T2-Divisibilidad Teoria.C PDF

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Departamento de Innovación y Formación Didáctica Didáctica de la Matemática

Universidad de Alicante

Divisibilidad en N*

1. Divisibilidad en N* 1.1. Divisibilidad entre números con representación decimal y factorial: divisores y múltiplos 1.1.1. Propiedades de los múltiplos y divisores 1.1.2. Clasificación de los números naturales en función del número de divisores: números primos y compuestos 1.1.2.1. Propiedades de los números primos 1.2. Divisores y múltiplos comunes: máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números

Bibliografía: Sierra, M., González, M.T., García, A. & González, M. (1989). Divisibilidad. Síntesis: Madrid. Valls, J. (1997). Matemáticas y su didáctica I (Tomo II, 2ª edición). Ecu: Alicante Páginas web: http://www.jupenoma.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/naturales _y_enteros/divisores_y_primos/actividad.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_202_g_2_t_1.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_1_t_1.html

1 Sentido Numérico 15-15

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1. Divisibilidad en N* Vamos a estudiar la divisibilidad entre números con representación decimal y factorial. 1.1. Divisibilidad entre números con representación decimal y factorial Tarea 1 Los zumos se venden en paquetes de 3 unidades y los flanes de 2 unidades. ¿Podemos comprar 24 zumos? ¿Y 20 flanes? ¿Cuántos zumos y flanes podemos comprar? Resolución problema 

24 = 3·8



20 = 2·10



3·1; 3·2; 3·3; 3·4; 3·5…

Respuestas  Sí, ya que 24 lo puedo expresar como 3·8  Sí, ya que 20 lo puedo expresar como 2·10  Podré comprar cualquier cantidad de zumos y de flanes que se obtenga al multiplicar 3 por otro número y 2 por otro número.

Conceptos matemáticos implicados

Múltiplos y divisores

Tarea 2 En un colegio quieren formar distintos equipos para hacer diferentes deportes. Si en cada aula hay 24 alumnos, ¿pueden hacerse equipos de 6 jugadores sin que ninguno se quede sin jugar? ¿Y equipos de 4 personas? ¿De cuántas personas pueden hacerse los equipos? Resolución problema

Conceptos matemáticos implicados

Respuestas Sí, ya que 24 lo puedo expresar como 6·4 Sí, ya que 24 lo puedo expresar como 4·6 Se pueden hacer equipos de 2, 3, 4, 6, 8 y 12 personas

  24 = 2·12 = 3·8 = 4·6  = 6·4 = 8·3 = 12·2 

Múltiplos y divisores

Tarea 3 Isabel tiene una habitación de 24 x 52 cm2. Si quiere enlosarla con ladrillos enteros, ¿podrá hacerlo con ladrillos de dimensiones 2x5 cm 2? ¿De qué otras dimensiones podrá comprarlos? Resolución problema

Respuestas

Conceptos matemáticos implicados

Sí podrá enlosar la habitación con 4 2 3 ladrillos 2x5 ya que 2 x 5 = (2x5)x2 x5 4

2

2

Como 2 x 5 = (2x 5 )x2 2

3

2

3

Múltiplos y divisores

2

2

= 2 x(2x 5 ) = (2 x 5 )x2 2

2

2

2

2

= 2 x (2 x 5 ) = (2 x 5)x2 x5 3

3

=(2 x5)x2x5=(2x5)x(2 x5) = 4

(2 x 5)x5=… Se podrá enlosar con ladrillos de 2 2 2 2 3 dimensiones 2x5 ; 2 x 5 ; 2 x 5; 2 x 5; 4 2 x 5 =…

2 Sentido Numérico 15-15

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Definición Dados dos números naturales no nulos a y b, se dice que a es divisor de b, o que b es múltiplo de a, si y solo si, existe un número natural no nulo k, tal que b = k·a Ejemplo 1 ¿Es el 6 divisor de 12? ¿ y de 32? ¿Es el 12 múltiplo de 6?, ¿y de 5? ¿Es el 7 divisor de 22 ·3 ·72? ¿y de 73? ¿Es el 73 múltiplo de 7? ¿y de 22 ·3 ·72? Resolución Divisores

Múltiplos

12 = 2· 6 , por tanto, 6 es un divisor de 12

12 = 2· 6 , por tanto, 12 es múltiplo de 6

32 = 5· 6 + 2 , por tanto, 6 no es divisor de 32

12 = 2·5 + 2, por tanto, 12 no es múltiplo de 5

2

2

2

3

2 ·3·7 = (2 ·3·7)· 7 , por tanto, 7 es un divisor 2 2 de 2 ·3·7 3

2

2

3

7 = 7 · 7, por tanto, 7 es múltiplo de 7 3

2

2

7 no se puede expresar como 2 ·3·7 , por 3 2 2 tanto, 7 no es múltiplo de 2 ·3·7

3

7 = 7 · 7, por tanto, 7 es un divisor de 7

Ejemplo 2 Halla todos los divisores del 12 y del 3·52 y ocho múltiplos de 2 y 2·32. Describe el proceso que realizas. Resolución Divisores 12 = 1· 12 = 2· 6 = 3· 4 = 4· 3 = 6· 2 = 12· 1 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 2

2

2

3·5 = (3·5 )·1 = (3·5)·5 = 5·(3·5) = 5 · 3 2

2

2

D(3·5 ) = {1, 3, 5, 3·5, 5 , 3·5 }

Múltiplos        

2·1 = 2; 2·2 = 4; 2·3 = 6 2·4 = 8; 2·5 = 10 2·6 = 12 2·7 = 14 2·8 = 16

2 2  2·3 = (2·3 ) · 1; 2 2 2  2 ·3 = (2·3 ) · 2; 3 2  2·3 = (2·3 ) · 3; 3 2 2 2  2 ·3 = (2·3 ) · 2 ; 2 2  2·3 ·5 = (2·3 ) · 5; 2 3 2  2 ·3 = (2·3 ) · 2·3; 2 2  2·3 ·7 = (2·3 ) · 7; 4 2 2 3  2 ·3 = (2·3 )·2

Ejemplo 3 Escribe la secuencia numérica comprendida entre el segundo y el cuarto múltiplo de 7. Indica qué números de esta secuencia son múltiplos de 7. ¿Observas alguna regularidad?

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Solución Segundo múltiplo de 7, es 14 = 2·7 y el cuarto múltiplo es el 28 = 4·7. Por tanto, la secuencia numérica sería: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 14= 2·7; 15 = 2·7+1; 16 = 2·7+2; 17 = 2·7+3; 18 = 2·7+4; 19 = 2·7+4; 20= 2·7+ 6; 21= 3·7; 22 = 3·7+1; 23 = 3·7+2; 24 = 3·7+3; 25 = 3·7+4; 26=3·7+5; 27 = 3·7+6; 28= 4·7 Sólo es múltiplo de 7, el 21, que corresponde al tercer múltiplo de 7, el resto de números de la secuencia no son múltiplos de siete. Observamos que entre cada múltiplo de siete se repite el siguiente esquema: 7·k + 1; 7·k + 2; 7·k + 3; 7·k + 4; 7·k + 5; 7·k + 6

1.1.1. Propiedades de los múltiplos y divisores Tarea 4 Dados los números abc y abcde, de tres y de cinco cifras, respectivamente, ¿puedes dar dos divisores de cada uno de ellos? ¿Y un múltiplo? Resolución problema

Respuestas

Conceptos matemáticos implicados

DIVISORES 1 es divisor de abc abc es divisor de sí mismo abc = 1·abc abcde = 1·abcde

1 es divisor de abcde abcde es divisor de sí mismo

Propiedades de los múltiplos y divisores

MÚLTIPLOS abc =abc·1; por tanto abc es múltiplo de sí mismo abcde = abcde·1; por tanto abcde es múltiplo de sí mismo

I.

El 1 es divisor de cualquier número, o todos los números son múltiplos de 1

II. Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo

Tarea 5 Juan tenía en su casa 18 botellas de zumo. Si su mujer trae del supermercado 36 botellas más, ¿podrá Juan repartir el total de botellas entre sus tres hijos sin que sobre ninguna?

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Resolución problema 18 = 3·6 36 = 3·12 18 + 36 = 3·6 + 3·12 =3 · (6 + 12)

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Respuestas Como 3 es divisor de 18 + 36, podemos asegurar que el total de botellas se puede repartir entre los tres hijos

Conceptos matemáticos implicados Propiedades de los múltiplos y divisores

III. Todo divisor de dos números lo es de su suma (diferencia), o la suma (diferencia) de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de ese número

Tarea 6 Si la compañía A puede formar en filas de 5 soldados justos y la compañía B no. ¿Podrán formarse en filas de 5 soldados justos cuando se agrupen las dos compañías en una sola? Resolución problema

Respuestas

Sea X el número de soldados de la compañía A, luego

Si se juntan las dos compañías, no podrán agruparse en grupos de 5, ya que:

X = 5·k Sea Y el número de soldados de la compañía B, luego

X + Y = 5·k + 5·k 2 + 2 o X + Y = 5·k + 5·k 3 + 3 o

Y = 5·k 2 + 2; o

X + Y = 5·k + 5·k 4 + 4

Y = 5·k 4 + 4

 Todo divisor de dos números lo es de su suma (diferencia),

X + Y = 5·k + 5·k 1 + 1 o

Y = 5·k 1 + 1; o Y = 5·k 3 + 3; o

Conceptos matemáticos implicados

 La suma (diferencia) de dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número

Luego 5 no es divisor de su suma.

IV. La suma (diferencia) de un múltiplo de un número con otro que no lo sea, no es múltiplo de ese número Tarea 7 Los niños de 1ºA de primaria no pueden agruparse en grupos de 5 y los de 1ºB, tampoco, ¿podrán agruparse de 5 en 5 si se juntan? Resolución problema

Respuestas

Conceptos matemáticos implicados

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Sea X el número de niños de 1ºA, luego X = 5·k 1 + 1; o

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Si se juntan los dos cursos, puede que se puedan agrupar de 5 en 5, o no.

X = 5·k 3 + 3; o

Se podrán agrupar cuando se puedan hacer grupos de 5. Por ejemplo,

X = 5·k 4 + 4

Si X=5·k 1 + 1, Y= 5·m4 + 4

X = 5·k 2 + 2; o

Sea Y el número de niños de 1ºB, luego

Entonces X+Y= 5·k1 + 1 + 5·m 4 + 4 = 5·k1 + 5·m 4 + 5

Y = 5·m 1 + 1; o

Entonces, sí podrán agruparse

Y = 5·m 2 + 2; o

Sin embargo, si

Y = 5·m 3 + 3; o

X + Y = (5·k 2 + 2) + (5·m1 + 1)

Y = 5·m 4 + 4

No podrán agruparse de 5 en 5

La suma (diferencia) de un múltiplo de un número con otro número que no lo sea, no es múltiplo de ese número

V. La suma (diferencia) de dos números que no sean múltiplos de otro, puede ser o no ser múltiplo de ese número Ejemplo 4 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.  Los números 2, 7, 4 y 6 son divisores del número A = 14 + 28  los números 5, 2 y 3·5 son divisores del número K = 22 · 3 · 5 · 11 + 3·5. Justifica tu respuesta Solución Las dos afirmaciones son falsas  El 6 no es divisor de 14 pero como tampoco es de 28 puede que sea de su suma. El 4 no es divisor de 14 (sí lo es de 28) por tanto no es divisor de la suma 14+28. 

El 2 es divisor de 22 · 3 · 5 · 11, pero no es divisor de 3·5. Por tanto 2 no es divisor de la suma K = 22 · 3 · 5 · 11 + 3·5

Tarea 8 En cada planta de un edificio viven 12 vecinos. ¿Es seguro que el total de vecinos es múltiplo de 3? ; ¿Y de 4? ¿Necesitas saber cuántas plantas tiene el edificio?

Resolución problema

Respuestas

Sea x el número de plantas que tiene el edificio.

Sí, el número total de vecinos es múltiplo de 3 y 4.

12 = 3·4, luego 3 y 4 son divisores. Por tanto, 12·x, número total de vecinos del edificio, 3·4·x también tienen como divisores al 3 y al 4

Conceptos matemáticos implicados Propiedades de los múltiplos y divisores

No se necesita saber las plantas del edificio

VI. Si a es divisor de b, entonces a es divisor de cualquier múltiplo de b.

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Tarea 9 Dado el número K = 2 · 32 · 7 + 23 · 5 · 72 ¿K es divisible por 2? Resolución problema 2 divide a los dos sumandos que forman K, por lo tanto

Conceptos matemáticos implicados

Respuestas

Sí, K es divisible por 2

K es divisible por 2

Si a es divisor de dos números, también lo es de la suma de sus múltiplos

VII. Si a es divisor de dos números, también es divisor de la suma de sus múltiplos, (La suma de los múltiplos de dos números es múltiplo de ese número) Tarea 10 Enuncia el criterio de divisibilidad del dos. ¿Podrías decir el por qué de este criterio? Compruébalo en el número de cuatro cifras abcd Resolución problema Sea x = abcd, polinómica, 3

y

su

2

2

x = (2·5) · a + (2·5) · b + (2·5) · c + d = 2

3

Conceptos matemáticos implicados

descomposición

x = 10 · a + 10 · b + 10 · c + d 3

Respuestas

Un número es divisible por 2 si las cifras de las unidades es cero o par

2

Todo divisor de dos números lo es de la suma de sus múltiplos

= 2 · (2 ·5 ) ·a + 2 ·(2·5 ) · b + 2· (5· c) + d

1.1.2. Clasificación de los números naturales en función del número de divisores: números primos y compuestos Tarea 11 Calcula los divisores de cada uno de los números de la serie 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 ¿Observas alguna relación en el listado que te permita establecer una clasificación de la serie de números dados por el conjunto de divisores de cada uno de ellos? Puedes hacer el ejercicio a través de la página web http://www.jupenoma.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/naturales _y_enteros/divisores_y_primos/actividad.html Resolución problema

Respuestas

Conceptos matemáticos implicados

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2 =2·1 D(2) = {1,2} 3 = 3·1 D(3) = {1,3} Podemos observar que hay números que tienen únicamente dos divisores, el 1 y ellos mismos, otros tienen otros divisores distintos de ellos mismos y la unidad.

4 = 1·4 = 2·2 D(4) = {1, 2, 4} 5 = 5·1 D(5) = {1, 5} 6 = 6·1 = 2·3 D(6) = {1, 2, 3, 6} 7 = 7·1 D(7) = {1, 7} 8 = 8·1 = 2·4 D(8) = {1, 2, 4, 8} 9 = 9·1 = 3·3 D(9) = {1, 3, 9}

Números primos y compuestos

10 = 10·1 = 2·5 D(10) = {1, 2, 5, 10} 11 = 11·1 D(11) = {1, 11} 12 = 12·1 = 2·6 = 3·4 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Definición de número primo y compuesto Diremos que p  N * es un número primo si sus únicos divisores son el 1 y el mismo. En caso contrario, se llama compuesto. Teorema Fundamental de la aritmética. Descomposición factorial de un número “Todo número compuesto se puede descomponer en un producto de factores primos, y esta descomposición es única, salvo el orden de los factores” http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_202_g_2_t_1.html

1.1.2.1. Propiedades de los números primos Tarea 12 ¿Cuántos números primos conoces? ¿Existe alguno más? ¿Cuántos números primos hay en N*? Para contestar a las dos últimas preguntas de esta tarea utiliza la tabla que aparece en la página web http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_1_t_1.html llamada Criba de Eratóstenes, “tachando” los múltiplos de los distintos números primos; 2, 3, 5,...

Propiedad 1: “El conjunto de los números primos es infinito”

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Tarea 13 Utiliza la criba de Eratóstenes que aparece en la página web http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_1_t_1.html con distinto número de filas (puedes empezar con 5 filas) y “tacha” los múltiplos de los números primos: 2, 3, 5, ... Observa a partir de qué número primo, al intentar tachar sus múltiplos, la tabla sufre cambios, ¿cuándo deja de sufrir cambios? ¿Por qué? Haz el mismo proceso para distintas filas de números: 10, 20… Propiedad 2: “Un número x es primo si no es divisible por ningún número primo menor que un cierto número primo q, siendo q tal que q2 > x “

Tarea 14 Halla el menor divisor distinto de 1 de los números 36, 65 y 1539. ¿Cuál es el menor divisor distinto de 1 para cada número? ¿Qué tienen en común? Calcula el cuadrado del menor divisor de cada número y compararlos con los números correspondientes. ¿Qué ocurre en los tres casos? Para resolver la tarea puedes ayudarte de la página web: http://www.jupenoma.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/naturales _y_enteros/divisores_y_primos/actividad.html Resolución problema

Respuestas

D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 36}, su menor divisor es 2 y es primo, su cuadrado, 4 < 36

 El menor divisor distinto de 1, de los números 36, 65, 1539 es 2, 5, 3, respectivamente.

D(65) = {1, 5, 13, 65}, su menor divisor es 5 y es primo, su cuadrado 25 < 65

 Tienen en común que todos son primos  En los tres casos, el cuadrado del menor divisor primo es menor que el número compuesto correspondiente.

D(1539) = {1, 3, 9, 19, 27, 57, 81, 171, 513, 1539}, su menor divisor es 3 y es primo su cuadrado 9 < 1539

Conceptos matemáticos implicados

Propiedades de los números primos

Propiedad 3: “El menor divisor, distinto de uno, de un número compuesto es un número primo” Propiedad 4: “Si un número primo p, es el menor de los divisores de un número compuesto x, entonces el cuadrado de p, es menor o igual que el número compuesto. Es decir: p2



x (p



√ x )“

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Tarea 15 Divide los números 83 y 203 por todos los números primos menores que ellos. Compara en cada una de las divisiones los cocientes y los divisores y observa en cada comparación los restos obtenidos. ¿Qué podrías decir de esta comparación?

Como 112 = 121 > 83 por la propiedad 2, 83 es primo. No obstante, también observamos que el divisor 11 es mayor que el cociente 7. 203 23 2

2 203 003 101 1

3 67

67 > 3

101 > 2

203 03

5 40

40 > 5

203 63 0

7 29

29 > 7

203 es compuesto porque tiene por divisor al 7. Propiedad 5: (Divisiones sucesivas) “Sean 2, 3, 5,... , pi , ... , pn , la serie de números primos que no dividen a un cierto número x. Si x = c·pn + r, con c < pn, entonces x es primo”

1.2. Divisores y múltiplos comunes: máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números Tarea 16 María tiene 36 claveles blancos y Jorge 24 rosas rojas. Cada uno de ellos quieren hacer ramos de distintos tamaños utilizando todas sus flores en cada caso. Indica a. cuántas flores tendrán los ramos de cada uno de ellos si quieren que todos los ramos tengan el mismo número de flores b. en qué casos los ramos hechos por María y Jorge tendrán el mismo número de flores c. de los casos coincidentes, ¿cuál es el mayor?

Respuestas

Resolución problema

Conceptos matemático s implicados

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María 36 ramos de 1 clavel; 1 ramo de 36 claveles 18 ramos de 2 claveles ; 2 ramos de 18 claveles

D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

12 ramos de 3 claveles ; 3 ramos de 12 claveles 9 ramos de 4 claveles; 4 ramos de 9 claveles

...