Solucionario - Calculo aplicado PDF

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Solucionario de calculo...

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SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO CÁLCULO APLICADO

ESCOM MARTHA PATRICIA JIMENEZ VILLANUEVA

1

SOLUCIONARIO

2

SOLUCIONARIO

INDIC E RAZO N DE C AMBIO ................................................................................................................. 6 Eje rc ic io 1 ............................................................................................................................... 6 Eje rc ic io 2 ............................................................................................................................... 9 Eje rc ic io 3 ............................................................................................................................. 10 Eje rc ic io 4 ............................................................................................................................. 11 Eje rc ic io 5 ............................................................................................................................. 13 Eje rc ic io 5 ............................................................................................................................. 14 Eje rc ic io 7 ............................................................................................................................. 15 Eje rc ic io 7 ............................................................................................................................. 17 Eje rc ic io 8 ............................................................................................................................. 18 Eje rc ic io 8 ............................................................................................................................. 20 Eje rc ic io 8 ............................................................................................................................. 22 Eje rc ic io 9 ............................................................................................................................. 23 Eje rc ic io 10 ........................................................................................................................... 24 Eje rc ic io 10 ........................................................................................................................... 25 Eje rc ic io 10 ........................................................................................................................... 26 Eje rc ic io 12 ........................................................................................................................... 27 Eje rc ic io 15 ........................................................................................................................... 28 Eje rc ic io 16 ........................................................................................................................... 28 Eje rc ic io 30 ........................................................................................................................... 29 Eje rc ic io 39 ........................................................................................................................... 31 PUNTO S C RITIC O S................................................................................................................... 33 Eje rc ic io 5 ............................................................................................................................. 33 Eje rc ic io 16 ........................................................................................................................... 33 Eje rc ic io 21 ........................................................................................................................... 34 Eje rc ic io 22 ........................................................................................................................... 35 Eje rc ic io 26 ........................................................................................................................... 37 Eje rc ic io 27 ........................................................................................................................... 37 Eje rc ic io 28 ........................................................................................................................... 39 Eje rc ic io 29 ........................................................................................................................... 39

3

SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 40 ........................................................................................................................... 41 O PTIMIZAC IO N ........................................................................................................................ 43 Eje rc ic io 1 ............................................................................................................................. 43 Eje rc ic io 2 ............................................................................................................................. 43 Eje rc ic io 3 ............................................................................................................................. 45 Eje rc ic io 12 ............................................................................................................................. 0 Eje rc ic io 22 ............................................................................................................................. 1 DIFERENCIAL .............................................................................................................................. 3 Eje rc ic io 3 ............................................................................................................................... 3 Eje rc ic io 35 ............................................................................................................................. 3 SO LIDO S DE REVO LUC IÓ N ..................................................................................................... 4 Eje rc ic io 1 ............................................................................................................................... 4 Eje rc ic io 2 ............................................................................................................................... 5 Eje rc ic io 2 ............................................................................................................................... 8 Eje rc ic io 6 ............................................................................................................................. 10 Eje rc ic io 6 ............................................................................................................................. 12 Eje rc ic io 7 ............................................................................................................................. 14 Eje rc ic io 8 ............................................................................................................................. 15 Eje rc ic io 11 ........................................................................................................................... 15 Eje rc ic io 12 ........................................................................................................................... 16 Eje rc ic io 18 ........................................................................................................................... 18 Eje rc ic io 19 ........................................................................................................................... 20 Eje rc ic io 23 ........................................................................................................................... 21 Eje rc ic io 24 ........................................................................................................................... 22 Eje rc ic io 27 ........................................................................................................................... 22 Eje rc ic io 29 ........................................................................................................................... 25 Eje rc ic io 40 ........................................................................................................................... 27 Eje rc ic io 40 ........................................................................................................................... 28 Eje rc ic io 41 ........................................................................................................................... 29 Eje rc ic io 46 ........................................................................................................................... 30 Eje rc ic io 46 ........................................................................................................................... 33 Eje rc ic io 49 ........................................................................................................................... 34 Eje rc ic io 51 ........................................................................................................................... 36

4

SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 61 ........................................................................................................................... 37 FO RMAS INDETERMINADAS.................................................................................................. 40 Eje rc ic io 1 ............................................................................................................................. 40 Eje rc ic io 2 ............................................................................................................................. 41 Eje rc ic io 3 ............................................................................................................................. 42 Eje rc ic io 1 ............................................................................................................................. 61 Eje rc ic io 2 ............................................................................................................................. 62 Eje rc ic io 3 ............................................................................................................................. 64 Eje rc ic io 4 ............................................................................................................................. 65 Eje rc ic io 5 ............................................................................................................................. 67 Eje rc ic io 7 ............................................................................................................................. 71

5

SOLUCIONARIO

RAZO N DE C AMBIO Eje rc ic io 1

Un niño usa una p a jilla p a ra b e b e r a g ua d e un va so c ó nic o (c o n e l vé rtic e ha c ia a b a jo ) a ra zó n d e 3

฀฀฀฀3 ฀฀฀฀฀฀

Si la a ltura d e l c a so e s d e 10 c m y

si e l d iá m e tro d e la p a rte sup e rio r e s d e 6 c m .

h

10 cm

a ) ¿ C uá l e s la va ria c ió n d e l ra d io e n e se m ism o insta nte ? b ) ¿ C o n q ué ra p id e z b a ja e l nive l d e l a g ua c ua nd o la p ro fund id a d e s d e 5 c m?

So luc ió n: a ) De b e m o s o b te ne r una ra zó n d e c a m b io d e la va ria c ió n d e la a ltura d e l a g ua c o n re sp e c to a l tie m p o , e sto , lo o b te nd re m o s ha b ie nd o e nc o ntra d o la e xp re sió n c o rre sp o nd ie nte . Pa ra o b te ne r la e xpre sió n m e nc io na d a , no s a yud a re m o s d e d e finic ió n d e vo lum e n d e un c o no :

la

฀฀ 2 ℎ ฀฀ ฀฀= 3

Pa ra o b te ne r la ra zó n d e c a m b io , e s ne c e sa rio d e riva r p a rc ia lme nte , a q uí te ne m o s d o s o p c io ne s, d e riva r p a rc ia lme nte V, r y h, o p o ne r a r e n func ió n d e h o

3cm r

6

h

vic e ve rsa . Si o b se rva m o s, p o d e m o s o b te ne r una re la c ió n d e

SOLUCIONARIO

lo s triá ng ulo s o b te nid o s d e sp ué s d e c o rta r e l c o no ve rtic a lm e nte p o r la m ita d .

Si o b se rva m o s, y c o n uso d e nue stro s c o no c im ie nto s d e g e o m e tría d e se c und a ria , e nc o ntra re m o s d o s triá ng ulo s se m e ja nte s, p o r lo q ue p o d e m o s p ro p o ne r:

฀฀ ℎ = → ℎ = (10/3)฀฀ 10 3

Lue g o , p o d e m o s sustituir e n la e c ua c ió n d e l vo lum e n.

฀฀ 2 10฀฀ ฀ ฀ = ( )( )฀฀ 3 3

Aho ra d e riva m o s re sp e c to a l tie m p o d e m a ne ra im p líc ita .

10฀฀ 2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ � ฀฀ =� 3 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = −3 ฀฀฀฀

Y a ho ra sustituimo s lo s va lo re s q ue c o no c e m o s, p o r e je m p lo :

El va lo r e s ne g a tivo p ue s e stá d ism inuye nd o . Lue g o , d e sp e ja nd o d r/ d t y sustituye nd o va lo re s te ne m o s:

฀฀฀฀ 2 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ 15฀ ฀ ฀฀฀฀

2 ฀฀฀฀ (−3) = ฀฀฀฀ 15฀ ฀ −6 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ 15฀฀

฀฀฀฀ −2 = ฀฀฀฀ 5฀ ฀

b ) Aho ra ne c e sita m o s la ra zó n d e c a m b io d e la a ltura re sp e c to a l tie m p o , p o r lo q ue d e nue stro triá ng ulo p o d re m o s o b te ne r una re la c ió n:

฀฀ 3 ℎ = → ฀฀ = � � ℎ 10 10 3 7

SOLUCIONARIO

฀฀=( Aho ra d e riva m o s imp líc ita m e nte :

9ℎ2

100

฀฀฀฀

ℎ)฀฀ )(3

9ℎ2 ฀฀ℎ = � � ฀฀ ฀฀฀฀ 100 ฀฀฀฀

De sp e ja m o s la ra zó n d e c a m b io d e la a ltura re sp e c to a l tie m p o :

Aho ra so lo sustituim o s:

100 ฀฀฀฀ ฀฀ℎ = � 2 � 9ℎ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

100 ฀฀ℎ � (−3) = � (9)(25)฀฀ ฀฀฀฀

฀฀ℎ

฀฀฀฀

฀฀ℎ 4 =− 3฀฀ ฀฀฀฀

= −.4244(c m / se g )

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SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 2

9

SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 3

10

SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 4

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SOLUCIONARIO

12

SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 5

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SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 5

Un g lo b o a e ro stá tic o se infla d e ta l m o d o q ue su vo lum e n e stá inc re m e nta nd o a ra zó n d e 84,951 d m 3 / m in. ¿ C o n q ue ra p id e z e stá inc re m e ntá nd o se e l d iá m e tro d e l g lo b o c ua nd o e l ra d io e s 3,05 d m ?

Soluc ió n

Da to s

Ra zó n d e c a m b io d e vo lum e n c o n re sp e c to a l tie m p o : d v/ d t =84.951 d m 3 / m in. Ra d io e n un insta nte d e tie m p o : r = 3,05 d m . Dia g ra m a

r = Ra d io d e la e sfe ra d = Diá m e tro d e la e sfe ra

Re so lvie nd o

Sup o nie nd o q ue e l g lo b o tie ne una fo rm a e sfé ric a , p o d e m o s utiliza r la fó rm ula d e l vo lume n p a ra p o d e r re la c io na rla c o n su d iá m e tro . 14

SOLUCIONARIO

V= 4/3 π r3

Ta m b ié n sa b e m o s q ue a l se r una e sfe ra e l d iá m e tro ( d d / d t) e s ig ua l a 2 ve c e s la ra zó n d e c a m b io d e l ra d io ( d r/ d t ), e nto nc e s p o d e m o s e xp re sa rlo c o n la ra zó n d e c a m b io . 2 d r/ d t = d d / d t

Ha c ie nd o la d e riva d a p a rc ia l p a ra la fó rm ula d e l vo lum e n: V= 4/ 3 π r3 d v/ d t = 4/ 3 π (3) r2 d r/ d t

De sp e ja nd o la ra zó n d e c a m b io d e l ra d io : d r/ d t = (d v/ d t) / (4/ 3 π (3) r2)

Sustituye nd o e l va lo r d e (d v/ d t) y “ r” : d r/ d t = (84.951 d m 3 / m in.) / (4/ 3 π (3) (3.05 d m ) 2)

Re sulta d o d e la ra zó n d e c a m b io d e l ra d io d r/ d t = 0.726 d m / m in. Multip lic a nd o p o r 2 p a ra o b te ne rla e n func ió n d e l d iá m e tro 2 d r/ d t = 1.453 d m / m in. Po r lo ta nto la ra zó n d e c a m b io d e l d iá m e tro e s: Eje rc ic io 7

De un tub o sa le a re na a ra zó n d e 16d m 3 / se g . Si la a re na fo rm a una p irá mid e c ó nic a e n e l sue lo c uya a ltura e s sie mp re ¼ d e l d iá m e tro d e la b a se .

15

1.453 dm/min.

SOLUCIONARIO

¿ C o n q ue ra p id e z a um e nta la p irá m id e c ua nd o e sta m id e 4d m d e a ltura ? Da to s d v/ d t =16d m 3 / se g (d o n d e l la a ltura e s un c ua rto d e l d iá m e tro to ta l d e la p irá m id e ) h=1/ 4D Pa ra p la nte a rlo , ha y q ue sa b e r q ue e n c a d a m o m e nto sie m p re e s una p irá m id e c ó nic a , o se a no se e sta a p e na s fo rm a nd o . Fo rm ula d e l vo lume n d e la p irá m id e c ó nic a

V= 1/3(π r2 *h) De b e m o s d e ja r la fo rm ula d e l vo lume n e n te rm ino d e la a ltura , p ue s q ue re m o s sa b e r c o n q ue ra p id e z c a m b ia . h=1/ 4D d e sp e ja nd o : d =4h a ho ra sustituimo s e n la fo rm ula d e l vo lum e n, e n e ste c a so p o r r2 , p a ra ya d e ja rla e n té rm ino s d e la a ltura . (se d ivid e e ntre 2 p o rq ue e l ra d io e s la m ita d d e l d iá m e tro )

v=1/3 (π (4h/2) *h)

= 1/3(π 16h3 / 4)

v= π 16h3 / 12 12v= π 16h3 De riva nd o

12dv/dt=3(π 16h2)d h/ d t De sp e ja nd o d h/ d t=12(d v/ d t)/ 3( π 16h2) sustituye nd o d a to s d v/ d t =16d m 3 / se g ; a ltura =4d m 12(16d m 3)/ 3(( π 16(4) 2)=192/ 2412.74=0.07957 d m / se g

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SOLUCIONARIO

Eje rc ic io 7

De un tub o sa le a re na a ra zó n d e 16 d m 3/ se g . Si la a re na fo rm a una p irá m id e c ó nic a e n e l sue lo c uya a ltura e s sie m p re ¼ d e l d iá m e tro d e la b a se , ¿ C o n q ué ra p id e z a um e nta la p irá m id e c ua nd o tie ne 4d m d e a ltura ?

h = 4dm

r

฀฀฀฀ = 16 ฀฀฀฀3/฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ Te ne m o s la fo rm ula d e l vo lum e n:

฀฀=

฀฀฀฀ 2 ℎ 3

r = ra d io d e la b a se d e l c o no h = a ltura d e l c o no De a c ue rd o a l e nunc ia d o : h = � � ฀฀ = � � 2฀ ฀ = �� ฀฀ 1

4

1

4

2

1

r = 2h

Sustituim o s “ r” e n la fo rm ula :

฀฀=

฀฀(2ℎ)2 ℎ ฀฀4ℎ3 = 3 3

17

SOLUCIONARIO

Po r últim o d e riva m o s y sustituim o s a “ h” p o r la a ltura q ue no s p id e n (4d m ).

฀฀฀฀

4฀฀ 2 ฀฀ℎ 3ℎ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 3 ฀฀ℎ ฀฀฀฀ 1 = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀4฀฀ℎ2 =

฀฀ℎ 1 � = 16 � ฀฀฀฀ 4฀฀ (4)2

฀฀ℎ = 0.07957฀฀฀฀/฀฀฀฀฀฀. ฀฀฀฀ Eje rc ic io 8

Una m uje r, e n un m ue lle , tira d e un b o te a ra zó n d e 15 m e tro s p o r m inuto sirvié nd o se d e una so g a a m a rra d a a l b o te a l nive l d e l a g ua . Si la s m a no s d e la m uje r se ha lla n a 4.8 m e tro s p o r a rrib a d e l nive l d e l a g ua , ¿ c o n q ué ra p id e z e l b o te se a p ro xim a n a l m ue lle c ua nd o la c a ntid a d d e c ue rd a sue lta e s d e se is m e tro s?

z

y =4.8 m.

x

Do nd e : Y =a ltura d e la m uje r so b re e l nive l d e l ma r(4.8 m ), e s una c o nsta nte ya q ue la m uje r nunc a se m ue ve n d e d ic ha a ltura . Z= so g a (6 m ). X=d ista nc ia e ntre e l b o te y la m uje r (15m e tro s/ m in.). Po r m e d io d e l Te o re m a d e Pitá g o ra s p o d e m o s sa b e r c uá nto va le X e n e l m o m e nto e n q ue Z e s ig ua l a se is y a sí m ism o te ne m o s nue stra func ió n p rinc ip a l. 18

SOLUCIONARIO

฀฀² = ฀฀² + ฀฀²

De sp e ja m o s a X y sustituim o s va lo re s:

�62 − 4.82 = ฀฀ X=3.6 m .

De riva m o s la func ió n p rinc ip a l.

฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 2฀฀ = 2 ฀ ฀ + 2฀ ฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

El d a to q ue e sta mo s b usc a nd o e s la ra zó n d e c a m b io e n la d ista nc ia d e l b o te y la muje r re sp e c to a l tie m p o , sa b ie nd o e sto , lo q ue va mo s a d e sp e ja r se r...