Sonlu elemanlar yöntemi PDF

Preview

Summary

Prof. Dr. Özcan KALENDERLİ 05.Elektrik MühendisliğindeSONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Yıliçi Sınavı (Ödevi) Teslim tarihi: 19 Nisan 2020 saat 21:Not: Ödevinizi bilgisayarda özenle yazarak ve özgün olarak hazırlayınız.Ödevinize öğrenci numaranız-sey21a1 veya docx veya pdf(Örneğin 504201100-sey21a1 gibi) adın...

Description

Prof. Dr. Özcan KALENDERLİ

05.04.2021

Elektrik Mühendisliğinde SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ 1. Yıliçi Sınavı (Ödevi)

Teslim tarihi: 19 Nisan 2020 saat 21:00 Not: Ödevinizi bilgisayarda özenle yazarak ve özgün olarak hazırlayınız. Ödevinize öğrenci numaranız-sey21a1.doc veya docx veya pdf (Örneğin 504201100-sey21a1.doc gibi) adını vererek [email protected] adresine gönderiniz. 1. Şekil 1'de, V = V(r) değişimi 𝑑 2 𝑉 2 𝑑𝑉 + =0 𝑑𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 Laplace denklemi ile verilen, r1 = 1 cm; rA = 1,3 cm; rB = 2 cm; rC = 2,8 cm; r2 = 4 cm, V1 = 240 Volt, V2 = 10 Volt olan, düzgün olmayan ağa bölünmüş bir bölge içindeki A, B, C noktalarındaki potansiyelleri Sonlu Farklar Yöntemi (SFY) ile hesaplayınız. Verilen Laplace denkleminin analitik çözüm bağıntısı 𝑟1 𝑟2 𝑉(𝑟) = (𝑉1 − 𝑉2 ) ( − 1) + 𝑉2 𝑟2 − 𝑟1 𝑟 ile bulacağınız sonuçlara göre SFY sonuçlarının mutlak hatalarını hesaplayınız. 2. Şekil 2'de, silindirsel koordinatlarda V = V(r, z) değişimi

0

V1 r1 A

B

Şekil 1: Soru 1.

z

V = 400 Volt 9 8 7

2V 1 V 2V    1 r 2 r r z 2

Dirichlet sınır koşulları Vüst = 400 V, Valt = 200 V, Vsol = 100 V Neumann sınır koşulu (V/r)3 = 0 olarak verilen bir bölge içindeki 1, 2 ve 3 düğümlerindeki potansiyelleri Sonlu Farklar Yöntemi ile hesaplayınız.

1

V = 100 Volt

Poisson denklemi ile verilen, r = 2 cm, z = 4 cm şeklinde dikdörtgen gözlü ağa bölünmüş

V2 r2 r

C

10

2

3

4 5 6 r V = 200 Volt

(0, 0)

Şekil 2: Soru 2.

3. Başlangıç koşulu f(0) = 2 olarak verilen

df (x )  3 f (x )  6x  5 dx diferansiyel denkleminin f(3) değerini, h = 0,25 alarak Sonlu Farklar Yöntemi ile bulunuz, bulduğunuz değerlerle f(x) eğrisini çiziniz.

1.Sorunun Çözümü 1.1

Sonlu Farklar Yöntemi ile Çözüm

( )

( )

Sonlu farklar yöntemi kullanılarak 1 boyutlu düzgün olmayan ağ için Laplace denklemlerinin merkezi farklar yöntemi ile hesabı: ( ) ( )

()

1

1 Numaralı denklem birinci dereceden türevi ifade etmektedir. İkinci dereceden türev, Taylor serisi açılımlarından bulunur. 2 numaralı denklem h adım ileri Taylor serisi için, 3 numaralı denklem ise k adım geri Taylor serisini belirtmektedir. (

(

) (

)

() )

()

()

() (

()

) (

) ()

()

2 (

)

()

3 4

Bu denklemden ikinci türev ( ) yalnız bırakıldığında 5 numaralı eşitlik elde edilir. ()

( )

( )( ) ()

( )

5

6 numaralı denklem Laplace denklemini ifade etmektedir. V(r) ifadesini elde edebilmek için bu denklemler kullanılarak 8 numaralı denklem elde edilir. 6 ( ) ()

( )

( )

( )

( ) ( )

7

( ) () ( ) ( )

( ) ( )

( )

(

) ()

(

) ()

(

() (

(

( ) ( )

)

( ) ( )

(

()

)

)(

( ) ( )

) (

8

( )

)

(

) (

(

)

)

(

) (

)

(

(

)

9

)

10

)

11

12

13 numaralı denklemde r noktasındaki potansiyel ifadesi ( ) elde edilmiştir: ()

(

)(

) (

)(

)

13

Potansiyel hesap denklemi elde edildikten sonra A, B ve C noktalarındaki potansiyel hesaplanır.  A noktası potansiyel hesabı:

h, k ve r değerleri 13 numaralı denklemde yerine koyulursa A noktası potansiyel değeri elde edilir. ( )

(

)(

) (

)(

)

( )

( )

 B noktası potansiyel hesabı:

h, k ve r değerleri 13 numaralı denklemde yerine koyulursa B noktası potansiyel değeri elde edilir.

(

) (

)(

)(

)

 C noktası potansiyel hesabı:

( )

(

)(

) (

)(

)

olarak verildiğinden; (

)

eşitliklerinden elde edilen matris:

| [

|

] [

]

işlemi yapılarak her bir noktanın potansiyel değerleri yaklaşık olarak elde

ise; edilmiş olur.

1.2

Analitik Çözüm

Sonlu Farklar Yöntemi ile elde edilen sonuçlar yaklaşık sonuçlar olduğundan, analitik çözüm yapılarak mutlak hatalarını hesaplanacaktır. Laplace denkleminin analitik çözüm bağıntısı 14 numaralı denklemde verilmiştir. () (

)

(

)

Bu bağıntıdan yola çıkarak hesaplamalar yapılırsa:

14

(

)

)

(

Aynı hesaplamalarla;

bulunur. 1.3

Mutlak Hata

Sonlu Farklar Yöntemi ile analitik yol arasındaki fark hesaplanarak mutlak hatalar elde edilir. |

|

|

|

|

|

2. Sorunun Çözümü Merkezi Sonlu Farklar metodu kullanılarak aşağıdaki denklemler elde edilir. ( )

(

) ( ) (

)

15

( )

(

) ( ) (

)

16

(

) (

( ) ( )

)

17

Poisson denklemi: 18

olarak kabul edilip Poisson denkleminin açık halinde yazılırsa;

ve (

) ( ) (

()

(

)

) ( ) (

(

)

()

) (

)

19

19 numaralı denklemde düzeltmeler yapılıp 20 numaralı denklem elde edilir.

(

(

)

)

( ) (

)

(

)

( ) (

)

(

) 20

Merkezi farklarla çözüm yapılacağı zaman ( ) noktasındaki potansiyeli hesaplamak için bu denklem

kullanılır.

 1.Düğümdeki Potansiyel Hesabı (

için 1.düğüm ( ) ( )

,

olmaktadır. ( ( )

)

(

( )

) ( )

(

) ( )

( ) ( )

( )

()

( )

( )

( )

)

(

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) () ( ) ()

( ) ()

Denklemde bu potansiyeller yerlerine yazılırsa; ()

()

()

()

()

()

 2.Düğümdeki Potansiyel Hesabı (

olmaktadır. (

)

(

için 2.düğüm ( ) ( )

) ) (

( ) ( ) ( )

( )

()

( )

()

( )

()

(

) )

(

( )

(

) (

)

( ) ( )

)

(

)

(

( ) ( )

)

( )

( )

()

()

Denklemde bu potansiyeller yerlerine yazılırsa; ()

() ()

()

()

()

()

() ()

 3.Düğümdeki Potansiyel Hesabı (

olmaktadır. (

)

için 3.düğüm ( ) ( )

)

(

) ( (

( )

( ) ( )

( )

()

( )

()

( )

( )

( )

)

( )

(

)

( )

(

) (

) (

)

)

( ) ( )

( ) ( )

()

()

()

Burada

(

)

için a (8,4) düğümünü

vermektedir. Buna göre ( ) için verilen Neumann sınır koşulu kullanılır.

()

() ()

Koşula göre, potansiyel fark sıfıra eşit olduğundan ( ) ( ) ‘dir. ()

()

() () ()

()

( ) () ()

Elde edilen denklemler neticesinde ( ), ( ) ve ( ) bulunur: ()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

elde edilir. Buradan; ()

()

()

()

()

()

Daha sonra ( ) diğer denklemlerde yerlerine yazılarak ( ) ()

()

()

()

()

( ) bulunur:

()

()

()

3. Sorunun Çözümü Başlangıç değer problemlerinde ileri farklar yöntemi kullanılarak sonuca varılır. ()

başlangıç koşulu ile verilen

()

()

diferansiyel denklemde

aralıklarla ( ) sonlu farklar yöntemi ile elde edebilmek için bu denklem sonlu denklemi biçimine getirilir. Bunun için türev terimi için birinci mertebeden ileri fark karşılığı yazılırsa; ()

(

) ()

diferansiyel denklemin sonlu fark karşılığı elde edilir:

Buradan (

(

) ()

(

) (

) yalnız bırakılırsa;

()

)() (

)

Elde edilir ve bu formül ile 0,25 adım için f(3)’e kadar sonuçlar şu şekilde elde edilir.

x = 0 için ( ) (

) () (

)

( )

x = h = 0,25 için ( ) (

)( ) (

)

( )

)

( )

)

()

x = 2h = 0,5 için ( ) (

)( ) (

x = 3h = 0,75 için () (

)( ) (

x = 4h = 1 için ( ) (

) () (

)

( )

x = 5h = 1,25 için ( ) (

)( ) (

)

( )

)

( )

)

()

x = 6h = 1,5 için ( ) (

)( ) (

x = 7h = 1,75 için () (

)( ) (

x = 8h = 2 için ( ) (

) () (

)

( )

x = 9h = 2,25 için ( ) (

)( ) (

)

( )

x = 10h = 2,5 için ( ) (

)( ) (

)

( )

)

()

x = 11h = 2,75 için () (

)( ) (

Elde edilen değerlerden MS Office Excel programı yardımı ile f(x) eğrisi çizilmiştir.

f(x) 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5

f(x)

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

2,5

2,75...