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Apuntes unidad 1 de FDF...

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Cuatrimestre T08

Vectores, Cinemática y Componentes Polares

   a (t )  a0  cte



Un MUA es



Un MCU en el plano XY, es a (t )  dv dt . Como

.





   vMCU (t ) = Rꞏꞏ  sin  t   0  i  cos  t   0  j  resulta     aMCU (t )  Rꞏ 2 ꞏcos  t   0  i  sin t   0  j    2 r (t ) 



observese que, ya sea  positivo o negativo (giro en sentido horario o antihorario), aMCU (t )   2r y



siempre apunta en sentido  el centro O de la  contrario de r , es decir hacia circunferencia. Por ello a es un vector centrípeto. Como a es perpendicular a v , se dice que es normal.    Obsérvese que en un MCU, los tres vectores cinemáticos r , v , a  forman una T (ver figura) 1.6.4.

RELACIONES CINEMÁTICAS INVERSAS: CONDICIONES INICIALES    Conocida la posición r (t ) , las ecuaciones horarias de v (t ) y a (t ) se obtienen por su derivación.    Ahora bien, conocida a (t ) ¿se pueden obtener v (t ) y r (t ) ? Es fácil ver que no. Por ejemplo, para  obtener la trayectoria de un proyectil (tiro parabólico), además de conocer a (t ) (que es constante en este caso) es también necesario conocer las llamadas condiciones iniciales del movimiento en el instante inicial t  t0 :





la velocidad inicial v (t  t0 ) con que se lanza



la posición inicial r (t  t0 ) .













Las relaciones para obtener v (t ) y r (t ) a partir de a (t ) y v (t0 ) y r (t0 ) (relaciones inversas) se obtienen aplicando el teorema fundamental del cálculo: t

t

    v   a (t ) dt , r (t )   v (t ) dt t0

t0

t

   v (t )  v (t 0 )   a (t ) dt t0

t

   , r (t )  r (t 0 )   v (t ) dt t0

La figura adjunta es un mapa conceptual de las relaciones directas e inversas entre las magnitudes cinemáticas. 1.6.5.

RELACIONES ANALÍTICAS Y GRÁFICAS EN LOS MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS 1D Si el movimiento rectilíneo es en el eje X, las relaciones analíticas directas e inversas entre las variables cinemáticas, son:

directas  v(t )  dx(t ) dt , a (t )  dv (t ) dt t

t

inversas  v(t )  v(t0 )   a (t ) dt , x(t )  x (t0 )   v (t ) dt t0

t0

En sus gráficas se cumple:  El incremento de la posición (desplazamiento Δx), es el área (con signo) bajo la curva de la velocidad  La velocidad v es la pendiente de la posición.  El incremento de la velocidad Δv es el área (con signo) bajo la curva de la aceleración.  Si la posición pasa por un extremo (máximo o mínimo), la velocidad es nula.  La aceleración es la pendiente de la velocidad.  Si la velocidad pasa por un extremo la aceleración es nula. __________________________________________________________________________________________________________ 16 E.Toribio

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Apuntes de Física I

T09

Sea un móvil que, partiendo del reposo, se desplaza hasta otro punto y queda finalmente en reposo. A la izquierda de la siguiente figura, se representa su v (t ) en la grafica superior (cuyo perfil tiene forma de un trapecio con tramos rectilíneos) y en la inferior, las gráficas de su x (t ) ya (t ) A la derecha de la figura se representan v(t ), x (t ) y a(t ) cuando la curva de la velocidad es un trapecio redondeado (pulso acampanado).

1.7.

COMPOSICION DE MOVIMIENTOS Y MOVIMIENTO RELATIVO La descripción de un movimiento se puede realizar desde cualquier referencia  de cualquier tamaño y masa (una galaxia, el sol, un planeta, un satélite, un vehículo, una molécula, un electrón…), y con cualquier sistema de coordenadas (cartesianas, polares, geográficas…), pero como las referencias se mueven relativamente entre sí, la descripción del movimiento depende de la referencia elegida. Por ejemplo, una persona que viaja en un autobús está en reposo respecto a la referencia “autobús”, pero tiene un cierto movimiento respecto de la tierra, y otro distinto respecto a un motorista que adelanta al autobús. Y un satélite artificial que da vueltas a la tierra con un movimiento circular respecto de ella, realiza un movimiento helicoidal respecto del sol. Etc, etc. Por ello todo movimiento es relativo, y no existe el movimiento absoluto ya que NO EXISTE la referencia “absoluta”. (Sin embargo conviene recordar que existen una infinidad de referencias especiales denominadas inerciales, que son aquellas para las cuales las leyes de Newton son válidas, pero ninguna de ellas es la absoluta). Para describir un movimiento de forma sencilla hay que elegir la referencia adecuada en cada uno de sus tramos, que suele estar ligada o bien a los cuerpos de mayor masa del sistema físico o bien a su centro de masas, ya que son las más inerciales. Por ejemplo, en el viaje de una sonda de la Tierra a Marte conviene usar  En el despegue un sistema de referencia ligado a la Tierra en el suelo de la zona de despegue.  En la ascensión, otro ligado a la Tierra en su centro.  En la transferencia de la Tierra a Marte, otro ligado al Sol en su centro.  En el descenso a Marte, otro ligado al centro de dicho planeta.  Y ya en la superficie marciana, uno ligado al suelo. ¿Cuál es la relación entre los movimientos de un mismo cuerpo vistos desde dos referencias distintas ={O; X, Y, Z} y ’={O’; X’, Y’, Z’? ¿Y entre las     ecuaciones horarias r (t ) y r '(t ) de sus posiciones, v (t ) y v '(t ) velocidades y aceleraciones? La relación es complicada si las referencias  y ’ efectúan un movimiento relativo de rotación, es decir si los ejes XYZ de una referencia giran respecto  de la otra Pero si no hay rotación relativa, sólo habrá un desplazamiento  relativo OO'  R (t ) entre los orígenes O y O’, y se dice que  y ’ realizan una







traslación pura, en cuyo caso, las relaciones entre las ecuaciones horarias de r (t ) , v (t ) , a (t ) de una    partícula medidas desde , con las r '(t ) , v '(t ) , a '(t ) medidas desde ’, es sencilla.

 



Efectivamente, si R , V y A son los vectores posición, velocidad y aceleración de O’ respecto de O







(o también rREF , vREF , a REF  del grafico anterior se deduce que:

   r (t )  r '(t )  R(t ) Y derivando respecto del tiempo, queda: _______________________________________________________________________________________________________ E. Toribio 17

Cuatrimestre T08

Vectores, Cinemática y Componentes Polares

   dr (t ) dt  dr '(t ) dt  dR (t ) dt ,

   dv (t ) dt  dv '(t ) dt  dV (t ) dt

En resumen quedan las ecuaciones llamadas de composición de movimientos:

      r( t)  r '( t)  R( t), v( t)  V ( t)  v '(t ), O tambien       r( t)  r '( t)  rREF ( t), v( t)  v '( t)  v REF ( t),

   a( t)  A(t )  a '(t )    a( t)  a '(t )  a REF (t )

Para mejorar la identificación de ambas referencias  y ', lenguaje), de referencias en reposo y en movimiento respectivamente.

.

a veces se habla (abusando del

Referencias en reposo.- A la referencia más importante (la de mayor masa, por ejemplo) se le llama  y se le califica de referencia   en reposo (o “absoluta”), al movimiento respecto de , de absoluto y a las magnitudes r (t ), v (t ), a (t ) se les califica de “absolutas. Dicha calificación es un abuso del lenguaje ya que no existe el movimiento absoluto. Referencias en movimiento.- A la referencia menos importante ’ se le llama referencia en movimiento (que también es inadecuado, ya que todas las referencias están en movimiento) y al movimiento  respecto de ’de “relativo”, y a las magnitudes r '( t ), v '(t ), a '(t ) de “relativas” Según los datos de partida, existen dos tipos de problemas básicos de composición de movimientos, que asumiendo este lenguaje, son:  La determinación del Movimiento Absoluto a partir del relativo y del de la referencia.  La determinación del Movimiento Relativo a partir de dos movimientos absolutos 1.7.1.

DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO: COMPOSICIÓN ADITIVA DE MOVIMIENTOS



El objetivo es determinar el movimiento absoluto r (t )a partir del  movimiento relativo de un móvil r '(t ) respecto de ’, y del movimiento

 R (t ) de la referencia ’ respecto de . Por ejemplo, el movimiento de un

punto de la superficie de la tierra respecto del sol, es la composición de un giro respecto del centro de la tierra con un giro respecto del centro del sol. Y la trayectoria combinada es helicoidal. Otro ejemplo, el movimiento de un punto P de la superficie de una rueda respecto del suelo, es la composición de un giro respecto del centro O’ de la rueda con una traslación respecto de la tierra. Y la trayectoria es una curva denominada cisoidal. Ejemplo 1.- Composición en el mismo eje de un MAS con un MRU.

Si x '(t )  R cos  t   0  y x REF (t )  v 0t  x (t )  R cos  t  0   v 0t que es la composición de un movimiento de avance uniforma en el eje X con un vaivén sinusoidal en el eje X y cuya gráfica x (t ) es la de la figura adjunta. Ejemplo 2.- Composición de un MAS con un MRU  en ejes perpendiculares 

       Si r '(t )  R cos t  i y rREF (t )  v 0tj  r (t )  r '(t )  rREF (t )  R cos  t  i  v 0tj

que es la

composición de un movimiento de avance uniforme en el eje Y con un vaivén sinusoidal en el eje X y cuya trayectoria en el plano XY es una curva sinusoidal alrededor del eje Y. Ejemplo 3.-Composición de un MCU en un plano con un MRU en un eje perpendicular

     Si r '(t )  R  cos  t   0  i  sin t   0  j  y rREF (t )  v0t  k      r (t )  R cos  t   0  i  sin  t   0  j   v0 t  k

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Apuntes de Física I

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que es la composición de un movimiento circular en el plano XY junto con un avance uniforme en el eje Z, que es una trayectoria helicoidal (ver figura). 1.7.2.

DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO RELATIVO: COMPOSICIÓN SUSTRACTIVA DE MOVIMIENTOS El objetivo es determinar el movimiento “relativo” r’(t) a partir de los movimientos “absolutos” r(t) y R(t) de dos partículas diferentes respecto de la misma referencia . Si las dos partículas diferentes se denominan A y B, las magnitudes cinemáticas relativas del cuerpo A (donde estaría la referencia absoluta), respecto del B (donde estaría la móvil) se pueden    escribir rAB ( t), vAB ( t), aAB ( t) . Colocada la referencia ’ en el segundo cuerpo, las expresiones de las magnitudes relativas en función de las absolutas, se pueden escribir de diferentes maneras equivalentes:

   r '(t )  r (t )  R (t ) ,    r '(t )  r (t )  rREF (t )    rAB ( t)  rA ( t)  rB ( t)

      v '(t )  v (t )  V (t ) , a '(t )  a (t ) A (t )       , v '(t )  v (t )  vREF (t ) , a '(t )  a (t )  aREF (t )       , v AB( t)  v A( t)  v B (t ) , a AB (t )  a A (t )  a B (t )

Es decir que las magnitudes cinemáticas relativas entre dos partículas son la diferencia de las absolutas. Veamos algunos ejemplos en que el movimiento relativo es del mismo tipo que los absolutos: Ejemplo 1 .-Movimiento relativo entre dos MRU .- Es otro MRU cuya velocidad es la diferencia de       velocidades: Efectivamente, si las ecuación horarias de A y B son r A (t )  r0 A  v At , r B (t )  r0 B  v Bt  , las del movimiento relativo serán

           rAB (t )  rA (t )  rB (t )  v A  v B t   r0 A  r0B  , v AB (t )  drAB dt   v A  v B  Ejemplo 2.-Movimiento relativo entre dos MUA.- Es otro MUA cuya aceleración es la diferencia de las aceleraciones. Efectivamente, si las ecuaciones horarias de las velocidades de dos MUA en el espacio son  vA (t)  v0 A  aA t, vB (t )  v0B  aB t , las del movimiento relativo son:

           v AB (t )  v A(t ) v B(t )  v 0 A  a At  v 0 B  a Bt   v 0 A v 0 B   a A  a B t       a AB (t )  dv AB dt  a A (t )  a B (t )   a A  a B   MUA En el caso particular de que las dos aceleraciones sean iguales, la aceleración relativa es nula y el movimiento relativo es un MRUA. Por ejemplo la trayectoria relativa entre dos tiros parabólicos de aceleración g, es rectilínea.

      a AB (t )  a A (t )  a B (t )  g  g  0 

  v AB (t )  v AB (0) 



t

t 0

   a AB (t )dt  v AB (0)  cte 

MRU

Ejemplo 3 .-Movimiento relativo entre dos MAS de la misma frecuencia angular y amplitud.- Es otro MAS de la misma frecuencia angular pero de amplitud y fase inicial diferente. Efectivamente, si

xB (t )  X 0 cos t   0B  , xA (t )  X 0 cos t   0A



xBA (t )  xB ( t)  xA (t )  X 0  cos t  0 A   cos t  0 B  Siendo cos p  cos q  2sin  p  q  2 sin   p  q 2  queda

xBA( t)  2 X 0 sin   0B   0A  2 sin  t    0B   0A  2 

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Cuatrimestre T08

Vectores, Cinemática y Componentes Polares

Ejemplo 4 .-Movimiento relativo entre dos MCU de la misma frecuencia y fase inicial.- Es otro MCU de la misma frecuencia cuya radio es la diferencia de radios. Efectivamente:

   rA (t )  RA  cos  t  i  sin  t  j     rB (t )  RB  cos  t  i  sin  t  j     rBA (t )  rB (t )  rA (t )    rBA (t )   R B  R A   cos t  i  sin t  j 

Ejemplo 5 .-Movimiento relativo entre dos MCU y dos MAS de la misma frecuencia. Se puede   demostrar que la composición de dos MCU rB (t ) y rA (t ) de la misma frecuencia, pero distinta amplitud y fase inicial,

   rA (t )  RA  cos  t  0A i  sin  t  0A  j     rB (t )  RB  cos  t  0B  i  sin  t  0B  j  es otro MCU de la misma frecuencia, que tendrá una expresión genérica

     rBA (t )  rB (t ) r A (t )  R BA  cos t   0BA i  sin  t   0BA  j  Como un MAS es la proyección de un MCU, se deduce que la composición de dos MAS de la misma frecuencia es otro MAS de dicha frecuencia.

  x BA (t )  rBA (t )ꞏi  x B (t )  x A (t )  R BA cos t   0 BA  De cara a las leyes de Newton, es importante remarcar que la aceleración depende de las referencias y     ’ elegidas: si desde   a  desde  '  a '  a  a REF .

1.8.

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN Las componentes cartesianas del vector aceleración

a x  d 2 x dt 2 , a y  d 2 y dt 2 , a z  d 2z dt 2



 





dependen de la elección arbitraria de las direcciones arbitrarias i , j , k , por lo que cada componente por separado tiene en general poco sentido físico. Tienen un sentido físico independiente de esa elección y mucho más consistente, sus componentes:      respecto del vector tangente eT  v v (o del vector velocidad v  ve T ), llamada componente tangencial a T 





respecto al vector normal e N (o vector perpendicular a v que apunta al centro de

curvatura), llamada componente normal a N Ambas componentes se llaman intrínsecas, debido a que no dependen de la elección de las direcciones de los ejes de la referencia. Se puede escribir:     aT es la proyección de a sobre v , aT  a ꞏv v 

     aN es la componente de la parte restante de a, que es  a  aT ꞏeT  , es decir a N  |a  aT ꞏe T |



Como aT y aN son componentes sobre direcciones perpendiculares, a N  a 2  a T2

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______

Apuntes de Física I



aT y aN también

aT  aꞏcos  ,

se

pueden

escribir

T09

en

función

del

ángulo



entre

  a y v,

          a N  aꞏsin   a  v v , por tanto: a  aTe T  a Ne N   a ꞏv  e T  a  v e N  v

En estas expresiones:  el signo de aT puede ser positivo (correspondiente a un aumento de la celeridad v ) o negativo (a su disminución)  el signo de aN es siempre positivo, ya que, por geometría, a N siempre apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Veremos a continuación que aT y aN tienen respectivamente una estrecha relación con la derivada temporal de la celeridad dv dt y con la celeridad v I.- La aT es igual a dv/dt. Efectivamente:

   aT  a ꞏv v   dv dt ꞏv v       pero:  d dt  v 2 (t )  2v  dv dt  y d dt v 2 (t )  2v dv dt   v ꞏ dv dt   v dv dt 

Por tanto, queda:

  aT   dv dt ꞏv v   v dv dt 1 v   dv dt

II.- La aN es proporcional a v2. Efectivamente, en cualquier punto de una trayectoria curva AB se puede definir un circulo llamado “circulo osculador” de centro C, que no sólo es tangente a dicha curva, sino que tiene la misma “curvatura” en el punto de contacto (osculador viene de ósculo o beso). El radio del circulo osculador se llama radio de curvatura , que, se puede calcular a partir de la ecuación de la curva   r  r ( ) y que en el caso de una circunferencia, donde es igual al radio. Cuando la partícula pasa por un punto, su aceleración normal aN es la misma que si recorriera el circulo osculador con un MCU y por tanto apuntará hacia el centro C de curvatura, por lo que se cumple:

aN  v 2  Obsérvese que la aceleración normal es siempre positiva.   A partir de ésta relación, de la ecuación a N  a  v v , y de la  ecuación v (t ) se puede obtener el valor de  .     1   a N v 2  a  v v 3   dv dt   v v 3 En la gráfica superior adjunta se observan, para dos puntos de una trayectoria curva, sus centros de curvatura C1 y C2, los radios de curvatura   1 y 2 , las velocidades v1 y v 2 , y las aceleraciones normales aN1 y aN2, En el caso de un movimiento de un péndulo, el radio de curvatura  es la longitud R del hilo, la aN es nula en los extremos A y C del recorrido (ya que en ellos v=0), mientras que la aT es nula en el punto B más bajo (ya que  en él, v tiene un valor máximo). En la gráfica adjunta está representado a en algunos puntos significativos de la trayectoria. En el caso de un movimiento rectilíneo, el radio de curvatura es infinito, por lo que la aceleración normal es nula. En resumen:

 aT  a ꞏv v  aꞏcos   dv dt

    , aN  | a  aT ꞏv v |  a  v v  a ꞏsen  a 2  aT2  v 2 

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Cuatrimestre T08

1.9.

Vectores, Cinemática y Componentes Polares

SISTEMAS DE COORDENADAS: COORDENADAS GEOGRÁFICAS

1.9.1.

SISTEMAS DE COORDENADAS: EJEMPLOS Definida una referencia , la localización de un punto genérico P del espacio 3D, cuyo vector  posición es r , se puede determinar con sus tres distancias  x, y, z a los planos YZ, ZX y XY

(coordenadas cartesianas). Pero esta forma de loca...