebe que la asignación final es eficiente. 1.

Max UA = min (XA ,YA)

s.a. 2Px + 8Py = XAPx + YAPy Como la condición de óptimo de este consumidor exige que YA = XA, sustituyendo en la restricción presupuestaria se obtiene: 20Px + 10Py = (Px + Py) XA = (Px + Py) YA Y las funciones de demanda del individuo A serán: XAD = (20Px + 10Py) / (Px + Py) = YAD 2.

Max UB = XBYB

s.a. 8Px + 8Py = XBPx + YBPy Como la condición de óptimo de este consumidor exige que RMSB = YB/XB = Px/Py, entonces XBPx = YBPy y sustituyendo en la restricción presupuestaria: 50Px + 60Py = XBPx + YBPy = 2XBPx = 2YBPy

Y las funciones de demanda del individuo B serán: XBD = (25Px + 30Py) / Px YBD = (25Px + 30Py) / Py Normalizamos uno de los dos precios, por ejemplo, Py = 1, y sabiendo que la demanda total de ambos individuos debe coincidir con la dotación total de bienes de la economía (X = 70 e Y = 70) podemos obtener el Px, y por lo tanto, el precio relativo del equilibrio competitivo: XAD + XBD = 70 (20Px + 10Py) / (Px + Py) + (25Px + 30Py) / Px = 70  Px = 1 Obsérvese que el precio relativo Px/Py = 1 debe ser igual a la proporción relativa de bienes de la economía, es decir, 70/70 = 1 Finalmente, si sustituimos estos precios en las funciones de demanda individual anteriores se obtienen los consumos de cada individuo en el equilibrio competitivo. En este caso: XA* = 15

XB*= 55

YA* = 15

YB* = 55

Este equilibrio debe cumplir que la suma de bienes de ambos individuos sea igual a la dotación total de bienes de la economía, y además, cumplir la ecuación de la curva de contrato (es decir, que sea eficiente desde el punto de vista de Pareto) Representación gráfica:

CAJA DE EDGEWORTH XB YA

B

70 65 60 55 50 45

CURVA D E CONTRATO

40

UA0 UA* UB0 UB*

35

30 25 20

A* / B*

15 10

A0 / B0

5

YB

0

A

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

XA

70

3.- En una economía de intercambio puro habitan dos productores con unas funciones de producción: QA = LnLA + KA y QB = LnLB+ KB . Las dotaciones iniciales de factores productivos son: la empresa A tiene 4 unidades de trabajo y 6 de capital, mientras que la empresa B posee 8 unidades de cada factor. Se trata de un ejercicio sobre producción pura con 2 empresas cuyas funciones de producción son simétricas (idénticas) pero donde los factores de producción (L y K) no son igual de productivos. El resultado será que la eficiencia la marque únicamente el factor trabajo (ya que la productividad marginal del capital es siempre 1, independientemente de su cantidad)

a) Dibuje la caja de Edgeworth para esta economía La caja de Edgeworth es la representación gráfica de TODAS las combinaciones o asignaciones POSIBLES de reparto de ambos inputs (L y K) entre las 2 empresas de esta economía. Se construye situando a cada empresa en uno de los dos vértices (inferior izquierda y superior derecha) y a cada input en uno de los ejes (en nuestro caso, L en el eje horizontal y K en el vertical, pero esto es subjetivo a la hora de resolver estos ejercicios). Por lo tanto, la base de esta caja será la dotación TOTAL del factor trabajo (en este caso, LA + LB = 4 + 8 = 12) mientras que la altura de la caja será la dotación TOTAL del factor capital (en este caso, KA + KB = 6 + 8 = 14) Dentro de la caja de Edgeworth se puede representar, por lo tanto, la dotación inicial para cada individuo. En este caso, LA0 = 4 e KA0 = 6, mientras que LB0 = 8 e KB0 = 8. Finalmente, también se pueden representar las tecnologías de ambas empresas, a través del mapa de curvas isocuantas, para saber la producción que consiguen con cada una de las reparticiones de inputs, así como los costes de oportunidad para las empresas (RMST o pendiente de cada isocuanta)

b) Calcule y dibuje la curva de contrato de la producción. Para calcular la curva de contrato de producción hay que usar la condición de EFICIENCIA de Pareto, es decir, que las RMST (costes de oportunidad) de todas las empresas coincidan. Gráficamente, supone que las isocuantas de ambas deben ser tangentes (mismas pendientes). En este caso: RMSTLKA = RMSTLKB RMSTLKA = PMgLA/PMgKA = 1/LA / 1 = 1/LA RMSTLKB = PMgLB/PMgKB = 1/LB / 1 = 1/LB

Igualando ambas RMST se obtiene que la condición de eficiencia es LA = LB. Es decir, el factor trabajo debe repartirse a

partes iguales entre

ambas empresas

(independientemente del uso del capital). Como la dotación total de trabajo es igual a 12 unidades, entonces en el equilibrio competitivo final LA* = LB* = 6 Podéis comprobar que, efectivamente, la dotación inicial no era eficiente ya que no cumple con la ecuación de la curva de contrato recién calculada (4 no es igual a 8). Esto sugiere que ambas empresas pueden intercambiar inputs y llegar a una situación mejor para ambos (que será el equilibrio competitivo del apartado siguiente) c) Calcule el equilibrio competitivo y compruebe que la asignación final es eficiente. Para calcular el equilibrio hay que resolver los dos problemas de optimización (maximización de la función de producción) de ambas empresas, sujeto a que ambas tienen una restricción presupuestaria (lo que gastan con la dotación inicial de inputs DEBE SER IGUAL en todo momento, ni aumentan ni disminuyen los costes de la empresa) 1. Max QA = LnLA + KA s.a. 4w + 6r = wLA + rKA 2. Max QB = LnLB + KB s.a. 8w + 8r = wLB + rKB Para resolver estos problemas de optimización con una restricción, matemáticamente habría que construir el lagrangiano e igualar a cero sus derivadas primeras. Sin embargo, también se puede usar la lógica y el razonamiento económico aprendido hasta el momento, como en el caso de los ejercicios sobre consumo anteriores. Por ejemplo, para ambas empresas se tiene que cumplir la condición de óptimo de producción individual, es decir, sus RMST deben ser iguales al coste de oportunidad del mercado o remuneración relativa de factores (w/r): RMSTLKA = 1/LA = w/r  wLA = r RMSTLKB = 1/LB = w/r  wLB = r Estas ecuaciones se interpretan como que el gasto de cada empresa en el factor trabajo debe ser igual al precio unitario del capital (r), ya que la PMgK es siempre 1.

Sustituyendo estas condiciones en las dos restricciones presupuestarias, se obtiene: 4w + 6r = wLA + rKA = (1 + r) KA 8w + 8r = wLB + rKB = (1 + r) KB De las ecuaciones anteriores se obtienen las funciones de demanda de cada uno de los dos inputs para ambas empresas (LAD, LBD, KAD, KBD). En este ejercicio, ya sabíamos (por la condición de eficiencia de la curva de contrato) que LA* = LB* = 6, por lo que únicamente necesitamos las funciones de demanda del capital: KAD = (4w + 6r)/r – 1 = (4w + 5r) / r KBD = (8w + 8r)/r – 1 = (8w + 7r) / r Comprobad que estas funciones ÚNICAMENTE de los precios de ambos inputs. Normalizamos uno de los dos precios, por ejemplo, r = 1, y sabiendo que la demanda total debe coincidir con la dotación total de inputs de la economía (L = 12 y K = 14) podemos obtener el salario w, y por lo tanto, la remuneración relativa del equilibrio competitivo (w/r): KAD + KBD = 14 (4w + 5) + (8w + 7) = 14  w = 1/6 = 0.16 Finalmente, si sustituimos estos precios en las funciones de demanda individual anteriores se obtienen las dotaciones de inputs para cada empresa en el equilibrio competitivo. En este caso: LA* = 6

LB * = 6

KA* = 5.7

KB* = 8.3

Este equilibrio debe cumplir que la suma de bienes de ambos individuos sea igual a la dotación total de bienes de la economía, y, además, cumplir la ecuación de la curva de contrato (es decir, que sea eficiente desde el punto de vista de Pareto)

Representación gráfica:

CAJA DE EDGEWORTH LB KA

B

14 13 12 11 10 9 QA0 8

QA* QB0

7

QB*

A0 / B0 6

CURVA CTO PRODUCCION

A* / B*

5 4 3 2

KB

1

A

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

LA

12

4.- En una economía de intercambio puro habitan dos consumidores con unas funciones de producción: QA = LA1/4KA

1/4

y QB = LB1/4KB

1/4

. Las dotaciones iniciales de factores

productivos son: la empresa A tiene 12 unidades de trabajo y 8 de capital, mientras que la empresa B posee 8 unidades de L y 12 de K. Se trata de un ejercicio sobre producción pura con 2 empresas cuyas funciones de producción son simétricas (idénticas) de tipo Cobb-Douglas y donde los factores de producción (L y K) son igual de productivos para ambas empresas (coeficientes de las Cobb-Douglas iguales para L y K en ambos, en este caso iguales a 1/4). La diferencia con los anteriores es que en este caso se pide también construir la FPP por lo que se trata del ejercicio más completo de los hechos hasta ahora en este tema.

a) Dibuje la caja de Edgeworth para esta economía (al final) b) Calcule y dibuje la curva de contrato de la producción. RMSTLKA = RMSTLKB RMSTLKA = PMgLA/PMgKA = KA/LA RMSLKB = PMgLB/PMgKB = KB/LB Utilizando el dato del tamaño de esta economía (tamaño de la Caja de Edgeworth) se obtiene la ecuación matemática de la curva de contrato de producción: KA/LA = KB/LB  KA/LA = (20 – KA) / (20 – LA)  KA = LA, que es la bisectriz de la caja de Edgeworth (o KB = LB) Podéis comprobar que, efectivamente, la dotación inicial no era eficiente ya que no cumple con la ecuación de la curva de contrato recién calculada (para A: 8 no es igual a 12; mientras que para B: 12 no es igual a 8). Esto sugiere que ambas pueden intercambiar inputs y llegar a una situación mejor para ambos (que será el equilibrio competitivo del apartado siguiente)

c) Calcule el equilibrio competitivo y compruebe que la asignación final es eficiente. Para ambas empresas se tiene que cumplir la condición de óptimo de producción individual, es decir, sus RMST deben ser iguales al coste de oportunidad del mercado o remuneración relativa de factores (w/r): RMSTLKA = KA/LA = w/r  wLA = rKA RMSTLKB = KB/LB = w/r  wLB = rKB

Estas ecuaciones se interpretan como que el gasto de cada empresa en ambos factores debe ser igual, ya que ambos factores son igual de productivos para cada empresa (son indiferentes ante contratar un trabajador o una unidad de capital). Sustituyendo estas condiciones en las dos restricciones presupuestarias, se obtiene: 12w + 8r = wLA + rKA = 2wLA = 2rKA 8w + 12r = wLB + rKB = 2wLB = 2rKB De las ecuaciones anteriores se obtienen las funciones de demanda de cada uno de los dos inputs para ambas empresas (LAD, LBD, KAD, KBD).: LAD = (6w + 4r) / w LBD = (4w + 6r) / w KAD = (6w + 4r) / r KBD = (4w + 6r) / r Comprobad que estas funciones ÚNICAMENTE de los precios de ambos inputs. Normalizamos uno de los dos precios, por ejemplo, r = 1, y sabiendo que la demanda total debe coincidir con la dotación total de inputs de la economía (L = 20 y K = 20) podemos obtener el salario w, y por lo tanto, la remuneración relativa del equilibrio competitivo (w/r): KAD + KBD = 20 (6w + 4) + (4w + 6) = 10w + 10 = 20  w = 1 Finalmente, si sustituimos estos precios en las funciones de demanda individual anteriores se obtienen las dotaciones de inputs para cada empresa en el equilibrio competitivo. En este caso: LA* = 10

LB*= 10

KA* = 10

KB* = 10

Este equilibrio debe cumplir que la suma de bienes de ambos individuos sea igual a la dotación total de bienes de la economía, y, además, cumplir la ecuación de la curva de contrato (es decir, que sea eficiente desde el punto de vista de Pareto)

Representación gráfica: CAJA DE EDGEWORTH LB KA

B

20 19 18 17 16 15 14

13 QA0

12

QA*