Superficies-cuadraticas PDF

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Summary

Hasta este instante hemos resuelto el problema: dada una función, hallar sui derivada. En muchas
aplicaciones importantes aparece el problema inverso: dada la derivada de una función, hallar la
función original.
Por ejemplo: Hallar una función F cuya derivada es F’(x)=3x2
.

Description

1 Superficies Cuádricas

Superficies Cuadràticas Definición: Una superficie cuadrática ( o cuàdrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx +Hy + Iz + J = 0 donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide. Tiene por ecuación

x2

y 2 z2 + + =1 a2 b2 c2

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse

x2 Si y = 0  + a2

y2 Si x = 0  + b2

z2 = 1 elipse c2

2 x2 y Si z = 0  + = 1 elipse a2 b2

2. Hiperboloide de una hoja. Tiene por ecuación

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

=1

Las trazas del hiperboloide son hiperbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.

z2 = 1 elipse c2

2 Superficies Cuádricas

Si x = 0 

y2 − b2

z2 = 1 Hiperbola c2

Si y = 0 

x2 − a2

z2 = 1 Hiperbola c2

x2 y 2 Si z = 0  + = 1 Elipse a2 b2 El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

3. Hiperboloide de dos hojas. x2 y2 z2 Tiene por ecuación − − + =1 a2 b2 c2 Las trazas de esta superficies son : Para planos paralelos a XZ son hiperbolas al igual que para planos paralelos al YZ. si x = 0 

si y = 0 

z2 y2 − = 1 hiperbola c2 b2

z2 − c2

x2 = 1 hiperbola a2

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .

Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

3 Superficies Cuádricas

4. Paraboloides

si z = 0  −

x2 y2 − = 1 imposible! ! !  no hay gráfica a2 b2

y2 z + = a2 b2 c Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas. Tiene por ecuación

Si x = 0 

Si y = 0 

y2 z = b2 c

x2

b2z  y2 = c

x2 z a 2z =  x2 = c a2 c

Si z = K 

y2 x2 k + = 2 2 c a b

parábola

parábola

Elipse, y si a = b Círculo

Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.

5. Paraboloide hiperbólico. Tiene por ecuación

x2 2

−

y2 2

=

z

a b c Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios.

Trazas:

si y = 0 

x2 z = a2 c

parábolas Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

4 Superficies Cuádricas

si x = 0  −

si z = 0 

y2 z = 2 c b

parábolas

x2 y2 a − = 0  x = y Dos rectas! ! b a2 b 2

6. Conos La superficie cuádrica que tiene por ecuación

x2 y2 z2 + = a 2 b2 c2 Se denomina Cono.

Z

Las trazas del cono son:

y2 z2 b =  y = z Dos rectas c b2 c2 x2 z2 a Si y = 0  =  x = z Dos rectas 2 2 c a c

Si x = 0 

si z = K 

Y

x 2 y2 k2 + = Elipse, ¿Y si a = b? a2 b 2 c2 X

Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

5 Superficies Cuádricas

7. Cilindro circular recto: Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:

x2 + y2 = a2 Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z

En el plano:

En el Espacio:

z Y

a

y

x

x

Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

6 Superficies Cuádricas

8. Cilindro circular recto con eje en el eje y : x2 + z2 = a2 Considere la ecuación:

En el plano:

En el Espacio z

z

a x

y

x

8. Cilindro parabólico: Considere la ecuación x2 + y = 0 , que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie

Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

7 Superficies Cuádricas

En el plano

En el espacio

9. Cilindro elíptico con eje en el eje z: Considere la ecuación de la elipse

y 2 + ( 4 z 2 ) = 4 en el plano yz , al recorrer el

eje x se obtiene la superficie En el espacio

En el plano

Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

8 Superficies Cuádricas

10.

Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:

Considere la ecuación

y 2 − x2 = 1 que corresponde a una hipérbola centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie En el espacio

En el plano

Aux. Benjamin

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9 Superficies Cuádricas

EJERCICIOS PROPUESTOS I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gràfico aproximado. 1. 4 x2 − y2 + z2 −8 x + 2 y + 2 z +3 = 0 ( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1)) 2. x2 + y2 + z2 −8 −8 y −6 z + 24 = 0 ( esfera ) 3. x2 + 2 y 2 − 4 z 2 = 8 (cono elíptico de 2 hojas) 4. x2 − y2 + z2 −10 z + 25 = 0 (cono circular) 5. 36 y2 + x2 + 36 z = 9 (paraboloide elìptico) 6. x 2 − z 2 = 5 y (paraboloide hiperbólico) 7. x2 +4 y2 −4 z2 −6 x −16 y −16 z + 5 = 0 ( hiperboloide de una hoja) 8. y2 + z2 − 2 x = 0 (paraboloide circular recto) 9. z = 3 x 2 + 2 y 2 −11 ( paraboloide ) z2 y2 x2 10. − − =1 4 9 9 ( hiperboloide de dos hojas) 12. x 2 + z 2 = 1 13. x 2 − 4 y 2 = 1 14. x = 4 − y2

15. x2 + z = 1 16. 4 x2 + y2 = 36 17. x 2 + 4z 2 = 16

( cilindros )

II. Aux. Benjamin

Cálculo l y ll

10 Superficies Cuádricas

1. Trace la región limitada por x 2 + y 2 = 2 y

z = x 2+ y 2

para 1  z  2

2. Obtener la curva de intersección de las superficies x2 +2 y2 − z2 +3 x =1 y 2 x2 +4 y2 −2 z2 −5 y = 0 y hacer su gràfica 3. Graficar : a) La parte del hiperboloide −x2 − y 2 + z 2 = 1 abajo del rectángulo  −1,1 x  −3,3

que se encuentra

b)

La parte del paraboloide elíptico

6 − 3x2 − 2 z2 = y que se

c)

encuentra a la derecha del plano xz La parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4

que se encuentra arriba

del cono z = x 2 + y 2 La parte del cilindro x2 + z2 = 1 que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3 e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 =16 f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 =1 d)

g) La parte del plano cilindro x 2 + y 2 = 1

x+2y+z=4

que se encuentra dentro del

h) La parte de la superficie z = x + y 2 que se encuentra arriba del triàngulo de vértices (0,0), (1,1) , y (0,1) i) La parte del paraboloide hiperbólico z = y 2 − x 2 que se encuentra entre los cilindros

y 2 + x2 =1 y y2 + x2 = 4

III. Graficar los sòlidos indicados, marcando los cortes con los ejes cordenados. a) Sòlido limitado y 2 + x 2 = 1 , el plano z= y+3 y el plano xy b) Sòlido limitado por z2 + x2 = 1 y los planos y=0 y x+y=2

c) El sòlido limitado por z = 4 − x 2 − y 2

y z=0

Aux. Benjamin

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11 Superficies Cuádricas

d) El sòlido limitado por z 2 + y2 + x2 =1 y arriba de z = x 2 + y 2 e) El sòlido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante. f) El sòlido limitado por z = − 9 − x 2 − y 2 g) El sòlido limitado por z = 3 − 2 x2 − y2 y

y z=-1

z = x2 + y2 −3

h) El sòlido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)

Aux. Benjamin

Cálculo l y ll...