Stående strengbølger rapport PDF

Preview

Summary

Rapport...

Description

2016

Stående strengbølger

Forsøg, måleresultater og databehandling er udarbejdet i samarbejde med xxx. 31-01-2016

FORMÅL Formålet med disse forsøg er, at vi skal eftervise, at transversalbølger på en udspændt streng udbreder 𝐹

sig med farten 𝑣 = √ 𝜇.

TEORI Bølger ses i mange forskellige sammenhænge, som vi sikkert ikke lægger mærke til i hver dagene. Lydbølger bærer støj gennem luften, men seismiske bølger bevæger sig i vores klods indre, der er skyld i jordskælv. I denne rapport handler det om stående bølge på en streng. Sammenhængen mellem bølgelængden og frekvens, hvilket gælder for alle bølger, vises med ligningen: 𝒗 = 𝝀⋅𝒇

Bølgelængden, λ, er afstanden mellem to ved siden af hinanden liggende bølgetoppe eller bølgedale på bølgen, som måles med enheden meter (m). Frekvensen, f, er antallet af svingninger pr. tid, som måles med enheden Hertz (Hz=1/s). Hastigheden, v, er hvor hurtig bølgen bevæger sig pr. tid, som måles i meter pr. sekund (m/s). For at finde sammenhængen mellem bølgelængderne og antallet af buge på den stående bølge vises med ligningen: 𝝀𝒏 =

𝟐⋅𝑳 𝒏

Længden, L, er afstanden mellem vibrator og trisse, som måles med enheden meter (m). Buge, n, er antallet af buge på snoren. Bølgelængden, λn, er bølgelængden af en buge på den stående bølge, som måles med enheden meter (m). I dette forsøg, hang vi et lod i den ene ende af strengen, hvor tyngdekraften på loddet svarer til den kraft, som loddet igen trækker i snoren med. For at finde det bruges ligningen: 𝑭 = 𝒎𝒍𝒐𝒅 ⋅ 𝒈

Massen, mlod, er massen er de hængende lod, som måles med enheden kilogram (kg). Tyngdeaccelerationen, g, er en 9,82 m/s2 i Danmark. Snorspændingen, F, er den kraft loddet trækker igen med i snoren, som måles med enheden Newton (N). For at finde strengens specifikke masse bruges ligningen: 𝝁=

𝒎𝒔𝒏𝒐𝒓 𝑳𝒔𝒏𝒐𝒓

Massen, msnor, er stregens masse, som måles med enheden kilogram (kg). Længden, Lsnor, er strengens samlede længde, som måles med enheden meter (m). Den specifikke masse, μ, er hvor meget strengen vejer pr. længdeenhed.

Udbredelsesfarten af tværbølgen (transversalbølger) på en streng afhænger både af snorspændingen (F) og strengens specifikke masse (μ). Ligningen for det er: 𝒗=√

𝒗=

𝒗=

𝑭 ⇔ 𝝁

√𝑭 ⇔ √𝝁

𝟏 𝟏 𝟏 ⋅ 𝑭𝟐 ⋅ √𝑭 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝒗 = √𝝁 √𝝁

Det vil sige, at hastigheden af bølgerne på strengen er proportional med kvadratroden af strengspændingen. Det er denne formel vi vil undersøge, om det faktisk passer eller ej.

MATERIALE -

Tonegenerator Frekvenstæller Vibrator Målebånd Trisse Snor Lodder Vægte Bordklemme

OPSTILLING knudepunkter trisse DISPLAY

lineal funktionsgenerator

vibrator

lodder

MÅLERESULTATER – 0 Snorens samlede masse: msnor = 0,00127 kg Snorens samlede længde: Lsnor = 2,5 m

DATABEHANDLING – 0

For at finde snorens specifikke masse brugte jeg formlen: 𝜇 = 𝜇=

0,00127 𝑘𝑔 2,5 𝑚

𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟖

FREMGANGSMÅDE – 1

𝑚𝑠𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑠𝑛𝑜𝑟

𝒌𝒈 𝒎

Vi skulle starte med at udvælge en snor og hænge et lod på snoren (ved omkring 80 g). Dernæst skulle vi indstille L til en passende størrelse (ca. 1 m). Efterfølgende indstillede vi tonegeneratoren (funktionsgeneratoren) på de frekvenser (resonansfrekvenserne) som giver anledning til stående bølger på snoren, som vi målte og noterede ned for antal buge (n) og frekvens (f).

MÅLERESULTATER – 1 Længden af snoren: 1 m. Massen af lod: 80,25 g. Målt

𝑛

1 21,36

𝑓 / Hz

2 34,32

3 58,14

4 73,93

5 93,55

6 116,12

DATABEHANDLING – 1 Opgave nr. Målt Beregnet

𝑛 𝑓 / Hz 𝜆/m 𝑚 𝑣/ 𝑠

1

2

3

4

5

6

1 21,36 2

2 34,32 1

42,72

34,32

3 58,14 2 3 38,76

4 73,93 1 2 36,965

5 93,55 2 5 37,42

6 116,12 1 3 38,707

For at finde bølgelængden (λ) brugte jeg formlen: 𝜆𝑛 = Eks. Opgave nr. 3

2⋅𝐿 𝑛

gennemsnit 38,15

𝜆𝑛 =

2 ⋅ 1𝑚 3

𝝀𝒏 =

𝟐 𝒎 𝟑

For at finde hastigheden (v) brugte jeg formlen: 𝑣 = 𝑓 ⋅ 𝜆 Eks. Opgave nr. 3

2 𝑣 = 58,14𝐻𝑧 ⋅ 𝑚 3 𝒎 𝒗 = 𝟑𝟖, 𝟕𝟒 𝒔

For at regne gennemsnittet lagde jeg alle hastighederne sammen og delte den med antallet af hastigheder.

𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 42,72 𝑠 + 34,32 𝑠 + 38,76 𝑠 + 36,965 𝑠 + 37,42 + 38,707 𝑠 𝑠 = 𝟑𝟖, 𝟏𝟓 𝒎 𝒔 6

Dernæst skulle vi sammenligne gennemsnittet af hastigheden med hastigheden beregnet med formlen: 𝑣=

1 √𝜇

⋅ √𝐹

𝑣=

1

√0,000508 𝑘𝑔 𝑚

⋅ √(0,08025 𝑘𝑔 ⋅ 9,82

𝒗 = 𝟑𝟗, 𝟑𝟕

𝒎 𝒔

𝑚 ) 𝑠2

Efterfølgende vil jeg undersøge, hvor meget den målte afviger med formlen med følgende ligning: 𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 =

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙−𝑚å𝑙𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙

⋅ 100%

𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 =

𝑚 𝑚 𝑠 − 38,15 𝑠 ⋅ 100% 𝑚 39,37 𝑠

39,37

𝑨𝒇𝒗𝒊𝒈𝒆𝒍𝒔𝒆 = 𝟑, 𝟏%

Hermed kan vi konkludere, at den målte afviger den, hvor vi brugte formlen, med 3,1%. Det er faktisk et godt resultatet. Afvigelsen, der opstår, kan skyldes måleusikkerhederne. Vi har målt for at udregne snorens specifikke masse, og da vi skulle aflæse frekvensen og noterer det.

FREMGANGSMÅDE – 2 Vi skulle dernæst gentage det med L=0,25m, 0,50m, 0,75m, 1,00m, 1,25m og 1,50m, hvor vi kun har 1. oversvingning hele vejen igennem. Vi startede ved de små afstande og arbejdede opad.

Noterede dataet i skemaet måleresultater – 2

MÅLERESULTATER – 2 Massen af loddet: 80,25 g 𝐿/m

𝑓 / Hz

Målt

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

147,56

73,9

49,9

34,32

29,6

26,63

DATABEHANDLING – 2 Opgave nr.

1

2

3

0,25 0,50 0,75 𝐿/m 147,56 73,90 49,90 𝑓 / Hz 0,25 0,50 0,75 𝜆/m Beregnet 𝑣 / 𝑚/ 36,890 36,950 37,425 𝑠 Længden af snoren er det samme som bølgelængden, λ. Målt

4

5

6

1,00 34,32 1,00

1,25 29,60 1,25

1,50 26,63 1,50

34,320

37,000

39,945

gennemsnit 37,088

For at regne hastigheden (v) brugte jeg formlen: 𝑣 = 𝑓 ⋅ 𝜆 Eks. Opgave nr. 3

𝑣 = 49,90𝐻𝑧 ⋅ 0,75𝑚 𝒗 = 𝟑𝟕, 𝟒𝟐𝟓

𝒎 𝒔

For at regne gennemsnittet lagde jeg alle hastighederne sammen og delte den med antallet af hastigheder. 36,890

𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 + 36,950 + 37,425 + 34,320 + 37,000 + 39,945 𝑠 𝒎 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 = 𝟑𝟕, 𝟎𝟖𝟖 6 𝒔

Dernæst skulle vi sammenligne gennemsnittet af hastigheden med hastigheden beregnet med formlen: 1 𝑣 = ⋅ √𝐹 √𝜇

𝑣=

1

√0,000508 𝑘𝑔 𝑚

⋅ √(0,08025 𝑘𝑔 ⋅ 9,82

𝒗 = 𝟑𝟗, 𝟑𝟕

𝒎 𝒔

𝑚 ) 𝑠2

Efterfølgende vil jeg undersøge, hvor meget den målte afviger med formlen med følgende ligning: 𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 =

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙−𝑚å𝑙𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙

⋅ 100%

𝑚 𝑠 𝑚 39,37 𝑠 − 37 𝑚,088 ⋅ 100% 39,37 𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 = 𝑠 𝑨𝒇𝒗𝒊𝒈𝒆𝒍𝒔𝒆 = 𝟓, 𝟖%

Hermed kan vi konkludere, at den målte afviger den, hvor vi brugte formlen, med 5,8%. Jeg kan ud fra beregninger fra foroven af hastigheden konkludere, at hastigheden ikke er afhængig af længden på snoren. Det konkluderer jeg, da den afvigelse jeg fik er mindre en 10%, så det er ikke meget udsving på hastigheden. Man skal også lægge mærke til at de måleinstrumenter ikke målte helt præcist, hvilket også er en fejlkilde. Afvigelsen kan igen skyldes usikkerhederne. Vi skulle bruge snorens specifikke masse, afmåle frekvensen og derudover skulle vi måle længden af snoren.

FREMGANGSMÅDE – 3 Vi indstillede længden, L, til 1 m, og indstillede tonegeneratoren til at give 1. oversvingning. Dernæst gennemførte vi dette med forskellige snorspændinger, F, idet vi brugte flere lodder, hvor loddernes samlede masse ikke måtte være over 200g af hensyn til vibratoren. Noterede dataet i skemaet Måleresultater – 3.

Efterfølgende indtegnede vi dataet i et (√𝐹, 𝑣) koordinatsystem og lavede en lineær tendenslinje.

MÅLERESULTATER – 3 Længden af snoren: 1m Målt

𝑚𝑙𝑜𝑑 / kg 𝑓 / Hz

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,110

0,120

27,44

31,81

33,57

34,32

38,31

40,78

43,76

44,87

DATABEHANDLING – 3 Opgave nr. Målt

Beregnet

1

2

3

4

5

6

7

8

Mlod/kg

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,110

0,120

f/Hz

27,44

31,81

33,57

34,32

38,31

40,78

43,76

44,87

F/N

0,491

0,5892

0,6874

0,7856

0,8838

0,982

1,0802

1,1784

0,701

0,768

0,829

0,886

0,940

0,991

1,039

1,086

27,4

31,8

33,6

34,3

38,3

40,8

43,8

44,9

√𝐹/√𝑁 v/ (m/s)

For at regne snorspændingen (F) brugte jeg formlen: 𝐹 = 𝑚𝑙𝑜𝑑 ⋅ 𝑔

Eks. Opgave nr. 7 𝐹 = 0,110𝑘𝑔 ⋅ 9,82 𝑭 = 𝟏, 𝟎𝟖𝟎𝟐 𝑵

𝑚 𝑠2

For at regne kvadratroden af snorspændingen (F) tager man bare kvadratroden af F. Eks. Opgave nr. 7

√𝐹 = √1,0802 𝑁 √𝑭 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟗 √𝑵

For at regne hastigheden (v) brugte jeg formlen: 𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑓 Bølgelængden er konstant, så den er 1m. Eks. Opgave nr. 7

𝑣 = 1𝑚 ⋅ 43,76𝐻𝑧 𝒗 = 𝟒𝟑, 𝟕𝟔

𝒎 𝒔

Efterfølgende afsatte jeg måleresultaterne ind i et (√𝐹, 𝑣)-koordinatsystem Excel og tilføjede en lineær tendenslinje.

v) 50

y = 45,24x - 4,0797 R² = 0,9806

Hastigheden målt i m/s

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

målt i kvadratrod af Newton

Denne tabel viser sammenhængen mellem kvadratroden af snorspændingen (√𝐹) og hastigheden (v).

For at finde den fysiske betydning starter med at omformulere y=ax+b (som er den matematiske form) til en ligning. Hvor vi har ligningen:

1 ⋅ √𝐹 √𝜇 𝑦=𝑎 ⋅ 𝑥

𝑣= Det betyder, at v=y,

1

√𝜇

=a og √𝐹=x.

Jeg har valgt at tage b fra, da den ikke tilføjer nogen betydning til formlen, og fordi den er unødvendig. Den burde teoretisk set går igennem (0,0), fordi hastigheden var 0 m/s, ville kvadratroden af snorspændingen være lig med 0. Hældningskoefficienten er dermed

1

√𝜇

𝑚

= 45,24√ 𝑘𝑔

1

For at udregne den teoretiske hældningskoefficient brugte jeg formlen: 𝜇 √ 1 𝑘𝑔 √0,000508 𝑚 𝒎 𝟒𝟒, 𝟑𝟕 𝒌𝒈 Efterfølgende vil jeg sammenligne den teoretiske med den udregnede med denne formel: 𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 = 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙−𝑚å𝑙𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙

⋅ 100%

𝑚 𝑚 45,24 𝑘𝑔 − 44,37 𝑘𝑔 ⋅ 100% 𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 = 𝑚 44,37 𝑘𝑔 𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 = 1,96%

Hvilket betyder, at den udregnede er 1,96% over den teoretiske værdi. Man kan ud fra skemaet se, at hastigheden er afhængig af loddets masse, som bl.a. kan ses tydeligt, siden hastigheden varierer. Det kan man også have bemærket inden at kigge på formel: 𝑣 =

af snorspændingen (F) og loddets masse.

1

√𝜇

⋅ √𝐹, hvor hastigheden er afhængg

Igen kan afvigelserne skyldes af måleusikkerhederne den specifikke masse og frekvensen. En fejl kunne være, hvis loddene ikke vejer det, der er noteret i skemaet.

KONKLUSION Jeg kan konkludere efter jeg har udført og arbejdet med disse 3 delforsøg, at hastiheden ikke er afhængig af frekvens, f, eller bølgelængden, λ. I alle de 3 delforsøg beregnede jeg hastigheden med formlen: 𝑣 =

med den teoretiske beregning af hastigheden.

1

√𝜇

⋅ √𝐹, hvor i alle delforsøg passede

Snorens længde, snorens masse og massen af loddet er afhængige for hastigheden, v.

Det betyder, at transversal bølger udbreder sig med farten 𝑣 =

1

√𝜇

⋅ √𝐹....