Solucionario Transferencia de Calor Incropera - Capitulo Uno PDF

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Fundamentos de Transferencia de Calor

FRANK INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANFERENCIA DE CALOR –CUARTA EDICIÓN EN ESPAÑOL – CAPITULO 1 – INTRODUCCIÓN A LA TRANFERENCIA DE CALOR

PROBLEMA 1.1

Un flujo de calor de 3Kw se conduce a través de una sección de una material aislante de área de sección transversal 10 m2 y espesor 2,5 cm. Si la temperatura de la superficie interna (caliente) es de 415°C y la conductividad térmica del material es 0,2 W/m.K. ¿Cuál es la temperatura de la superficie externa?

SOLUCIÓN 1.1

Suposiciones 1) Conducción unidimensional en dirección x 2) Condiciones de estado estacionario 3) Propiedades Constantes Análisis Según la Ley de Fourier

q cond = q x = q "x . A = −K Web site: www.qukteach.com

dt T1 − T2 . A = K. A. dx L e-mail: [email protected]

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Para :

T2 = T1 −

q cond . L K. A

3. 103 Wx2,5. 10−2m T2 = 415°C − = 415°C − 37,5°C = 377,5°C W 2 0,2 x10m m. K

PROBLEMA 1.2

Una pared de concreto, que tiene un área superficial de 20 m2 y 0,30 m de espesor, separa el aire acondicionado de una habitación del aire ambiental. La temperatura de la superficie interna de la pared se mantiene a 25°C, y la conductividad térmica del concreto es 1W/m.K. a) Determine la pérdida de calor a través de la pared para temperaturas ambientes en el rango de -15°C a 38°C, que corresponden a extremos de invierno y verano, respectivamente. Muestre en forma gráfica sus resultados En su gráfica, también trace la pérdida de calor como función de la temperatura ambiente para materiales de la pared que tengan conductividades térmicas de 0,75 y 1,25 W/m.K. Explique la familia de curvas que obtiene.

SOLUCIÓN 1.2

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Suponer 1) 2) 3) 4)

Conducción unidimensional en dirección x Condiciones de estado estacionario Propiedades Constantes Temperatura exterior es la del aire en el ambiente.

Análisis Según la Ley de Fourier

q cond = q x = q "x . A = −K

dt T1 − T2 . A = K. A. dx L

Entonces :

qx =

K. A x(T1 − T2 ) … … … 𝛼 L

Para K = 1

W → q x1 = mK

1 W� m. K . 20m2 0,3m

. (25 − T2 ) = 66.67(25 − T2 ) … … . . (β)

En (β) para T2 = −15°C → q x1 = 2666.67 W para T2 = 38°C → q x1 = −866.67 W

0,75 W� m. K . 20m2

W → q x2 = mK 0,3m = 50(25 − T2 ) … … . . (δ)

Para K = 0,75

. (25 − T2 )

En (δ) para T2 = −15°C → q x2 = 2000 W para T2 = 38°C → q x2 = −650 W

1,25 W� m. K . 20m2

W → q x3 = mK 0,3m = 83,33(25 − T2 ) … … . . (θ)

Para K = 1,25

. (25 − T2 )

En (θ) para T2 = −15°C → q x3 = 3333.33 W

para T2 = 38°C → q x3 = −1083.33 W

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PROBLEMA 1.3

Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50 mm de espesor, cuyas temperaturas sobre las superficies interna y externa son 40 y 20°C, respectivamente es 40 W/m2. ¿Cuál es la actividad térmica de la madera?

SOLUCIÓN 1.3

Suposiciones: 1) Conducción unidimensional en dirección x 2) Condiciones de estado estacionario 3) Propiedades constantes Análisis Según la Ley de Fourier

𝐪"𝐱. 𝐀 = −𝐊 K = q"x ∗

𝐓𝟏 − 𝐓𝟐 𝐝𝐭 = 𝐊. 𝐋 𝐝𝐱 L

T1 − T2

= 40

0.05 m W W W ∗ ó 0.10 = 0.10 2 mK m 40 − 20°C m°C

La variación de temperatura en grados Celsius es igual que en grados Kelvin → ∆T(°C) = ∆T(K)

PROBLEMA 1.4 Web site: www.qukteach.com

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Las temperaturas de la superficie interna y externa de una ventana de vidrio de 5 mm de espesor son 15 y 5°C. ¿Cuál es la pérdida de calor a través de una ventana que mide 1x3 m de lado. La conductividad térmica del vidrio es 1.4 W/m.K

SOLUCIÓN 1.4

Suposiciones a) Conducción unidimensional en la dirección x b) Condiciones de estado estacionario c) Propiedades constantes Análisis Según la Ley de Fourier

q"x = −K

dt T1 − T2 W w (15 − 5°C) = K. = 2800 2 ∗ = 1.4 m dx 0,005m m. K L

Para un flux uniforme de calor

q perdido = q"x. A = 2500 Web site: www.qukteach.com

W ∗ 3m2 = 8400 W m2 e-mail: [email protected]

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PROBLEMA 1.5

El comportamiento de un congelador consiste en una cavidad cúbica que tiene 2m de lado. Suponga que el fondo está perfectamente aislado. ¿Cuál es el espesor mínimo de aislante de espuma de poliuretano (K=0.0030 W/m.K) que debe aplicarse en las paredes superior y laterales para asegurar una carga de calor de menos de 500 W, cuando las superficies interior y exterior están a -10 y 35°C?

SOLUCIÓN 1.5

Suponer: 1) 2) 3) 4)

Fondo perfectamente aislado Flujo unidimensional sobre 5 paredes de área 4 m2 Estado estacionario Propiedades constantes

Análisis: Según la Ley de Fourier

q x = q" . Atotal = K.

∆T .A L total

Atotal = 5(4m2 ) = 20m2 Web site: www.qukteach.com

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L=

K. ∆T

. Atotal q L = 0,054 m

W [35 − (−10°C)] 0.03 m. K ∗ (20m2 ) 500 W =

PROBLEMA 1.6

¿Cuál es el espesor que se requiere de una pared de mampostería que tiene una conductividad térmica de 0.75 W/m. K, si la velocidad del calor será 80% de la velocidad del calor a través de un pared de estructura compuesta que tiene una conductividad térmica de 0.25 W/m. K y un espesor de 100 mm? Ambas paredes están sujetas a la misma diferencia de temperatura superficial.

SOLUCIÓN 1.6

Esquema:

Suposiciones: a) b) c) d)

Ambas paredes están sujetas a la mima variación de temperatura Conducción unidimensional Condición de estado estacionario Propiedades constantes

Análisis: Según la ecuación: Web site: www.qukteach.com

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∆𝑇 𝑞″ = 𝑘. 𝐿 •

Como ∆𝑇 es el mismo para ambas:

𝑘1 𝑞″ 2 𝐿1 = 𝐿 2 . × ″ 𝑘2 𝑞 1 •

Además:

𝑞″1 = 0.8𝑞″2 → 𝐿1 = 100 𝑚𝑚 .

0.75𝑊/𝑚. 𝑘 1 → 𝐿1 = 375 𝑚𝑚 × 0.25 𝑊 /𝑚. 𝑘 0.8

PROBLEMA 1.7

Un chip cuadrado de silicio

tiene un ancho

mm de lado y espesor

mm. El chip se monta en sustrato de modo que sus lados y la superficie inferior quedan aislados, mientras que la superficie frontal se expone a un fluido refrigerante.

Si se disipan 4

de los circuitos montados en la diferencia de temperaturas de estado estable

entre las superficies inferior y frontal?

SOLUCIÓN 1.7

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Esquema:

Suposiciones: a) b) c) d)

Condición de estado estacionario Propiedades constantes Conducción unidimensional La disipación de calor es uniforme

Análisis: Según la ley de Fourier, tomando el calor disipado:

P = q = k. A. → ∆T =

∆T ∆x

;

A = L2

∆x. P 0.001m . 4W = 1.1℃ = 150W /m. K. (0.005m )2 k. L2

PROBLEMA 1.8

Una galga para medir el flujo de calor de una superficie o a través de un material laminado emplea termopares de película delgada de cromel/alumel (tipo K) depositados sobre las superficies superior e inferior de una plaquita con una conductividad térmica de 1.4 W/m.K y un espesor de 0.25 mm.

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(a) Determine el flujo de calor q“ a través de la galga cuando el voltaje de salida en los conductores de cobre es 350 μV. El coeficiente de Seebeck de los materiales tipo K del termopar es aproximadamente 40 μV/℃. ¿Qué precaución es necesaria al usar una galga de esta naturaleza para medir el flujo de calor a través de la estructura laminada que se muestra arriba?

SOLUCIÓN 1.8

Esquema:

-

Material termopar tipo k (A - cromel y B - alumel)

-

Coeficiente Seebeck, 𝑆𝐴𝐵 = 40𝜇𝑉/℃

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a) Condiciones de estado condicionado b) Propiedades constantes c) Conducción de calor unidimensional en la galga Análisis: a) Aplicando la ley de Fourier:

𝑞″ = 𝑘.

∆𝑇 ∆𝑥

→ El gradiente puede ser expresado como:

∆𝑇 ∆𝐸 /𝑁 = ∆𝑥 𝑆𝐴𝐵 . 𝑒 Donde N es el número de unidades conectadas (5). → Se tiene:

q″ =

1.4W/m. K × 350 × 10−6 V = 9800W/m2 −6 −3 5.40 × 10 V/℃ × 0.25 × 10 m

b) La mayor preocupación a tomar en cuenta con este tipo de galgas es que coincida su conductividad térmica con la del material en el que está instalado. Si una galga está conectada entre las láminas y si su conductividad térmica es significativamente diferente de las láminas, un flujo de calor unidimensional la perturbará y la galga leerá incorrectamente.

PROBLEMA 1.9

Usted ha experimentado el enfriamiento por convección si alguna vez sacó la mano por la ventana de un vehículo en movimiento o si la sumergió en una corriente de agua. Si la superficie de la mano se considera a una temperatura de 30 ℃, determine el flujo de calor por convección para (a) una velocidad del vehículo de 35 km/h en aire a -5℃ con un coeficiente de convección de y (b) una velocidad de 0.2 m/s en una corriente de agua a 10 ℃ con un coeficiente de Web site: www.qukteach.com

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convección de

. ¿En cuál condición se sentiría más frío? Compare estos resultados

con una pérdida de calor aproximadamente

en condiciones ambientales normales.

SOLUCIÓN 1.9

Esquema:

Suposiciones: a) Temperatura es uniforme sobre la superficie de la mano b) Coeficiente de convección es uniforme sobre la mano c) Insignificante intercambio de radiación entre la mano y sus alrededores en caso del flujo de aire Análisis: Para este calor perdido, según la ley de enfriamiento de Newton:

q″ = h(Ts − T∞ ) •

Para la corriente de aire:

𝑞″ 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 40𝑊/𝑚 2. 𝐾 × [30 − (−5)]𝐾 = 1400 𝑊/𝑚 2 •

Para la corriente de agua:

𝑞″ 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 900𝑊/𝑚 2. 𝐾 × [30 − (−5)]𝐾 = 1800 𝑊/𝑚2 -

La pérdida de calor de la mano en el chorro de agua es mayor que cuando está frente a una corriente de aire para la temperatura y condiciones de coeficiente de convección definidas.

Por el contrario, la pérdida de calor en un ambiente normal de la habitación es de 30𝑊/𝑚2 que es de 400 veces menor que la pérdida ante la corriente de aire. Entonces ante el aire y las corrienWeb site: www.qukteach.com

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tes de agua, la mano sentirá más frio ya que la pérdida de calor es alto que a condiciones ambientales.

PROBLEMA 1.10

Sobre un cilindro largo, de 25 mm de diámetro con un calentador eléctrico interno, fluye aire a 40 ℃. En una serie de pruebas, se realizaron mediciones de la potencia por unidad de longitud, P´, que se requiere para mantener la temperatura superficial del cilindro a 300 ℃, a diferentes velocidades V de la corriente libre del aire. Lo resultados son los siguientes: Velocidad del aire, V (m/s)

1

2

4

8

12

Potencia, P´ W/m

450

658

983

1507

1963

(a) Determine el coeficiente de convección para cada velocidad, y muestre gráficamente los resultados. Suponiendo que la dependencia del coeficiente de convección con la velocidad es de la forma , determine los parámetros C y n a partir de los resultados de la parte (a).

SOLUCIÓN 1.10

Esquema:

Datos: 𝑉(𝑚/𝑠)

𝑃′ 𝑒 (𝑊/𝑚)

1

2

4

8

12

450

658

983

1507

1963

Suposiciones: Web site: www.qukteach.com

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a) Condición de estado estacionario. b) Temperatura uniforme sobre la superficie del cilindro. c) Intercambio de radiación insignificante entre el cilindro y los alrededores. Análisis: a) Del balance energético, la energía disipada por el calentador energético es trasferido por convección a la corriente de aire, usando la ley de enfriamiento de Newton:

→ 𝑃′ 𝑒 = ℎ (𝜋𝐷 )(𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

𝑃′ 𝑒 𝑃′ 𝑒 ℎ= = (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝜋 × 0.025𝑚 (300 − 40℃)

𝑃′ 𝑒 𝑊 →ℎ= × 2 20.41 𝑚 . 𝐾 •

→ℎ=

450 = 22.0 𝑊/𝑚 2. 𝐾 20.41

•

→ℎ=

Para 𝑉 = 1𝑚/𝑠

Para 𝑉 = 2𝑚/𝑠

658 20.41

= 32.2 𝑊/𝑚 2. 𝐾

Para los demás: 𝑉(𝑚/𝑠)

𝑃′ 𝑒 (𝑊/𝑚)

ℎ(𝑊/𝑚2 . 𝐾)

1

2

4

8

12

450

658

983

1507

1963

22.0

32.2

48.1

73.8

96.1

Gráfico:

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b) Para determinar los parámetros (C, n); según la ecuación:

ℎ = 𝐶𝑉 𝑛

→ log ℎ = log 𝐶 + 𝑛. log 𝑉

De los datos: 𝑉(𝑚/𝑠) ℎ(𝑊/𝑚2 . 𝐾) log 𝑉 log ℎ 1 22 0 1.342 2 32.0 0.301 1.508 4 48.1 0.602 1.682 8 73.8 0.903 1.868 12 96.1 1.079 1.983 Haciendo el uso de calculadora el Microsoft Excel se realizará la regresión obteniendo:

log ℎ = 1.33 + 0.59 log 𝑉

→ 𝐶 = 10ˆ1.33 = 21.37

𝑛 = 0.59

PROBLEMA 1.11

Un calentador de resistencia eléctrica se encapsula en un cilindro largo de 30 mm de diámetro. Cuando fluye agua con una temperatura de 25 ℃ y velocidad de 1 m/s cruzando el cilindro, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la superficie a una temperatura uniforme de 90 ℃ es de 28 kW/m. Cuando fluye aire, también a 25 ℃, pero con una velocidad de 10 Web site: www.qukteach.com

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m/s, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la misma temperatura superficial es 400 W/m. Calcule y compare los coeficientes de convección para los flujos de agua y aire.

SOLUCIÓN 1.11

Esquema:

Suposiciones: a) Flujo de calor transversal al cilindro Análisis: El calor convectivo desde el cilindro por unidad de longitud de cilindro tiene la forma:

𝑞′ = ℎ (𝜋𝐷). (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Entonces para el coeficiente convectivo:

𝑞′ ℎ= 𝜋. 𝐷 × (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Para cada condición: •

ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 •

Agua:

28 × 103 𝑊/𝑚 = 4572.92𝑊/𝑚 2 . 𝐾 = 𝜋. 0.03𝑚 × (90 − 25) Aire:

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400 𝑊/𝑚 2 ℎ𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝜋. 0.03𝑚 × (90 − 25) = 65.3𝑊 /𝑚 . 𝐾

→ Por lo tanto, ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 es aproximadamente 70 veces el calor de ℎ𝑎𝑖𝑟𝑒 .

PROBLEMA 1.12

Un calentador eléctrico de cartucho tiene forma cilíndrica de longitud exterior D

y diámetro

. En condiciones de operación normal el calentador disipa 2 kW, mientras se

sumerge en un flujo de agua que está a 20 ℃ y provee un coeficiente de transferencia de calor por convección de . Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los extremos del calentador, determine la temperatura superficial

. Si el flujo de agua cesa sin advertirlo

mientras el calentador continúa operando, la superficie del calentador se expone al aire que también está a 20 ℃, pero para el que . ¿Cuál es la temperatura superficial corres-

pondiente? ¿Cuáles son las consecuencias de tal evento?

SOLUCIÓN 1.12

Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estacionario. b) Toda la energía eléctrica es transferida al fluido por convección. c) Transferencia de calor insignificante en los extremos. Análisis: Tomando: Web site: www.qukteach.com

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Fundamentos de Transferencia de Calor

𝑃 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 Según la ley de enfriamiento de Newton:

𝑃 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ. 𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = ℎ. 𝐷. 𝜋. 𝐿(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Temperatura superficial

𝑇𝑠 = 𝑇∞ + •

En agua:

𝑇𝑠 = 20 + •

2000𝑊

5000

𝑊 . 𝜋 × 0.02𝑚 × 0.2𝑚 𝑚2 . 𝐾

= 20 + 31.8 = 51.8℃

En aire:

𝑇𝑠 = 20 + -

𝑃 ℎ. 𝐷. 𝜋. 𝐿

2000𝑊

𝑊 50 2 . 𝜋 × 0.02𝑚 × 0.2𝑚 𝑚 .𝐾

= 20 + 3184.7 = 3204 .7℃

Se observa que el aire es mucho menor efectivo que el agua como fluido de transferencia de calor. En consecuencia, la temperatura de cartucho es mucho más alto en el aire, tan alto que el cartucho se derretiría.

Ante el aire la temperatura del cartucho implicaría que la radiación sea significativa.

PROBLEMA 1.13 Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho

de lado y está montado en un sustrato de

modo que sus superficies lateral e inferior estén bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a . A partir de consideraciones de confiabilidad, la temperatura del chip no debe exceder

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.

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Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de convección correspondiente es , ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un líquido dieléctrico para el que

, ‘Cuál es la potencia máxima admisible?

SOLUCIÓN 1.13

Esquema:

• •

Aire, ℎ = 200𝑊/𝑚2 . 𝐾 Fluido dieléctrico, ℎ = 3000𝑊/𝑚2 . 𝐾

Suposiciones: a) b) c) d)

Condición de estado estacionario Transferencia de calor insignificante en los lados y la base. El chip posee una temperatura uniforme (isotérmico). Transferencia de calor por radiación insignificante.

Análisis: Toda energía eléctrica disipada es transferida por convección al refrigerante. Por tanto:

𝑃=𝑞

;

𝑇𝑠 = 𝑇𝑚á𝑥 → 𝑃 = 𝑃𝑚á𝑥

Según la ley de enfriamiento de Newton:

𝑃𝑚...