Taller 2 Electricidad y Resistencias PDF

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Electromagnetismo, taller de resistencias, ley de ohm, ley de Gauss, entre otros...

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∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 1. Se analiza la integral para saber la manera correcta de proceder, en este caso, se usará el método de sustitución y se van a deshacer los exponentes multiplicando los términos iguales la cantidad de veces de su respectivo exponente, en este caso el exponente para los dos términos es 2, entonces se multiplica sin(𝑥) ∙ sin(𝑥) ∙ cos(𝑥) ∙ cos(𝑥). 2. Cuando se han deshecho los exponentes, se toma la identidad trigonométrica adecuada para este caso, la cual es sin(𝑥) ∙ cos(𝑥) =

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1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 y 2

se organiza la integral de manera

que se pueda proceder correctamente. Cuando ya se analizó cuál era la identidad trigonométrica correcta para proceder, la integral de una multiplicación es la multiplicación de sus integrales, en este caso, sin(𝑥) ∙ cos(𝑥), se separarán de sin (𝑥) ∙ cos (𝑥), cada una en su respectiva integral, después organizadas, se procede a aplicar la identidad trigonométrica correspondiente a cada integral. Se procede a multiplicar las integrales, dejando así, una sola. El resultado de esta operación será integral de un cuarto por seno al cuadrado de 2X. Después de tener las dos integrales con la identidad trigonométrica correspondiente, se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y se ubica como 2x la parte que se va a sustituir. Se procede a igualar U que hace referencia a la parte que se tomará para la sustitución, a 2x, luego, se derivará la U, obteniendo, así como resultado el du que será igual a 2dx y por último, se despejará dx, para así tener la última parte que se va a sustituir en la integral, la cual será igual a du sobre 2, luego se procede a remplazar la U en la parte que se tomó y a lo que es igual dx, en la integral. Cuando se ha realizado correctamente el procedimiento de sustitución, se utiliza la propiedad de las constantes en las integrales, entonces quedaría un cuarto por integral de seno al cuadrado de U por du sobre 2, se utiliza la propiedad de las constantes en las integrales, el 2 que está como denominador en la fracción de du sobre 2 se multiplica por la constante, realizando este procedimiento, quedaría un octavo por integral de seno al cuadrado de U por du. Se procede a resolver la integral sin tener en cuenta la constante afuera de este. Analizando las identidades trigonométricas, seno al cuadrado de U, es lo mismo que seno al cuadrado de x, entonces se elige esa identidad y se remplaza seno al cuadrado de U a lo que es igual seno al cuadrado de x, quedaría integral de un medio factor de uno menos coseno de dos veces U, que en este caso U, sería el ángulo de coseno y por último se multiplica por du. Se remplaza la integral anterior por la nueva integral y quedaría un octavo por integral de un medio por factor de uno menos coseno de dos veces el ángulo por du, se procede a sacar la contante de la integral y esta se multiplica por la que ya estaba afuera, entonces la nueva integral quedaría, uno sobre dieciséis por integral de uno menos coseno de dos veces U por du. Se procede a descomponer la integral para aplicar la resta de integrales y quedaría, uno sobre dieciséis por integral de uno por du menos integral de coseno de dos veces U por du.

10. Se opera la primera integral y de deriva 1 por du y quedaría u, entonces la nueva integral quedaría uno sobre dieciséis por factor de u menos integral de coseno de dos veces el ángulo por du. 11. Se procede a resolver solo la integral sin tener en cuenta la constante y el u que ya se había integrado. La integral de coseno de dos veces el ángulo por du, se analiza y se llega a la conclusión que se tendrá en cuenta el método de sustitución y se le asigna a la W que será la letra que se utilizará para realizar la sustitución, el valor de 2U, se deriva la W y quedaría dW igual a 2du y se despeja du y queda igual a dW sobre 2; se remplaza la W y el dW en la integral y quedaría igual a integral de coseno de W por dW sobre dos, el número 2 se saca de la integral ya que es una constante, entonces se vuelve a escribir la integral de la siguiente manera, un medio por integral de coseno de W por dW y por último se procede a remplazar la integral antigua por la nueva. 12. El remplazo de la integral quedaría como, uno sobre dieciséis, factor de u menos un medio integral de coseno de W por dW, se integra el coseno que tiene la integral y se reescribiría así, uno sobre dieciséis factor de u menos un medio por seno de W por dW, se realiza la sustitución del valor de cada letra y la integral queda como, uno sobre dieciséis factor de 2x menos un medio por seno de dos veces 2x, se opera la constante por lo que está dentro del paréntesis y daría un resultado de 2x sobre dieciséis menos seno de 4x sobre 32 más la constante de integración. 13. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 será igual a dos x sobre dieciséis menos seno de cuatro x sobre treinta y dos más la constante de integración. ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 1. Se analiza la integral para saber que identidad trigonométrica será usada para resolverla y que método usar, en este caso se usará el método de sustitución. 2. La identidad trigonométrica a usar será sin 𝑥 sin 𝑦 =

1

2

[cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)] ya

que, en este caso, se tienen dos senos con ángulos diferentes. La nueva integral quedaría de la siguiente manera, integral de un medio factor de coseno de 3x menos 2x, menos, coseno de 3x más 2x, realizando las operaciones de los ángulos, quedaría integral de un medio factor de coseno de x menos coseno de 5 x. Se realiza la operación integral de la integral que es la multiplicación de la constante que es un medio por el factor de cosenos de x menos coseno de 5x, quedaría integral de coseno de x sobre 2 menos coseno de 5x sobre 2. 3. La integral de una resta es la resta de sus integrales, se realiza dicha propiedad y su resultado es integral de coseno de x sobre 2 menos integral de coseno de 5x sobre 2. 4. Se utiliza la propiedad de las constantes en las integrales, estas quedan fuera de la integral y su resultado sería en la primera, el 2 que está dividiendo el coseno, saldría como un medio y esa integral quedaría como un medio por integral de coseno de x por dx y la otra integral que tiene el mismo denominador, quedaría como un medio por integral de coseno de 5x por dx. 5. Se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y se ubica como 5x a la parte que será sustituida. Se le asigna el valor de 5x a la

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U, se deriva la U y quedaría du igual a 5dx y por último se despeja el dx y sería igual a du sobre 5. Se realiza la primera integral quedando como seno de x y se multiplica por la constante de esta y queda como seno de x sobre 2; se procede sustituir el U y el du en la segunda integral y esta queda como un medio por integral de coseno de U por du sobre 5, se realiza la operación de las constantes de esta integral que sería un medio por un quinto, quedaría un décimo integral de coseno de u por du, uniendo las dos integrales, quedaría, seno de x sobre 2 menos un decimo por integral de coseno de u por u. Se procede a resolver la integral sin tener en cuenta la constante de esta y quedaría integral de coseno de U por du, igual a seno de 5x y esta nueva integral se pasa a remplazar a la anterior. Con el remplazo de la integral quedaría, seno de x sobre 2 menos un décimo por seno de 5x más c. ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 será igual a seno de x sobre 2 menos un décimo por seno de 5x más la constante de integración.

∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 1. Se analiza la integral para así reconocer la identidad trigonométrica que será usada para resolverla y se identifica el método a usar. 1 2. La identidad trigonométrica será cos 𝑥 cos 𝑦 = [cos(𝑥 − 𝑦) + cos (𝑥 + 𝑦)] ya que, en 2

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este caso, se tienen dos cosenos con ángulos diferentes. La nueva integral quedaría como integral de un medio factor de coseno de 4x menos 2x, más, coseno de 4x más 2x; realizando las operaciones de los ángulos, se reescribe así, integral de un medio factor de coseno de 2x más coseno de 6x por dx. Se multiplica el un medio por el factor y la integral quedaría como integral de coseno de 2x sobre 2, más coseno de 6x sobre 2 por dx. La integral de una suma es la suma de sus integrales, se realiza dicha propiedad y su resultado es integral de coseno de 2x sobre 2 más integral de coseno de 6x sobre 2. Se utiliza la propiedad de las constantes de las integrales y estas quedan fuera de cada integral, siguiendo este paso, quedaría un medio por integral de coseno de 2x por dx, más, un medio por integral de coseno de 6x por dx. Se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y para la primera integral se toma como W a 2x, de deriva W y queda como dW igual a 2 por dx y por último se despeja dx y su resultado será, dx igual a du sobre 2. Se realiza sustitución en la primera integral y esta queda como un medio por integral de coseno de W por dW sobre 2. Aplicando la propiedad de las constantes en las integrales, estas quedan afuera de la integral; siguiendo esto, la integral quedará como un cuarto por integral de coseno de W por dW. Se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y para la segunda integral se ubica como U a 6x, la cual será la parte a sustituir, se deriva U y queda, du igual a 6 por dx, por último, se procede a despejar dx y su resultado sería du sobre 6. Se realiza la sustitución en la integral numero 2 y esta queda como un medio por integral de coseno de U por du sobre 6. Aplicando la propiedad de las

constantes en las integrales, estas quedan afuera de la integral; siguiendo esto, la integral queda como uno sobre doce por integral de coseno de U por du. 7. Se resuelven las integrales y queda un cuarto por seno de W, más, uno sobre doce por seno de U, realizando la sustitución, la integral queda como seno de 2x sobre 4, más, seno de 6x sobre 12 más la constante de integración. 8. ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 es igual a seno de 2x sobre 4 más seno de 6x sobre 12 más la constante de integración. ∫ 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 1. Se analiza la integral para así reconocer la identidad trigonométrica que será usada para resolverla y se identifica el método a usar. 2. Se reescribe la integral como integral de tangente al cuadrado de x por tangente al cuadrado de x, así se procede a elegir la siguiente identidad trigonométrica, 𝑡𝑎𝑛2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1, remplazando esta propiedad, la integral queda como integral de tangente al cuadrado de x, factor de secante al cuadrado de x menos 1 por dx. Se multiplica tangente al cuadrado por lo que está dentro del factor y la integral se reescribe así, integral de tangente al cuadrado de x por secante al cuadrado de x menos tangente al cuadrado de x por dx. 3. La integral de una resta es la resta de sus integrales, se realiza dicha propiedad y su resultado es integral de tangente al cuadrado de x por secante al cuadrado de x por dx menos integral de tangente al cuadrado de x por dx. Analizando la segunda integral, se remplazará por la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1, entonces, las dos integrales quedan como, integral de tangente al cuadrado de x por secante al cuadrado de x por dx menos integral de secante al cuadrado de x menos uno por dx. 4. Se procede a analizar la primera integral y posteriormente a resolverla. Se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y se ubica a tangente de x como la parte que será sustituida, teniendo ya esto, se tiene que, U es igual a tangente de x, la derivada de u es du igual a secante al cuadrado de x por dx y, por último, se despeja dx y queda, dx igual a du sobre secante al cuadrado de x. Se realiza la sustitución en la integral y esta queda como, integral de U al cuadrado por secante al cuadrado de x por du sobre secante al cuadrado de x, se cancelan la secante al cuadrado de x que está en el numerador con la secante al cuadrado de x que está en el denominador, quedando así la integral como, integral de U al cuadrado por du. Al tener un exponente en la integral, se aplica la regla del monomio enésimo lo cual indica que al exponente se le debe sumar uno y este número también pasa a hacer parte del denominador, reescribiendo la integral queda como, integral de U al cubo sobre tres por du. Se realiza la sustitución de U y esta quedará como tangente al cubo de x sobre 3, más la constante de integración. 5. Se procede a analizar la segunda integral y posteriormente a resolverla. La integral de una resta es la resta de sus integrales, se realiza dicha propiedad y su resultado es integral de secante al cuadrado por dx menos integral de uno por dx, se resuelven estas integrales y quedará como tangente de x menos x más la constante de integración.

6. Se remplazan las dos integrales y queda como, tangente al cubo sobre 3 menos tangente de x más x más la constante de integración. 7. ∫ 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 es igual a tangente al cubo sobre 3 menos tangente de x más x más la constante de integración. 3 2

∫(1 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥)

1. Se analiza la integral para comenzar a proceder de la manera más adecuada. 2. Se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y se ubica como 3x a la parte que será sustituida, se le asigna este valor a U, después se procede a derivar U y este queda como du igual a 3dx y por último se despeja dx para así obtener du sobre 3. Se realiza la sustitución en la integral y esta queda como, integral de uno mas coseno de u, todo a la tres medios y esto se multiplica por du sobre 3. Se utiliza la propiedad de las constantes en las integrales, estas quedan fuera de la integral y su resultado sería un tercio por integral de uno mas coseno de U todo a la tres medios y esto se multiplica por du. 1 3. Se aplica la identidad trigonométrica 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2 2 𝑥, la integral quedaría como, un

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tercio por integral de dos por coseno al cuadrado de un medio de U, todo esto elevado a la tres medio y esto se multiplica por du. La integral de una multiplicación es la multiplicación de sus integrales, se realiza dicha propiedad y su resultado es un tercio factor de integral de dos a la tres medios por du, por integral de coseno al cuadrado de u sobre dos y todo elevado a la tres medios y esto multiplicado por du. Resolver integral 1 Se aplica la propiedad de raíces y la integral de dos a la tres medios quedaría como, integral de raíz de dos al cuadrado por dos, se cancela el exponente con la raíz y quedaría, integral de dos por raíz de dos. Resolver integral 2 Se multiplica el tres medios por el exponente de coseno al cuadrado y quedaría, dos por tres medios, se cancelan los dos y el coseno queda elevado al cubo, reescribiendo la integral quedaría como, integral de coseno al cubo de U sobre 2. Se remplazan las dos integrales nuevas y quedaría como, un terco factor de dos por raíz de dos por integral de coseno al cubo de U sobre 2 por du. Se observa la composición de funciones lo cual obliga a que se use el método de sustitución y se ubica a U sobre 2 como la parte que será sustituida y esto será igual a W, se deriva W y quedaría, dW igual a un medio por du, se despeja du y esto quedaría igual a dos por dW. Se realiza la sustitución en la integral y esta queda como un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de coseno al cubo de W por dos por dW. Se utiliza la propiedad de las constantes en las integrales, estas quedan fuera de la integral y su resultado sería un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de 2 por integral de coseno al cubo de W por dW. Resolver integral de coseno al cubo de W por dW Se reescribe la integral como, integral de coseno al cuadrado de W por coseno de W por dW, este procedimiento se realiza al analizar la composición de funciones, lo cual obliga a que se use el método de sustitución. Se deriva la primera parte de la integral y quedaría

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como, integral de uno menos seno al cuadrado de W por coseno de W por dW, se ubica a seno de W como la parte que será sustituida y esto serpa igual a Y, se deriva Y y queda como, dY igual a coseno de W por dW, se despeja dW y esta queda igual a dy sobre coseno de W. se realiza la sustitución en la integral y esta queda como integral de uno menos Y al cuadrado por coseno de W por dY sobre coseno de W, se cancela el coseno de W que está en el numerador con el coseno deW que está en el denominador, la integral se reescribe como, integral de uno menos Y al cuadrado por dY. Se remplaza la integral nueva en la antigua y queda como, un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de dos por integral de uno menos Y al cuadrado por dY. La integral de una resta es la resta de sus integrales, se realiza dicha propiedad y su resultado es integral de uno por dY menos integral de Y al cuadrado por dy, la integral se reescribe de la siguiente manera, un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de dos Y menos integral de Y al cuadrado por dy. Se observa un exponente en la integral entonces se procede a aplicar la regla del monomio enésimo, la cual nos indica que al exponente se le debe sumar uno y el resultado de este será el denominador de esta función. La integral quedaría como un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de Y menos integral de Y al cubo sobre tres por dY. Se realiza el remplazo de la variable Y, W y U. La integral quedaría como un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de dos, factor de seno de tres x sobre dos, esto menos seno de tres x sobre dos y esto sobre tres. Se multiplica el dos con la parte interna del factor y queda como, un tercio factor de dos por raíz de dos, factor de dos por seno de tres x sobre 2, menos, dos por seno al cubo de tres x sobre dos y todo sobre tres más la constante de integración. Se procede a operar el dos por raíz de dos con la parte interna del factor, esto queda como, un tercio factor de cuatro por raíz de dos por seno de tres x sobre 2 menos cuatro por raíz de dos por seno al cubo de tres x sobre 2 y todo esto sobre 3. Por último, se opera el un tercio con la parte interna del factor y esto queda como, cuatro por raíz de dos por seno de tres x sobre 2, todo sobre tres, menos cuatro por raíz de dos por seno al cubo de tres x sobre dos y todo esto sobre nueve más la constante de integración. 3

14. ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥) 2 es igual a cuatro por raíz de dos, por seno de tres x sobre dos y esto sobre tres, todo esto menos cuatro por raíz de dos, por seno al cubo de tres x sobre dos y todo esto sobre nueve, todo lo anterior más la constante de integración....