Tanxencias Sistemáticas PDF

Preview

Summary

Download Tanxencias Sistemáticas PDF

Description

I.E.S. Francisco Aguiar - BETANZOS

Departamento de Artes Plásticas

Estudo sistemático das tanxencias

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

APOLONIO DE PÉRGAMO. Apolonio (Pérgamo, c.-262, Alexandría, c.-190) foi un xeómetra grego, con extensos traballos sobre xeometría, recompilados en oito libros, que tratan das seccións cónicas e das curvas planas. Foi coñecido co alcume de "O gran xeómetra". Pouco se sabe da súa vida, fóra de que estudou en Alexandría e que nesta cidade exipcia dedicouse ao ensino; polas fontes pódese afirmar que era entre 25 e 40 anos máis xoven que Arquímedes, o que permite estimar os seus anos de nacemento e morte. Estudou as seccións cónicas utilizando como ferramenta as proporcións, relacionando as magnitudes de cada elemento que conforma cada sección cónica no caso da parábola, elipse e hipérbola, onde utilizou este método para definir as propiedades de cada corte do plano co cono. Propuxo e resolveu o problema de atopar as circunferencias tanxentes a tres círculos dados, coñecido como "Problema de Apolonio", que aparece na súa obra, hoxe perdida, "As tanxencias" ou "Os contactos", que coñecemos grazas a Pappus de Alexandría. Moitas das súas obras desapareceron: - "Reparto rápido", no que se ensinaban métodos rápidos de cálculo e se daba unha aproximación do número π. - "Seccións nunha razón dada", trataba sobre os problemas defivados de trazar unha recta que pase por un punto dado e que corte a outras dúas rectas dadas en segmentos, medidos desde sendos puntos situados en ditas rectas, 2 que estean nunha razón dada (problema equivalente a resolver a ecuación ax-x = bc) - "Seccións nunha área dada", problema parecido ao anterior, pero agora os segmentos determinados polas interseccións deben formar un rectángulo equivalente a outro (problema que equivale a resolver a ecuación 2 ax+x =bc) - "Seccións determinadas", dados catro puntos A, B, C, D sobre unha recta, atopar un quinto punto P tal que o rectángulo construído sobre AP e CP estea nunha razón dada co rectángulo construído sobre BP e DP. - "Tanxencias", resolve os problemas de construír unha circunferencia tanxente a tres elementos calquera elixidos entre un punto, unha recta e unha circunferencia (problema de Apolonio). - "Lugares planos"; os gregos clasificaban as curvas en tres tipos: lugares planos (rectas e circunferencias), lugares sólidos (seccións cónicas) e lugares lineais (o resto das curvas) - "Inclinacións", trataba do problema de trazar unha circunferencia dada unha corda de lonxitude dada pasando por un punto dado. Só dúas obras de Apolonio chegaron ata os nosos días: "Seccións nunha razón dada" (non se conserva o orixinal, senón unha tradución ao árabe) e "As cónicas" (só se conserva o orixinal da metade da obra, o resto é unha tradución ao árabe). Esta última é a obra máis importante de Apolonio; xunto cos "Elementos" de Euclides é un dos libros máis importantes das matemáticas. "As cónicas" está formado por 8 libros; foi escrito cando Apolonio estaba en Alexandría, e posteriormente mellorado xa en Pérgamo. Foi el quen deu o nome de elipse, parábola e hipérbola ás figuras que coñecemos; logrou solucionar a ecuación xeral de segundo grao por medio da xeometría cónica. Tamén se lle atriubúe a hipótese das órbitas excéntricas ou "Teoría dos epiciclos" para intentar explicar o movemento aparente dos planetas e da velocidade variable da Lúa.

"

Cónicas" de Apolonio (tradución ao

árabe) José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 2 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

TANXENCIA. CONDICIÓNS XERAIS. Dicimos que unha recta e unha circunferencia son tanxentes cando teñen unicamente un punto en común, que chamaremos “punto de tanxencia”, habitualmente designado coa letra T. Tamén pode darse o caso tanxencia entre dúas circunferencias, que se produce cando ambas teñen só un punto en común. Unha recta tanxente á unha circunferencia nun punto T desta será sempre perpendicular ó radio OT da circunferencia (radio no punto de tanxencia T). Dúas circunferencias tanxentes teñen sempre o punto de tanxencia T aliñado cos centros das dúas circunferencias. Como consecuencia, a distancia entre os centros de dúas circunferencias tanxentes exteriores é igual á suma dos seus radios, mentres que se unha circunferencia é interior á outra, esa distancia será igual á diferencia dos seus radios.

CLASIFICACIÓN. Nos problemas de tanxencias, poden intervir os seguintes elementos: circunferencia (C), recta tanxente (t), punto de tanxencia na circunferencia (Tc), punto de tanxencia na recta (Tt), punto calquera (P) e radio da circunferencia (r). Estes problemas poden agruparse en dúas categorías: a) As solucións son rectas. Tendo en conta que unha recta queda definida por dous dos elementos anteriores, pódense presentar tres casos: PC TcC CC. b) As solucións son circunferencias. Este grupo pode subdividirse en tres tipos: - Circunferencias tanxentes a rectas. - Circunferencias tanxentes a outras circunferencias. - Circunferencias tanxentes a rectas e circunferencias. En todos estes casos precisamos tres elementos para definir a solución, podendo presentarse ata 56 posibilidades diferentes. Non obstante, moitos deles non son en realidade casos de tanxencia, quedando un total de 23 casos: tTtC tTcC tTtr tTtP tCr tCP trP TcCr TcCP CrP ttt ttTt ttC ttr ttP CCC CCt CCTc CCr CCP CTcP PPt PPC

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 3 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. Definimos “lugar xeométrico” como o conxunto de puntos do plano (ou do espacio) que cumpren todos eles unha condición común. Por exemplo, unha circunferencia será o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan doutro punto ó que chamamos “centro”; unha esfera é o lugar xeométrico dos puntos do espacio que equidistan doutro punto (tamén chamado “centro”). De acordo con esta definición, podemos considerar unha serie de lugares xeométricos que nos axudarán a resolver os problemas de tanxencia. a) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias de igual radio (r) que son tanxentes a unha recta (t) está constituído por dúas rectas t 1 e t2 paralelas á recta dada (t) a unha distancia igual ó radio (r). b) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias que son tanxentes a unha recta (t) nun punto T dela é unha recta (s) perpendicular á recta t que pasa polo punto de tanxencia (T).

c) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias que pasan por dous puntos fixos A e B é a mediatriz do segmento que definen ditos puntos. d) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias de radio dado (r) que pasan por un punto P é unha circunferencia de centro P e radio igual ás pedidas. e) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias que son tanxentes a outra circunferencia de centro O nun mesmo punto de tanxencia T, é a recta que une o centro O co punto de tanxencia T.

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 4 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

f) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias de radio dado (r’) que son tanxentes exteriores a outra circunferencia de centro O e radio (r) é unha circunferencia concéntrica de radio igual á suma de radios (r+r’). g) O lugar xeométrico dos centros O1, ... On das circunferencias de radio dado (r’) que son tanxentes a outra circunferencia de centro O e radio (r), de xeito que esta quede dentro delas, é unha circunferencia concéntrica de radio igual á diferencia de radios (r’-r).

POTENCIA DUN PUNTO P CON RESPECTO A UNHA CIRCUNFERENCIA DADA. Se desde un punto P se trazan dúas secantes a unha circunferencia, cortándoa nos puntos A, B, C e D, verifícase que: PA . PC = PB . PD = K onde o valor K denomínase potencia do punto P respecto da circunferencia, sendo un valor constante para calquera recta, secante ou tanxente, que pase polo punto P. Como demostración, na figura observamos que os ángulos ABC e ADC son iguais (xa que abarcan a mesma corda: AC); o mesmo sucede cos ángulos ACB (que é o mesmo que PCB) e BDA (PDA), xa que ambos abarcan a corda AB. Os triángulos PBC e PDA son semellantes, por ter os seus tres ángulos iguais: o ángulo en P, por ser común a ambos; os ángulos PDA e PCB por abarcar a corda AB, e finalmente PBC = 180º - P – PCB = 180 – P – PDA = DAP polo que os seus lados son proporcionais, establecéndose a proporción PD/PC = PA/PB PA . PC = PB . PD = (d-r) (d+r) = d2 - r2 = constante se por P se traza a recta tanxente t á circunferencia, verifícase tamén que: PA . PC = PB . PD = PT2 = K Por último, se o punto P é interior á circunferencia, chegamos á mesma conclusión.

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 5 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

EIXE RADICAL. CENTRO RADICAL. Supoñamos varias circunferencias, todas elas secantes nos puntos A e B, e un punto calquera da recta que pasa por A e B. Neste caso, cúmprese que PA . PB = K para calquera das circunferencias. Así mesmo, se trazamos por P unha recta tanxente a cada circunferencia, verifícase que os segmentos comprendidos polo punto P e cada un dos puntos de tanxencia son todos iguais. Como esto se cumpre para calquera punto P que consideremos na recta que contén a A e B, deducimos que o lugar xeométrico dos puntos do plano que teñen igual potencia respecto do feixe de circunferencias secantes en A e B é a recta secante AB, á que chamaremos “eixe radical”. Se as circunferencias son exteriores, ou ben unha contén á outra, o eixe radical será unha recta perpendicular á liña O1O2 que une os seus centros. Para determinalo graficamente, trazamos unha circunferencia calquera, de centro O, que sexa secante a ambas circunferencias nos puntos A, B, C e D; a continuación, prolongamos as rectas AB e CD ata que se corten no punto P, punto polo que pasará o eixe radical (podemos repetir o proceso con outra circunferencia auxiliar para determinar un segundo punto do eixe, ou ben directamente trazar por P unha perpendicular á recta que une os centros das circunferencias). Se as circunferencias son tanxentes, o eixe radical é a recta tanxente común a ambas.

O centro radical de tres circunferencias é o punto Cr. que ten igual potencia respecto das tres circunferencias dadas. A súa determinación é moi sinxela: só hai que trazar os eixes radicais das circunferencias dadas dúas a dúas, e o punto onde se corten será o centro radical (as circunferencias poden ser exteriores, interiores, tanxentes ou secantes entre si).

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 6 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

INVERSIÓN. Dados catro puntos homólogos, A, A’, B e B’, dicimos que son inversos (A de A’ e B de B’) se cumpren dúas condicións: a) As liñas AA’ e BB’ córtanse nun punto O (centro de inversión). b) OA.OA’ = OB.OB’ = K , onde K é unha constante chamada potencia de inversión. K ten valor positivo se o centro de inversión está fóra da zona definida polos catro puntos, e negativo se está entre eles. Os catro puntos homólogos son concíclicos, é dicir, están situados sobre unha circunferencia común (pode comprobarse recordando o apartado de potencia dun punto). Na figura, os ángulos α e β son iguais, xa que: α + δ = 180º (por estar o cuadrilátero AA’BB’ nunha circunferencia) β + δ = 180º Restando ambas expresións, deducimos que α = β Esto nos permite, tanto na inversión positiva como na negativa, e coñecidos o centro de inversión O e dous puntos inversos A e A’, determinar o inverso B de B’, situado nunha recta r perpendicular á liña A’O polo punto A’: abonda con trazar por A unha perpendicular ó segmento B’O ata cortalo en B. Os ángulos con vértice en A’ e B son iguais e rectos, polo que podemos trazar a circunferencia con centro en O’ que pasa polos puntos A, B e O, de onde deducimos que a inversa dunha circunferencia de centro O’ é unha recta r se se cumpre que: a) A circunferencia contén ó centro de inversión O. b) A recta r é perpendicular á liña OO’. Pódese trazar unha circunferencia tanxente a outra e a unha recta inversa desta; na figura pode observarse que, tendo unha circunferencia de centro O’ e a súa recta inversa, r, se trazamos unha recta tanxente t á circunferencia de centro O’ polo punto B, cúmprese que α = β. En efecto, trazando por O (centro de inversión positivo) unha recta q paralela á recta r, temos que: a) δ = γ por ser as rectas t e q tanxentes á mesma corda. b) δ = β por ser ángulos alternos entre rectas paralelas. c) γ = α por ser ángulos opostos polo vértice B.

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 7 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

De a) e b) deducimos que γ = β, e comparando con c), dedúcese que α = β Por ser α = β, o triángulo BCr B’ é isósceles; se se trazan por B e B’ rectas perpendiculares ás rectas t e r, respectivamente, cortaranse no centro O” da circunferencia tanxente á circunferencia de centro O’ e á recta r. Os puntos de tanxencia B e B’ son inversos (se a inversión fose negativa, obteriamos unha circunferencia con centro O” que contería á circunferencia de centro O’). Dúas circunferencias, non tanxentes nin concéntricas, son inversas, sendo o seu punto de inversión positivo O o punto onde se cortan as rectas tanxentes exteriores, e o centro de inversión negativo O1 o punto de corte das tanxentes interiores. Se polo centro de inversión positivo O trazamos unha recta secante ás dúas circunferencias, os puntos inversos de A’ e B’ serán, respectivamente, A e B. Aplicando o teorema de Thales ós triángulos OO’A e OO”B’, resulta: OA / OB’ = OO’ / OO” = K (constante) Aplicando o teorema de Thales ós triángulos OO’B e OO”A’, temos: OB / OA’ = OO’ / OO” = K (constante) Igualando as expresións anteriores, e operando, resulta: OA / OB’ = OB / OA’ OA x OA’ = OB x OB’ = K (constante) co que se verifica a condición da inversión. RECTAS TANXENTES A UNHA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO (caso PC). Datos: circunferencia de centro O e punto P. -

-

En primeiro lugar, trazamos unha circunferencia auxiliar de diámetro OP (para elo, unimos O con P e debuxamos a súa mediatriz para atopar o punto medio O’) que cortará á circunferencia dada nos puntos de tanxencia T1 e T2. Só queda unir P con T1 e T2. para obter as rectas tanxentes pedidas (hai dúas solucións posibles).

Esta construcción é fácil de xustificar, xa que os triángulos PT1O e PT2O son rectángulos, por estar inscritos nunha semicircunferencia; polo tanto, as rectas t1 e t2 son as tanxentes buscadas, por ser perpendiculares ós radios OT1 e OT2.

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 8 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

RECTAS TANXENTES A DÚAS CIRCUNFERENCIAS (caso CC). Datos: circunferencias de centros O1 e O2 Resólvese utilizando o “procedemento de dilatacións”, que consiste en transformar uns elementos xeométricos noutros para transformar un problema noutro xa coñecido: por exemplo, reducir unha circunferencia ó seu centro, trasladar unha recta unha distancia determinada, aumentar (ou reducir) o radio dunha circunferencia nunha cantidade determinada, etc. -

-

-

-

Para empezar, unimos os centros das dúas circunferencias e trazamos a mediatriz do segmento resultante, obtendo o punto medio O’. Con centro neste punto, debuxamos unha circunferencia auxiliar que pase polos centros das dúas circunferencias. A continuación, con centro en O2 debuxamos unha circunferencia de radio igual á diferencia dos radios r2 – r1 (dilatación da circunferen-cia; a segunda circunferencia dilátase transformándose no seu centro O1). Esta circunferencia corta á auxiliar nos puntos A e B. Seguidamente, unimos O2 cos puntos A e B, prolongando ata cortar á circunferencia dada nos puntos T1 e T2 (co que se desfai a dilatación). Por O1 trazamos paralelas a estas rectas, obtendo outros dous puntos de tanxencia T’1 e T’2. Se agora unimos os puntos T 1 con T’1 e T2 con T’2 obtemos as rectas tanxentes pedidas.

Este problema admite unha segunda variante, na que as rectas tanxentes, en lugar de ser exteriores ás dúas circunferencias, son interiores (é dicir, córtanse entre elas). O proceso de resolución é igual ó anterior, coa única diferencia de que o radio da circunferencia auxiliar, en lugar de obterse restando os radios das dadas, conséguese sumando os radios (r 2 + r1). RECTA TANXENTE A UNHA CIRCUNFERENCIA DADA, COÑECENDO O PUNTO DE TANXENCIA (caso TcC). A resolución deste caso é inmediata: se nos dan a circunferencia de centro O e un punto dela T, para debuxar a correspondente recta tanxente en T só hai que unir O con T (radio que pasa polo punto de tanxencia) e trazarlle por T unha recta perpendicular, que será a tanxente pedida. CIRCUNFERENCIA DE RADIO COÑECIDO, TANXENTE A DÚAS RECTAS (caso ttr). Datos: rectas r e s, radio da circunferencia r. -

Se a circunferencia de radio r que temos que debuxar é tanxente á recta t, o centro de dita circunferencia terá que estar sobre unha recta t’ paralela á recta t a unha distancia igual a r.

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 9 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

-

-

Pola mesma razón, o centro tamén estará sobre unha recta s’ paralela á recta s á distancia r. Dedúcese de inmediato que o centro da circunferencia pedida será o punto O de intersección das paralelas t’ e s’. Para determinar os puntos de tanxencia, T1 e T2, hai que trazar desde o centro O dúas perpendiculares a t e s.

CIRCUNFERENCIA TANXENTE A UNHA RECTA NUN PUNTO T DELA E PASANDO POR OUTRO PUNTO P (caso tTtP). Datos: recta t, punto de tanxencia T e punto P (é un punto calquera, coa única condición de que non estea na recta t). Para resolver este caso, temos que volver a recorrer ós lugares xeométricos explicados antes: -

-

-

Se a circunferencia pedida é tanxente á recta t no punto T, o seu centro terá que estar na perpendicular á recta t que pasa polo punto T de tanxencia. Por outra parte, se a circunferencia ten que pasar polo punto P (ademais de por T, xa que é tanxente á recta nese punto), entón o seu centro equidistará de P e T, é dicir, estará na mediatriz do segmento PT. O punto de intersección da perpendicular á recta t polo punto T coa mediatriz do segmento PT será o centro O da circunferencia buscada.

CIRCUNFERENCIAS TANXENTES A DÚAS RECTAS, COÑECENDO O PUNTO DE TANXENCIA NUNHA DELAS (caso ttTt). Datos: rectas r e s, punto de tanxencia T na recta t. A solución do problema é moi sinxela, utilizando unha vez máis os lugares xeométricos mencionados: -

-

Para que a circunferencia buscada sexa tanxente ás dúas rectas dadas, o seu centro deberá estar na bisectriz do ángulo que forman, e para respectar o punto de tanxencia T dado, o centro deberá estar ademais na perpendicular á recta t trazada polo punto T. O punto de intersección da bisectriz coa perpendicular será o centro da circunferencia pedida (hai dúas solucións, xa que dúas rectas que se cortan definen catro ángulos opostos polo vértice, que serán iguais dous a dous, podendo polo tanto trazar unha segunda bisectriz distinta da anterior).

José Manuel Rey Bao I.E.S. FRANCISCO AGUIAR.BETANZOS

Páx. nº 10 de 20

ESTUDO SISTEMÁTICO DAS TANXENCIAS

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO COÑECIDO, TANXENTES A OUTRA DADA E QUE PASEN POR UN PUNTO P (caso CrP). Nos casos de tanxencias entre circunferencias nos que se coñece o radio das solucións, hai que preguntarse antes que nada se as posibles solucións son exteriores á circunferencia: se é así, hai que sumar os radios; no caso contrario, haberá que restalos. Como exemplo, resolveremos o caso en que as solucións son exteriores á circunferencia. Os datos serán o radio r’, a circunferencia de centro O e radio r, e un punto calquera P (fóra da circunfer...